雅克比矩阵在机器人运动学中的应用-Toy模板网

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以六轴机械臂为例，设机械臂关节空间为q，位置矩阵为p，速度矩阵为v

$q=[q_0,q_1,q_2,q_3,q_4,q_5]$

$p=[x,y,z]^T=\begin{bmatrix}f_x(q) \\ f_y(q)\\ f_z(q) \\ \end{bmatrix}$
联立机械臂速度矩阵、关节空间和位置矩阵的关系如下

$v=\dot p=\begin{pmatrix}\frac {df_x}{dt} \\ \frac {df_y}{dt} \\ \frac {df_z}{dt}\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac {\partial f_x} {\partial q_0}\frac {dq_0} {dt}& \cdots & \frac {\partial f_x} {\partial q_5}\frac {dq_5} {dt} \\ \frac {\partial f_y} {\partial q_0} \frac {dq_0} {dt} &\cdots&\frac {\partial f_y} {\partial q_5} \frac {dq_5} {dt} \\\frac {\partial f_z} {\partial q_0} \frac {dq_0} {dt} &\cdots & \frac {\partial f_z} {\partial q_5} \frac {dq_5} {dt} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac {\partial f_x} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_x} {\partial q_5} \\ \frac {\partial f_y} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_y} {\partial q_5} \\\frac {\partial f_z} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_z} {\partial q_5} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_1 \\ \vdots \\ q_5\\ \end{pmatrix}$

将中间矩阵定义为雅克比矩阵J，则

$J=\begin{pmatrix}\frac {\partial f_x} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_x} {\partial q_5} \\ \frac {\partial f_y} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_y} {\partial q_5} \\\frac {\partial f_z} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_z} {\partial q_5} \end{pmatrix}$

$v=J\dot q$

$\dot q=[\dot q_0,\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3,\dot q_4,\dot q_5]$

那么雅克比矩阵J可以用来表示从关节速度空间q_dot到关节末端执行空间速度的映射，即一个末端的位置可以由多个关节空间的速度映射得到，即

$\dot q {J \over \longrightarrow }v$

同样，末端执行空间速度F同样可以使用雅克比矩阵映射到关节空间力矩

$\tau {J ^T \over \longrightarrow}F$

$\tau = J^TF$

例如7轴机械臂，具有冗余的一个关节空间(7x1)q_6，所以在末端执行空间的变换矩阵（6x1）（3x3旋转+3x1平移）进行映射的时候q_6无论处在什么位置，都不会影响末端执行空间的位置和速度，称为零空间文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-637132.html

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