y " + p y ′ + q y = f ( x ) y^{"}+py^{'}+qy=f(x) y"+py′+qy=f(x)
⇒ y ∗ = f ( x ) F ( D ) = f ( x ) D 2 + p D + q \Rightarrow y^{*}=\frac{f(x)}{F(D)}=\frac{f(x)}{D^2+pD+q} ⇒y∗=F(D)f(x)=D2+pD+qf(x)
1. f ( x ) = e k x ( 所有的 D 都替换成 k ) f(x)=e^{kx}(所有的D都替换成k) f(x)=ekx(所有的D都替换成k)
e g 1 : y ′ ′ + 3 y ′ + 2 y = 5 e 3 x eg1:y^{''}+3y^{'}+2y=5e^{3x} eg1:y′′+3y′+2y=5e3x
⇒ y ∗ = 1 D 2 + 3 D + 2 5 e 3 x = 1 3 2 + 3 ∗ 3 + 2 5 e 3 x = 1 4 e 3 x \Rightarrow y^{*}=\frac{1}{D^2+3D+2} 5e^{3x}=\frac{1}{3^2+3*3+2} 5e^{3x}=\frac{1}{4}e^{3x} ⇒y∗=D2+3D+215e3x=32+3∗3+215e3x=41e3x
e g 2 : y ′ ′ + 3 y ′ + 2 y = e − x eg2:y^{''}+3y^{'}+2y=e^{-x} eg2:y′′+3y′+2y=e−x
⇒ y ∗ = 1 D 2 + 3 D + 2 e − x = 1 ( − 1 ) 2 + 3 ∗ ( − 1 ) + 2 e − x = 1 0 e − x \Rightarrow y^{*}=\frac{1}{D^2+3D+2} e^{-x}=\frac{1}{(-1)^2+3*(-1)+2} e^{-x}=\frac{1}{0}e^{-x} ⇒y∗=D2+3D+21e−x=(−1)2+3∗(−1)+21e−x=01e−x
若带入为0， 则求导（每次求导前提一个x,如果带入一直为0就一直求下去）文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-639527.html
= 1 D 2 + 3 D + 2 e − x = x 1 2 D + 3 e − x = x 1 2 ∗ ( − 1 ) + 3 e − x = x e − x =\frac{1}{D^2+3D+2} e^{-x}=x\frac{1}{2D+3} e^{-x}=x\frac{1}{2*(-1)+3} e^{-x}=xe^{-x} =文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-639527.html
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