1.算法效率
2.时间复杂度
3.空间复杂度
4. 常见时间复杂度以及复杂度oj练习
1.算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏
如何衡量一个算法的好坏呢?比如对于以下斐波那契数的计算
long long Fib(int N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
我们看到虽然用递归的方式实现斐波那契很简单,但是简单一定代表效率高吗?
我们接着往下看。
1.2 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏,一般
是从时间和空间两个维度来衡量的,即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢,而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算
机发展的早期,计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展,计
算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
1.3 复杂度在校招中的考察
我们可以看到在校招笔试的时候可能会遇到一些问题,就是它限制了时间和空间的复杂度,这无疑是加大了难度,所以我们现要了解什么是时间和空间复杂度,这样才能去写这道题。
2.时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义:在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。一
个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的程序放在机器上跑起来,才能知
道。但是我们需要每个算法都上机测试吗?是可以都上机测试,但是这很麻烦,所以才有了时间复杂度这个
分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法
的时间复杂度。
即:找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式,就是算出了该算法的时间复杂度。
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次?
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
通过我们的精确计算,count总共经过了N^2+2*N+M.
Func1 执行的基本操作次数 :
N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010
所以当N特别大的时候后面可以忽略掉。
所以上面的代码的时间复杂度是O(N^2).
实际中我们计算时间复杂度时,我们其实并不一定要计算精确的执行次数,而只需要大概执行次数,那么这
里我们使用大O的渐进表示法。
2.2 大O的渐进表示法
大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法:
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后,Func1的时间复杂度为O(N^2).
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项,简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况:
最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况:任意输入规模的期望运行次数
最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况:1次找到
最坏情况:N次找到
平均情况:N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
2.3常见时间复杂度计算举例
// 计算Func2的时间复杂度?
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
这个count的准确次数是2*N+M
所以写成大O是O(N)。
2
// 计算Func3的时间复杂度?
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
这里就要看前提是什么,如果不知道M和N的话,我们就可以写成O(M+N),如果M和N一样的话,可以写成O(N),如果N比M大的多,就可以写成O(N),反之则为O(M)。
// 计算Func4的时间复杂度?
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
常数项其实就是O(1)因为我们的计算机的运行速度特别快,每秒十几亿的速度,所以常数项都可以写成O(1).
// 计算strchr的时间复杂度?
const char * strchr ( const char * str, int character );
意思就是找一个字符,有就返回字符位置,没有就返回空指针,所以这肯定要遍历一遍我们的字符串,所以是O(N)。
// 计算BubbleSort的时间复杂度?
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
冒泡排序我们写的第一个是它的趟数,然后进行前后进行比较,如果有n个数,那第一次要比较的是n-1次,接下来,比如我们是升序的话,最后一个数就排好了,并且是最大的一个数,所以第二次就可以忽略最后一个数的比较,接下来就是n-2,这样下去一直到1,所以将他们相加,是(N^2-N)/2,当N无穷大的时候,所以大O就可以写成O(N*N).最快只需要n-1次就可以了
// 计算BinarySearch的时间复杂度?
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n - 1;
while (begin < end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid;
else
return mid;
}
return -1;
}
我们的二分查找时间复杂度可快了,是效率非常高的一个排序。
它的算法时间复杂度是O(log2N),可以写成logN,底数是2.
为什么说他快呢,举个例子,比如我们要在14亿人中要找出有个人,最坏情况只要31次,第一次直接去掉了7亿人,第二次又是一半,所以效率快。
//计算阶乘递归Fac的时间复杂度?
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}
其实它递归了N次,那就很简单,就是O(N)。
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度?
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
通过计算分析发现基本操作递归了2N次,时间复杂度为O(2N),因为我们第一次是2的1次,后面就是2的2次,一直到2的n次,相加就可写成O(2^N),所以递归并不是效率特别高的算法有时候,但是它简洁。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-639565.html
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