【动态规划刷题 5】最小路径和&&地下城游戏-Toy模板网

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最小路径和

链接: 64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

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输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：
输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

1.状态表示

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

i. 从 [i, j] 位置出发，……；
ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，……；

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：
dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，此时的最小路径和。

2.状态转移方程

对于 dp[i][j] ，我们发现想要到达 [i, j] 位置，有两种⽅式：

i. 从 [i, j] 位置的上⽅ [i - 1, j] 位置，向下⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置；
ii. 从 [i, j] 位置的左边 [i, j - 1] 位置，向右⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置；

由于到 [i, j] 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 [i, j] 位置上本⾝的值即可

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

3. 初始化

为了解决一些边界条件，我们可以添加辅助节点，
在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让dp[0][1] = dp[1][0] = 1 即可。

4. 填表顺序
根据「状态转移⽅程」，填表的顺序是「从上往下填写每⼀⾏」，「每⼀⾏从左往右」

5. 返回值
应该返回 dp[m][n] 的值；

代码：

   int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));

        dp[0][1]=0;
        dp[1][0]=0;

        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
            }
        }

        return dp[m][n];
    }

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174. 地下城游戏（###）

链接: 174. 地下城游戏

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的右下角。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

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输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出：7
解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：
输入：dungeon = [[0]]
输出：1

1.状态表示

这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。
那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。（后效性问题）
这个时候我们要换⼀种状态表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。
这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。
综上所述，定义状态表⽰为：
dp[i][j] 表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数

2.状态转移方程

对于 dp[i][j] ，从 [i, j] 位置出发，下⼀步会有两种选择：

往右走一步，到达dp[i][j-1]的位置，根据dp[]数组的定义，需要满足的条件是，走到dp[i][j-1]时的生命值，必需大于等于dp[i][j-1] ,也就是:
dp[i][j] +dungeon[i][j]>=dp[i][j+1], ==》》 dp[i][j] >=dp[i][j+1]-dungeon[i][j]
往下走一步，到达dp[i-1][j]的位置，同理可得，
dp[i][j] >=dp[i+1][j]-dungeon[i][j]

综上所述，我们需要的是两种情况下的最⼩值，因此可得状态转移⽅程为：
dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个⽐较⼤的正数的话， dp[i][j] 的值可能变成 0 或者负数，也就是最低点数会⼩于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果⼩于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取⼀个最⼤值即可：
dp[i][j] = max(1, dp[i][j])

3. 初始化

为了解决一些边界条件，我们可以添加辅助节点，
在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。

4. 填表顺序
根据「状态转移⽅程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。

5. 返回值
应该返回 dp[0][0] 的值；

代码：

int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        int m=dungeon.size();
        int n=dungeon[0].size();

        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        //dp[i][j]+dungeon[i][j+1]>=dp[i][j+1]    ->  dp[i][j]=dp[i][j+1]-dungeon[i][j]
        dp[m][n-1]=1;
        dp[m-1][n]=1;
        for(int i=m-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j=n-1;j>=0;j--)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
                dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }