宋浩线性代数笔记(五)矩阵的对角化

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本章的知识点难度和重要程度都是线代中当之无愧的T0级,对于各种杂碎的知识点,多做题+复盘才能良好的掌握,良好掌握的关键点在于:所谓的性质A与性质B,是谁推导得谁~

目录

5.1矩阵的特征值和特征向量

5.2特征值和特征向量的性质

5.3相似矩阵and矩阵可对角化的条件 

5.4实对称矩阵的对角化

5.5正交矩阵


考研数学一大纲中的内容要求如下:

考试要求:

1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量.

2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.

3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.


5.1矩阵的特征值和特征向量

  • A为n阶方阵,存在非0列向量拉姆达,若有A*阿尔法=拉姆达*阿尔法,则拉姆达为1个特征值,则阿尔法为拉姆达对应的特征向量~
  • 注意,拉姆达可以为0但阿尔法不能为0,且阿尔法必须为列向量~
  • 拉姆达*E-A,被称为特征矩阵
  • 特征值拉姆达对应的特征向量不是唯一,但一个特征向量对应的特征值唯一
  • 求解时,特征矩阵要尽量将某一行化为0,这样会易于展开
  • 在求解出来特征值后,将特征值拉姆达反向代入,求出特征方程的系数矩阵,然后化为行简化阶梯形,再写出同解方程组,找出自由未知量,写出一个基础解系,然后与特征值相乘~
  • 注意有重根时,要写成线性组合的形式

5.2特征值和特征向量的性质

  • A和A的转置有着相同的特征值,但是对应的特征向量未必相同~
  • A有n个特征值L1~Ln,则L1~Ln的乘积即为A的行列式的值~
  • L1~Ln的和,即为A的迹的值——所谓迹的值即为矩阵主对角线元素的积~
  • 若果有一个拉姆达的值为0,则|A|=0,也就说明此时矩阵不可逆(因为分母不能为0)~

当|A|!=0时:

  1. A可逆
  2. r(A)=n,即为满秩
  3. 行向量组or列向量组线性无关
  4. 齐次方程Ax=0,只有0解~
  •  n阶方阵A互不相同的特征值L1~Ln对应的特征向量a1~an线性无关
  • K重特征值对应的线性无关的特征向量的个数<=K——n阶矩阵所有的线性无关的特征向量不超过K个~
  • K倍的拉姆达是KA的特征值
  • 拉姆达平方式A方的特征值(证明均要回归定义~
  • 若拉姆达是A的特征值,则拉姆达分之一则是A逆的特征值

5.3相似矩阵and矩阵可对角化的条件 

  • 矩阵相似:A、B为n阶方阵,如果有n阶可逆矩阵P,有P^-1*A*P=B,则AB相似,记作A~B
  • 反身性、对称性、传递性均满足
  • 如果矩阵相似,则AB有相同的特征值、相同的行列式、相同的迹
  • 如果相似,则A可逆和B可逆互为充要条件,且A逆和B逆相似~
  • 如果AB相似,则A与B各自的m次,也相似
  • 如果相似,则A与B的特征值相同~
  • 左右乘可逆矩阵,不改变矩阵的秩——毕竟,相当于做了初等变换,不会改变秩的值
  • A与对角形相似的充要条件:A有n个线性无关的特征向量
  • A有n个互异的特征值,则A一定相似于对角形~
  • A与对角形相似的充要条件是,Ri重特征根,基础解系要有Ri个解~

5.4实对称矩阵的对角化

  • 两个同维列向量的内积是对应坐标(下标)相乘再相加,本质为一个数~
  • 内积,相当于其中一个向量的转置右乘另一个向量
  • 内积的性质比较简单,着重看一下就好
  • 长度,又被称为范数、
  • 长度的定义是:各个坐标的平方的和再开根号
  • 柯西施瓦茨不等式:向量内积的绝对值小于等于模长之积
  • 三角不等式(类似和的绝对值小于绝对值的和~)
  • 正交就是所谓的垂直,即向量自身的内积为0——0向量与任何向量均正交~
  • 正交向量组:不含有0向量的方程组中,a1~an两两正交~
  • 标准正交向量组:每个向量均为单位向量~
  • 若向量a1~an构成正交向量组,则a1~an必然线性无关
  • 线性相关则表示两个向量必能互相表示——即两向量必然共线(同向或者反向),这也从另一个角度说明了,垂直(正交)时必然线性无关~
  • 施密特正交化:将一组线性无关的向量组,变成正交的向量组,使得与原向量等价

5.5正交矩阵

  • 正交矩阵的定义是:矩阵左乘自身的转置后,变为单位矩阵E
  • 矩阵的行列式必然为±1
  • A逆与A转置相等,且A逆和A转置均为正交矩阵
  • 若A、B为正交矩阵,则AB也正交~
  • A为正交矩阵的充要条件:A的列向量组or行向量组均是标准正交向量组~
  • 正交相似:若果A、B同阶,存在正交矩阵P,有P^-1*A*P=B
  • 正交矩阵一定可逆,且逆矩阵和转置矩阵完全一致
  • 实对称矩阵一定可以对角化
  • n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量~

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