引入:
如上图,已知图G。
问节点1到节点3的最短距离。
可心算而出为d[1,2]+d[2,3]=1+1=2,比d[1,3]要小。
求最短路径算法:
1.Floyd(弗洛伊德)
是一种基于三角形不等式的多源最短路径算法。边权可以为负数
表现为a[i,j]+a[j,k]<a[i,k]。
算法思想:
枚举“中转站”(k),“起点”(i),“终点”(j)
设d[i,j]为由i点到j点的最短路径
则
初始化d[i,j]为无穷大 ()
算法模板如下:
inline int Floyd(int n,int st,int ed)// n个点,起点st,终点ed,返回st到ed的最短距离
{
int d[n][n];
memset(d,0x3f,sizeof(d));
for(int i=1;i<=n;i++) d[i][i]=0;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
}
}
return d[st][ed];
}
补充:Floyd输出最短路径。
题目:有向图中任意两点最短路径(floyd)
题目描述
一个含n个结点的有向图(注意:是有向图!!),以矩阵存储方式给出,请求出指定的多组两个点之间的最短距离及其最短路径。
输入输出格式
输入格式:
第1行,一个整数n(0 < n < 300 ),表示有向图中结点的个数。
第2行到第(n+1)行,是一个n*n的矩阵,表示无向图中各结点之间的联结情况,矩阵中的数据为小于1000的正整数,其中 -1 表示无穷大!!
第(n+2)行,一个整数m,表示接下来有m组顶点 < i , j >对 ,其中,i是起点,j是终点,且i不等于j。
接下来有m行,每行两个整数,中间一个空格间隔,分别表示i和j,表示求解i点到j点的最短距离及最短路径。
注:输入数据已经确保答案每一组顶点间的最短路径是唯一的,无多解数据存在,顶点编号用数字表示,从1开始编号,至n结束!
输出格式:
共 2m 行。
第(m-1)*2+1行,一个整数,表示第m组顶点的最短距离,若两点间距离为无穷大,则输出 -1。
第(m-1)*2+2行,用顶点编号表示的路径序列,各顶点编号间用一个空格间隔,表示第m组顶点的最短路径,若两点间距离为无穷大,则输出的路径序列为 -1。
输入输出样例
输入样例#1:
3
0 4 11
6 0 2
3 -1 0
2
2 1
3 2
输出样例#1:
5
2 3 1
7
3 1 2
代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q;
int d[10001][10001],pre[10001][10001];
void dg(int i,int j)
{
if(i==j||pre[i][j]==0) return;
int k=pre[i][j];
dg(i,k);
dg(k,j);
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
cin>>d[i][j];
if(d[i][j]==-1)
{
d[i][j]=0x7fffff;
}
}
}
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j])
{
d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
pre[i][j]=k;
}
}
}
}
cin>>q;
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int x,y;
cin>>x>>y;
cout<<d[x][y]<<endl;
cout<<x<<" ";
dg(x,y);
cout<<y;
cout<<endl;
}
return 0;
}
传递闭包(连通性)
d[i,j]表示i与j是否连通。
题目:刻录光盘
题目描述
在FJOI2010夏令营快要结束的时候,很多营员提出来要把整个夏令营期间的资料刻录成一张光盘给大家,以便大家回去后继续学习。组委会觉得这个主意不错!可是组委会一时没有足够的空光盘,没法保证每个人都能拿到刻录上资料的光盘,怎么办呢?!
DYJ分析了一下所有营员的地域关系,发现有些营员是一个城市的,其实他们只需要一张就可以了,因为一个人拿到光盘后,其他人可以带着U盘之类的东西去拷贝啊!
他们愿意某一些人到他那儿拷贝资料,当然也可能不愿意让另外一些人到他那儿拷贝资料,这与我们FJOI宣扬的团队合作精神格格不入!!!
现在假设总共有N个营员(2<=N<=200),每个营员的编号为1~N。DYJ给每个人发了一张调查表,让每个营员填上自己愿意让哪些人到他那儿拷贝资料。当然,如果A愿意把资料拷贝给B,而B又愿意把资料拷贝给C,则一旦A获得了资料,则B,C都会获得资料。
现在,请你编写一个程序,根据回收上来的调查表,帮助DYJ计算出组委会至少要刻录多少张光盘,才能保证所有营员回去后都能得到夏令营资料?
输入输出格式
输入格式:
先是一个数N,接下来的N行,分别表示各个营员愿意把自己获得的资料拷贝给其他哪些营员。即输入数据的第i+1行表示第i个营员愿意把资料拷贝给那些营员的编号,以一个0结束。如果一个营员不愿意拷贝资料给任何人,则相应的行只有1个0,一行中的若干数之间用一个空格隔开。
输出格式:
一个正整数,表示最少要刻录的光盘数。
输入输出样例
输入样例#1:
5
2 4 3 0
4 5 0
0
0
1 0
输出样例#1:
1
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[100001],d[300][300],g[100001],ans;
int main()
{
int n;
cin>>n;
memset(d,0x3f,sizeof(d));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=i;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
while(1)
{
cin>>x;
if(x==0) break;
d[i][x]=1;
}
}
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i!=j&&j!=k&&k!=i)
{
if(d[i][k]==1&&d[k][j]==1)
{
d[i][j]=1;
}
}
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(d[i][j]==1)
{
f[j]=f[i];
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(f[i]==i)
{
ans++;
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
2.dijkstra(狄克斯特拉,迪杰斯特拉)
基于贪心的单源最短路径算法。边权必须为正数
基本思想:
设d[i]为起点s到终点i的最短路径,a[i,j]为点i到点j边权。
1.找 ,并将其用k记录
2.
3. 松弛操作,用k来更新图中所有点。
int dijkstra(int n,int st,int ed)
{
int dis[n+1],vis[n+1];
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(vis,0,sizeof(vis));
dis[st]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int k,minn=0x7fffff;
for(int j=1;j<=n;j++)if(!vis[j]&&dis[j]<minn) minn=dis[j],k=j;
vis[k]=true;
for(int j=1;j<=n;j++) d[j]=min(d[j],d[k]+a[k][j]);
}
return d[ed];
}
堆优化dijkstra:
typedef pair<int,int> P;
struct node{
int to;
int next;
int w;
}edge[10000010];
int head[10000010],d[10000010];
int cnt;
int n,m,x,y,z,s;
void add_edge(int u,int v,int w)
{
edge[cnt].to=v;
edge[cnt].w=w;
edge[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt++;
}
void dijkstra(int s)
{
priority_queue< P,vector<P>,greater<P> >q;
memset(d,0x3f,sizeof(d));
d[s]=0;
q.push(P(0,s));
while(!q.empty())
{
P p=q.top();
q.pop();
int u=p.second;
if(d[u]<p.first) continue;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(d[v]>d[u]+edge[i].w)
{
d[v]=d[u]+edge[i].w;
q.push(P(d[v],v));
}
}
}
}
3.Bellman-Ford
O(n*m) 但有更优的,由其转换而来的Spfa算法,不再赘述。边权可以为负数
4.Spfa
基于bellman-Ford,用队列优化的单源最短路径算法,边权可以为负数,可用于判断负环。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-645224.html
代码如下:文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-645224.html
int head=0,tail=1;
team[1]=s,vis[s]=1,dis[s]=0;
while(head<tail)
{
head=(head+1)%10000;
int u=team[head];
vis[u]=0;
for(int i=1;i<=len[u];i++)
{
int v=le[u][i];
if(dis[v]>dis[u]+a[u][v])
{
dis[v]=dis[u]+a[u][v];
if(vis[v]==0)
{
tail=(tail+1)%10000;
team[tail]=v;
vis[v]=1;
}
}
}
}
到了这里,关于图论——最短路算法的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!