力扣题目:01背包问题(二维数组)
刷题时长:参考题解
解题方法:动态规划 + 二维dp数组
复杂度分析
- 时间
- 空间
问题总结文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-643108.html
- 理解递推公式困难
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- 动规思路:两层for循环,第一层i遍历物品,第二层j枚举背包容量以内所有值
- 确定dp数组及下标的含义:dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品范围 中任意取,放进容量为j的背包后价值总和的最大值
- 确定递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
- 当背包容量小于物品重量,不放物品,此时价值总和为dp[i - 1][j]。即当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以背包内的价值依然和前面相同。
- 当背包容量大于等于物品重量,放入物品i,此时价值总和最大值为dp[i - 1][j - weight[i]]。即为了放入物品i,先找到背包容量刚好完全放不下物品i时的价值总和最高值,再加上物品i的价值,此时即为背包容量足够时选择放入物品i后的总价值。
- dp数组的初始化:
-
# 二维数组 dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(len(weight))] # 初始化 for j in range(weight[0], bagweight + 1): dp[0][j] = value[0]
- 确定遍历顺序:二维数组中,先遍历背包容量还是物品都可行
力扣题目:01背包问题(滚动数组)
刷题时长:参考题解
解题方法:动态规划 + 一维dp数组
复杂度分析
- 时间
- 空间
问题总结
- for循环遍历顺序为什么不能交换
本题收获
- 动规思路
- 确定dp数组及下标的含义:在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]
- 确定递推公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
- 此时dp[j]有两个选择,一个是取自己dp[j],相当于二维dp数组中的dp[i-1][j],即不放物品i;一个是取dp[j - weight[i]] + value[i],即放物品i。两者取大的得到价值最大值
- dp数组的初始化:都为0
- 确定遍历顺序:正序遍历物品,倒序遍历背包
- 相比二维数组,用一维数组实现的区别:
- 双循环的次序不能颠倒,必须先物品,再背包:dp[j]代表了二维数组中上一层放入物品i-1后的最大价值,和当前我们放入物品i后的总价值进行对比,比较之后再覆盖并更新为当前最大值
- 背包的遍历顺序必须为倒序:以保证物品i只被放入了一次
力扣题目:#416. 分割等和子集
刷题时长:参考题解后10min
解题方法:动态规划
复杂度分析
- 时间O(n^2)
- 空间O(n)
问题总结
- 如何能抽象为01背包问题
本题收获
- 转换为01背包问题:本题中每一个元素的数值既是重量,也是价值
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品(集合里的元素)重量为 元素的数值,价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入
- 动规思路
- 确定dp数组及下标的含义:容量为j的背包,所背的物品价值最大可以为dp[j]
- 确定递推公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
- dp数组的初始化:都为0
- 确定遍历顺序:第一层正序,第二层倒序
- 在第二层循环中左边界设为i-1,即背包容量枚举到大小等于i时就跳出,因为此时背包是装不下物品i的,无需再进一步写条件判断背包容量是否足够
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