线性代数复习公式整理(自用/持续更新)-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了线性代数复习公式整理(自用/持续更新)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

第一章行列式

设A、B为n阶矩阵

$\left | A^T \right | =\left | A \right |$

$\left | A^m \right | =\left | A \right | ^m$

$\left | kA \right | =k^n\left | A \right |$

$\left | AB \right | =\left | A \right | \left | B \right |$

$若A可逆，则\left | A^{-1} \right | =\frac{1}{\left | A\right | }$

$\left | A^* \right | =\left | A \right | ^{n-1}$

$AA^*=A^*A=\left | A \right | E$

$A^*=\left | A \right | A^{-1}(若A可逆)$

$A=\left | A \right | (A^*)^{-1}$

$\begin{vmatrix}A_1 & & \\ & A_2 & \\ & &A_3 \end{vmatrix}=A_1A_2A_3, \begin{vmatrix} & &A_1 \\ & A_2 & \\A_3 & & \end{vmatrix}=-A_1A_2A_3$

设A为n阶矩阵，B为m阶矩阵，根据拉普拉斯展开定理有

$\begin{vmatrix}A & 0\\0 &B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A & C\\0 &B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A & 0\\C &B \end{vmatrix}=\left | A \right | \left | B \right |$

$\begin{vmatrix}0 & A\\B &0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}C & A\\B &0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0 & A\\B &C \end{vmatrix}=(-1)^{mn}\left | A \right | \left | B \right |$

秩

AB小于A、B里面更小的秩

$\left\{\begin{matrix} r(AB)\le r(A)\\r(AB)\le r(B)\end{matrix}\right.$

化“叉”型行列式

$\begin{vmatrix} a& 0& ...& 0&b \\ ...& & A& &... \\ c& 0 & ... &0 &d \end{vmatrix}=(ad-bc)\left | A \right | ,其中A是方阵,且除了主对角线和副对角线以外其余所有的元素均为0$

化“ab”型行列式

$\begin{vmatrix} a& b& b& ...&b \\ b& a& b& ...&b \\ b& b& a& ...&b \\ ...& ...& ...& ...&b \\ b& b& b& ...&a \end{vmatrix}=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}$

化“三条杠”型行列式

$\begin{vmatrix} a& b& 0& ...& 0&0 \\ c& a& b& ...& 0& 0\\ 0& c& a& \ddots &\vdots &\vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &b &0 \\ 0& 0& 0& ...& a& b\\ 0& 0& 0& ...& c&a\end{vmatrix}=\left\{\begin{matrix} \frac{\alpha ^{n+1}-\beta ^{n+1}}{\alpha -\beta },\alpha \ne \beta \\(n+1)\alpha ^{n},\alpha =\beta \end{matrix}\right.,且\left\{\begin{matrix} \alpha +\beta =a\\\alpha \cdot \beta =bc\end{matrix}\right.$

化“两线加一点”型行列式

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & a_2 & b_2 & ... & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & ... & a_{n-1} &b_{n-1} \\ b_n & 0& 0 & ... & 0 &a_n \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & 0 & 0 & ... & 0 &b_n \\ b_1 & a_2 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & b_2 & a_3 & ... & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & ... & a_{n-1} &0 \\ 0 & 0 & 0 & ... & b_{n-1} &a_n \end{vmatrix}=a_1a_2...a_n+(-1)^{n+1}b_1b_2...b_n$

行列式运算

$|A+B|\ne |A|+|B|$

第二章矩阵

矩阵与初等矩阵相乘做初等变换

初等矩阵左行右列
矩阵被向量表示是列表看左，行表看右

	$互换阵E_{ij}$	$倍乘阵E_i(k)$	$倍加阵E_{ij}(k)$
行列式	-1	k	1
逆	$E_{ij}$	$E_{i}(\frac{1}{k})$	$E_{ij}(-k)$
伴随	$E_{ij}$	$E_{i}(\frac{1}{k})$	$E_{ij}(-k)$

矩阵转置的性质

$A^T)^T=A$

$kA)^T=kA^T$

$(A\pm B)^T=A^T\pm B^T$

$AB)^T=B^TA^T$

$A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$

$A^T)^m=(A^m)^T$

分块矩阵

$A=\begin{pmatrix} A_1 & A_2\\ A_3&A_4 \end{pmatrix},A^T=\begin{pmatrix} A_1^T & A_3^T\\ A_2^T&A_4^T \end{pmatrix}$

秩

$r(AB)\ne r(A^TB^T)$

矩阵伴随的性质

$A^*=\left | A \right | A^{-1}(若A可逆)$

$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right | } A^*$

$A^T)^*=(A^*)^T$

$kA)^*=k^{n-1}A^*$

$AB)^*=B^*A^*$

$设M=\begin{pmatrix} A& C\\ 0&B \end{pmatrix}，则M^*=|M|M^{-1}=|M|\begin{pmatrix} A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1} \\ 0&B^{-1} \end{pmatrix}$

矩阵的逆的性质

$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$

矩阵可逆的充要条件

n阶矩阵A可逆

$1.存在n阶矩阵B，使得AB=BA+E；\\ 2.r(A)=n;\\ 3.|A|\ne 0;\\ 4.A的列(行)向量线性无关；\\ 5.Ax=0只有零解；\\ 6.0不是A的特征值；\\$

若矩阵不可逆，则特征值为0
可逆矩阵就是非奇异矩阵，不可逆矩阵就是奇异矩阵

$A^{-1})^{-1}=A$

$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$

$AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

$A^n)^{-1}=(A^{-1})^n$

$A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$

$\left | A^{-1} \right | =\frac{1}{\left | A\right | }$

$ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

分块矩阵的逆

$\begin{pmatrix} A&0 \\ 0&B \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1}&0 \\ 0&B^{-1} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&B \\ A&0 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 0&A^{-1} \\ B^{-1}&0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} A&C \\ 0&B \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1} \\ 0&B^{-1} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&B \\ A&C \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} -A^{-1}CB^{-1}&A^{-1} \\ B^{-1}&0 \end{pmatrix}$

二阶矩阵的逆

$设矩阵A=\begin{pmatrix} a & b\\ c &d \end{pmatrix}可逆，则A^{-1}=\frac{\begin{pmatrix} d& -b\\ -c&a \end{pmatrix}}{ad-bc} ,可记为\frac{主对调~负变号}{行列式}$

对角矩阵的逆
副对角线上的也一样，也是取倒数

$\begin{bmatrix} \lambda _1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda _n \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda _1} & & \\ & \ddots & \\ & & \frac{1}{\lambda _n} \end{bmatrix}$

特征值求行列式

$若题干可求得矩阵A的所有特征值\lambda _1,\lambda _2...,\lambda _n,那么立即有\left | A \right | =\lambda _1\lambda _2...\lambda _n$

A的多项式为0可以推出特征值的多项式为0

$f(A)=0\Longrightarrow f(\lambda )=0$

矩阵的秩

秩的公式

等式公式

$r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)$

1.初等变换秩不变

$r (k A) = r (A)$

2.乘以一个可逆矩阵秩不变

$r (A B) = r (B A) = r (A)$

3.若A与B等价

$r (A) = r (B)$

4.左乘列满秩矩阵秩不变，右乘行满秩矩阵秩不变

$设 B 列满秩， C 行满秩，则有 r (A) = r (B A) = r (A C)$

A的伴随矩阵的秩与A的秩的关系

$设A为n阶矩阵，则r(A^*)=\left\{\begin{matrix} n,r(A)=n\\1,r(A)=n-1 \\0,r(A)<n-1 \end{matrix}\right.$

分块矩阵的秩

$r[\begin{pmatrix} A& 0\\ 0&B \end{pmatrix}]=r(A)+r(B)$

$r (A, A B) = r (A)$

$r\begin{pmatrix} AB\\A \end{pmatrix}=r(B)$

秩的不等式公式

$设A是m\times n 型矩阵，0\le r(A)\le min\left \{ m,n \right \}$

$max\left \{ r(A),r(B)\right \} \le r(A,B)\le r(A)+r(B)$

$r(A+B)\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$

$r(AB)\le min\left \{ r(A),r(B) \right \}$

$若A_{m\times n}B_{n\times s}=O,则r(A)+r(B)\le n$

$r(A)+r(B)\le r[\begin{pmatrix} A& C\\ 0&B \end{pmatrix}]\le r(A)+r(B)+r(C)$

特征值与特征向量经过不同变换的结果

$A$	$k A + b E$	$A^2$	$f (A)$	$A^{-1}$	$A^*$	$PAP^{-1}$	$A^T$
$\lambda$	$\lambda +b$	$\lambda ^2$	$f(\lambda)$	$\frac{1}\lambda$	$\frac{det(A)}\lambda$	$\lambda$	$\lambda$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$P^{-1}\alpha$	$不一定$

对角矩阵

对角矩阵的逆

$\begin{bmatrix} \lambda _1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda _n \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda _1} & & \\ & \ddots & \\ & & \frac{1}{\lambda _n} \end{bmatrix}$

对角矩阵高次幂

$\wedge =\begin{bmatrix} \lambda _1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda _n \end{bmatrix}，则\wedge^{n}=\begin{bmatrix} \lambda _1^n & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda _n^n \end{bmatrix}$

秩1方阵

设A为n阶矩阵，且r(A)=1，则称其为“秩1方阵”

秩1方阵性质

A是实对称，可以对角化

$A=\alpha \beta ^T,其中\alpha 、\beta为非零列向量$

$行列式 ∣ A ∣ = 0$

$迹tr(A)=\alpha ^T\beta =\beta ^T\alpha$

$n次幂A^n=[tr(A)]^{n-1}A$

$对角化tr(A)\ne0\Longleftrightarrow A才可以对角化$

$特征值\lambda _A、特征向量\alpha ~~~~~~~~~\lambda _A=\left\{\begin{matrix} tr(A)=\alpha ^T\beta ~~~~~~\Rightarrow \alpha 为A的非零列\\0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow 瞪眼法求\alpha \end{matrix}\right.$

${\color{Red}\alpha \beta ^T、\beta \alpha ^T是矩阵，\alpha^T \beta 、\beta^T \alpha 是数字 }$

正交矩阵

正交矩阵定义

$设n阶矩阵A=(a_{ij})_{n\times n},若A^TA=AA^T=E，则称矩阵A为正交矩阵$

正交矩阵性质

行列式

$∣ A ∣ 的取值要么是 1 要么是 - 1$

特征值

$\lambda _A的取值要么是1要么是-1$

三大运算

$A^T=A^{-1}$

$当｜A｜=1时，A^T=A^{-1}=A^*$

$A^T、A^{-1}、A^*均为正交阵$

列向量与行向量

$A 的列向量与行向量均是单位向量$

$A 的列向量之间相互正交， A 的行向量之间也相互正交$

$正交阵与正交阵之积是正交阵$

矩阵的迹tr

矩阵对角线上的和等于伴随矩阵的迹

$\sum_{i=1}^{n}A_{ii}=A_{11}+ A_{22}+ A_{33}+ ...+A_{nn} =tr(A^*)$

矩阵相加需要注意

以下拆分只有转置成立

$|A+B|\ne |A|+|B|$

$(A+B)^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$

$(A+B)^{*}\ne A^{*}+B^{*}$

$A+B)^{T}= A^{T}+B^{T}$

第三章向量

向量的内积

$\alpha =(a_1,a_2,a_3),\beta =(b_1,b_2,b_3),做内积(\alpha ,\beta )=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

第四章线性方程组

齐次线性方程组只有零解

n为A的列数
$设齐次线性方程组A_{m \times n}=O$

$r(A)=n\Leftrightarrow 方程只有零解$

齐次线性方程组无穷多解

$r(A)<n\Leftrightarrow 方程有无穷多解$

非齐次线性方程组无解

$设齐次线性方程组A_{m \times n}x=y$

$r(A)<r(A,y)\Leftrightarrow 方程无解$

非齐次线性方程组有唯一解

$r(A)=r(A,y)=n\Leftrightarrow 方程有唯一解$

非齐次线性方程组无穷多解

$r(A)=r(A,y)<n\Leftrightarrow 方程无穷多解$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-639698.html

到了这里，关于线性代数复习公式整理(自用/持续更新)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！

线性代数复习公式整理(自用/持续更新)

第一章 行列式

秩