高等数学(预备知识之三角函数)-Toy模板网

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一. 三角函数的定义

正弦函数, 余弦函数, 正切函数都是以角为自变量, 以单位圆上的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 我们将他们称为三角函数
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$\sin$ $\alpha$ = y
$\cos$ $\alpha$ = x
$\tan$ $\alpha$ = $\frac{y}{x}$

正弦函数: y= $\sin$ x $\quad$ x $\in$ R
余弦函数: y= $\cos$ x $\quad$ x $\in$ R
正切函数: y= $\tan$ x $\quad$ x $\neq$ $\frac{π}{2}$ +kπ (k $\in$ Z) $\quad$ 因为y= $\tan$ $\frac{π}{2}$ = $\frac{1}{0}$

$\quad$
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例题1: 求 $\frac{5π}{3}$ 的正弦, 余弦, 正切值

$\sin$ $\frac{5π}{3}$ = $\sin$ (- $\frac{π}{3}$ ) = - $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

$\cos$ $\frac{5π}{3}$ = $\cos$ (- $\frac{π}{3}$ ) = $\frac{1}{2}$

$\tan$ $\frac{5π}{3}$ = $-\sqrt[]{3}$

$\quad$
$\quad$

二.象限角的三角函数符号

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所在象限为正, 由以下得来

三.诱导公式一

可以这样理解诱导公式就是把大角变小角

$\sin$ ( $\alpha$ + 2kπ) = $\sin$ $\alpha$ , k $\in$ Z
$\cos$ ( $\alpha$ + 2kπ) = $\cos$ $\alpha$ , k $\in$ Z
$\tan$ ( $\alpha$ + 2kπ) = $\tan$ $\alpha$ , k $\in$ Z

$\quad$
$\quad$
例题2: $\sin$ (-315°) = _____
$\sin$ (-315°) = $\sin$ (-315°+2π) = $\sin$ (45°) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\quad$
$\quad$
例题3: 在平面直角坐标系xoy中, 角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以Ox为始边,他们的终边关于x轴对称, 若 $\sin$ $\alpha$ = $\frac{1}{5}$ , 则 $\sin$ $\beta$ = _____
答案: - $\frac{1}{5}$

$\quad$
$\quad$
例题4: 已知 $\sin$ $\alpha$ >0, $\cos$ $\alpha$ <0, 则角 $\alpha$ 是在第几象限?
答案: 第二象限

$\quad$
$\quad$
例题5: 已知角 $\theta$ 终边上一点P(x,3)(x $\neq$ 0), 且 $\cos$ $\theta$ = $\frac{\sqrt{10}}{10}$ x, 求 $\sin$ $\theta$ ______ 和 $\tan$ $\theta$ ______
解: $\cos$ $\theta$ = $\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}$ = $\frac{\sqrt{10}}{10}$ x
解得: x= $\pm$ 1
$\sin$ $\theta$ = $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
$\tan$ $\theta$ = $\pm$ 3

$\quad$
$\quad$

四. 三角函数重要公式

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$\sin$ B = $\frac{b}{a}$

$\cos$ B = $\frac{c}{a}$

$\tan$ B = $\frac{b}{c}$

$sin^2$ B + $cos^2$ B = $\frac{b^2}{a^2}$ + $\frac{c^2}{a^2}$ = $\frac{b^2+c^2}{a^2}$ = 1

$\frac{\sin B}{\cos B}$ = $\frac{b}{a}$ / $\frac{c}{a}$ = $\frac{b}{c}$ = $\tan$ B

$\quad$
$\quad$
由此诞生两个重要公式

$sin^2$ $\alpha$ + $cos^2$ $\alpha$ = 1	$\tan$ $\alpha$ = $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ $\quad$ ( $\alpha$ $\neq$ $\frac{π}{2}$ +kπ (k $\in$ Z)

根据上面这两个公式推导 $\cos \alpha$ 与 $\tan \alpha$ 的关系式
将 $\sin \alpha$ = $\tan \alpha$ $\cos$ $\alpha$ 代入 $sin^2$ $\alpha$ + $cos^2$ $\alpha$ = 1
$tan^2$ $\alpha$ $cos^2$ $\alpha$ + $cos^2$ $\alpha$ = 1
$cos^2$ $\alpha$ ( $tan^2$ $\alpha$ +1) = 1

$cos^2$ $\alpha$ = $\frac{1}{\tan^2 \alpha+1}$

$\quad$
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$\quad$
例题6: $\sin$ $\alpha$ = $\frac{1}{3}$ , 并且 $\alpha$ 是第二象限角, 求 $\cos$ $\alpha$ , $\tan$ $\alpha$ 的值
解: $sin^2$ $\alpha$ + $cos^2$ $\alpha$ = 1
$\sin$ $\alpha$ = $\frac{1}{3}$ 代入得 $\frac{1}{9}$ + $cos^2$ $\alpha$ = 1

解得 $\cos$ $\alpha$ = - $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\tan$ $\alpha$ = - $\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\quad$
$\quad$
例题7: 已知 $\sin$ $\alpha$ = - $\frac{3}{5}$ , 求 $\cos$ $\alpha$ , $\tan$ $\alpha$ 的值
分析: 既然没有指明在第几象限, 而且 $\sin$ $\alpha$ 为负, 所以三四象限都要考虑
$sin^2$ $\alpha$ + $cos^2$ $\alpha$ = 1

当 $\alpha$ 在第三象限时
$\cos$ $\alpha$ = - $\frac{4}{5}$
$\tan$ $\alpha$ = $\frac{3}{4}$
当 $\alpha$ 在第四象限时
$\cos$ $\alpha$ = $\frac{4}{5}$
$\tan$ $\alpha$ = - $\frac{3}{4}$

$\quad$
$\quad$
例题8: 求证: $\frac{\cos x}{1- \sin x}$ = $\frac{1+\sin x}{\cos x}$
证明: 对角相乘得
$cos^2$ $\alpha$ = (1- $\sin x$ )(1+ $\sin x$ )
$cos^2$ $\alpha$ = 1²- $sin^2 x$
$sin^2$ $\alpha$ + $cos^2$ $\alpha$ = 1
$\therefore$ $\frac{\cos x}{1- \sin x}$ = $\frac{1+\sin x}{\cos x}$

$\quad$
$\quad$
例题9: 如果 $\alpha$ 是第二象限的角, 则下列各式中成立的是

A. $\tan$ $\alpha$ = - $\frac{\sin a}{\cos a}$ $\quad$ $\quad$ 本来 $\cos a$ 就为负, 不需要加负号

B. $\cos$ $\alpha$ = - $\sqrt{1- \sin^2 a}$

C. $\sin$ $\alpha$ = - $\sqrt{1- \cos^2 a}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ 应为正

D. $\tan$ $\alpha$ = $\frac{\cos a}{\sin a}$ $\quad$ $\quad$ 反了

$\quad$
$\quad$
例题10: 已知 $\sin$ $\alpha$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$ , 则 $sin^4 a$ - $cos^4 a$ 的值为____
$sin^2$ $\alpha$ + $cos^2$ $\alpha$ = 1
$sin^2$ $\alpha$ = $\frac{1}{5}$
$cos^2$ $\alpha$ = $\frac{4}{5}$
$sin^4 a$ - $cos^4 a$ = - $\frac{3}{5}$

$\quad$
$\quad$
例题11: 已知 $\theta$ $\in$ (0, π), $\sin \theta$ + $\cos \theta$ = $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ , 求 $\tan \theta$ 的值
解:
两边平方得
$sin^2$ $\theta$ + $cos^2$ $\theta$ +2 $\cos \theta$ $\sin \theta$ = $\frac{2- \sqrt{3}}{2}$

1 +2 $\cos \theta$ $\sin \theta$ = $\frac{2- \sqrt{3}}{2}$

2 $\cos \theta$ $\sin \theta$ = - $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta$ $\sin \theta$ = - $\frac{\sqrt{3}}{4}$ $\quad$ $\quad$ (除1)

$\frac{\cos \theta \sin \theta}{1}$ = $\frac{\cos \theta \sin \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}$ = $\frac{\tan \theta}{\tan^2 \theta+1}$ = - $\frac{\sqrt{3}}{4}$

解得 $\tan \theta$ = - $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\tan \theta$ = - $\sqrt{3}$

检验:
$cos^2$ $\theta$ = $\frac{1}{\tan^2 \theta+1}$

解得:
$cos^2$ $\theta$ = $\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$
$sin^2$ $\theta$ = $\frac{3}{4}$ 或 $\frac{1}{4}$

$\because$ $\theta$ $\in$ (0, π), $\sin$ $\theta$ 为正, $\cos$ $\theta$ 或正或负
$\sin$ $\theta$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$
$\cos$ $\theta$ = $\pm$ $\frac{1}{2}$ 或 $\pm$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\because$ $\sin \theta$ + $\cos \theta$ = $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$\therefore$ 只取 $\sin$ $\theta$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos$ $\theta$ = - $\frac{1}{2}$
$\therefore$ $\tan \theta$ = - $\sqrt{3}$

$\quad$
$\quad$
例题12: $\tan \alpha$ = 2 求 $\frac{\cos \alpha-5\sin\alpha}{3\cos \alpha+\sin \alpha}$
上下除以 $\cos \alpha$ 得
$\frac{1- 5\tan \alpha}{3+\tan \alpha}$ = - $\frac{9}{5}$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-640252.html