线性代数是数学的一个分支,用于研究线性方程组及其解的性质、向量空间及其变换的性质等。在计算机科学领域中,线性代数常用于图形学、机器学习、计算机视觉等领域。本文将详细介绍 JS 中常用的线性代数算法,并提供代码示例。
一、向量的加减乘除
向量是有大小和方向的量,通常用一列数表示。向量的加减乘除运算也是线性代数中的基本运算。
1. 向量加法
向量加法计算两个向量相加的结果。
例如:给定两个二维向量:
a ⃗ = [ 1 2 ] , b ⃗ = [ 3 4 ] \vec{a}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix},\vec{b}=\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} a=[12],b=[34]
则它们的和为:
a ⃗ + b ⃗ = [ 4 6 ] \vec{a}+\vec{b}=\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} a+b=[46]
代码实现:
function addVectors(a, b) {
if (a.length !== b.length) return null;
return a.map((n, i) => n + b[i]);
}
2. 向量减法
向量减法计算两个向量相减的结果。
例如:给定两个三维向量:
a ⃗ = [ 1 3 2 ] , b ⃗ = [ 4 1 5 ] \vec{a}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix},\vec{b}=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} a= 132 ,b= 415
则它们的差为:
a ⃗ − b ⃗ = [ − 3 2 − 3 ] \vec{a}-\vec{b}=\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} a−b= −32−3
代码实现:
function subtractVectors(a, b) {
if (a.length !== b.length) return null;
return a.map((n, i) => n - b[i]);
}
3. 向量数乘
向量数乘是将一个向量的每个元素乘以一个标量。
例如:给定一个三维向量:
a ⃗ = [ 1 3 2 ] \vec{a}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} a= 132
则它乘以标量 k = 2 k=2 k=2 的结果为:
k a ⃗ = 2 [ 1 3 2 ] = [ 2 6 4 ] k \vec{a}=2\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix} ka=2 132 = 264
代码实现:
function scalarMultiply(vector, scalar) {
return vector.map(n => n * scalar);
}
4. 向量点积
向量点积(也称为内积或数量积)计算两个向量的乘积的和。
例如:给定两个三维向量:
a ⃗ = [ 1 3 2 ] , b ⃗ = [ 4 1 5 ] \vec{a}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix},\vec{b}=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} a= 132 ,b= 415
则它们的点积为:
a ⃗ ⋅ b ⃗ = 1 × 4 + 3 × 1 + 2 × 5 = 17 \vec{a} \cdot \vec{b}=1 \times 4 + 3 \times 1 + 2 \times 5 = 17 a⋅b=1×4+3×1+2×5=17
代码实现:
function dotProduct(a, b) {
if (a.length !== b.length) return null;
return a.reduce((sum, n, i) => sum + n * b[i], 0);
}
5. 向量叉积
向量叉积(也称为外积或向量积)计算两个向量的垂直于它们所在平面的法向量。向量叉积只适用于三维向量。
例如:给定两个三维向量:
a ⃗ = [ 1 3 2 ] , b ⃗ = [ 4 1 5 ] \vec{a}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix},\vec{b}=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} a= 132 ,b= 415
则它们的叉积为:
a ⃗ × b ⃗ = [ 13 3 − 11 ] \vec{a} \times \vec{b}=\begin{bmatrix} 13 \\ 3 \\ -11 \end{bmatrix} a×b= 133−11
代码实现:
function crossProduct(a, b) {
if (a.length !== 3 || b.length !== 3) return null;
const [ax, ay, az] = a;
const [bx, by, bz] = b;
return [ay * bz - az * by, az * bx - ax * bz, ax * by - ay * bx];
}
二、矩阵的加减乘除
矩阵是由若干行若干列的数排成的矩形阵列,通常用两个下标表示。矩阵的加减乘除运算也是线性代数中的基本运算。
1. 矩阵加法
矩阵加法计算两个矩阵相加的结果。
例如:给定两个 2 × 2 2 \times 2 2×2 的矩阵:
[ 1 2 3 4 ] , [ 5 6 7 8 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} [1324],[5768]
则它们的和为:
[ 6 8 10 12 ] \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} [610812]
代码实现:
function addMatrices(a, b) {
if (a.length !== b.length || a[0].length !== b[0].length) return null;
return a.map((row, i) => row.map((n, j) => n + b[i][j]));
}
2. 矩阵减法
矩阵减法计算两个矩阵相减的结果。
例如:给定两个 3 × 3 3 \times 3 3×3 的矩阵:
[ 1 3 2 4 8 5 6 1 2 ] , [ 2 1 5 3 6 4 1 7 3 ] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 8 & 5 \\ 6 & 1 & 2 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 3 & 6 & 4 \\ 1 & 7 & 3 \end{bmatrix} 146381252 , 231167543
则它们的差为:
[ − 1 2 − 3 1 2 1 5 − 6 − 1 ] \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 5 & -6 & -1 \end{bmatrix} −11522−6−31−1
代码实现:
function subtractMatrices(a, b) {
if (a.length !== b.length || a[0].length !== b[0].length) return null;
return a.map((row, i) => row.map((n, j) => n - b[i][j]));
}
3. 矩阵数乘
矩阵数乘是将一个矩阵的每个元素乘以一个标量。
例如:给定一个 2 × 2 2 \times 2 2×2 的矩阵:
[ 1 3 2 5 ] \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} [1235]
则它乘以标量 k = 2 k=2 k=2 的结果为:
2 × [ 1 3 2 5 ] = [ 2 6 4 10 ] 2 \times \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 10 \end{bmatrix} 2×[1235]=[24610]
代码实现:
function scalarMultiplyMatrix(matrix, scalar) {
return matrix.map(row => row.map(n => n * scalar));
}
4. 矩阵乘法
矩阵乘法计算两个矩阵相乘的结果。矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律。即 A × B ≠ B × A A \times B \neq B \times A A×B=B×A。
例如:给定两个 2 × 3 2 \times 3 2×3 和 3 × 2 3 \times 2 3×2 的矩阵:
[
1
2
3
4
5
6
]
,
[
7
8
9
10
11
12
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12\end{bmatrix}
[142536],
791181012
以下是两个 2×3 和 3×2 矩阵的乘法的 JavaScript 代码示例:
// 2x3 矩阵
const matrixA = [
[1, 2, 3],
[4, 5, 6]
];
// 3x2 矩阵
const matrixB = [
[7, 8],
[9, 10],
[11, 12]
];
// 2x2 结果矩阵
const resultMatrix = [
[0, 0],
[0, 0]
];
// 矩阵乘法
for (let i = 0; i < 2; i++) {
for (let j = 0; j < 2; j++) {
let sum = 0;
for (let k = 0; k < 3; k++) {
sum += matrixA[i][k] * matrixB[k][j];
}
resultMatrix[i][j] = sum;
}
}
// 输出结果
console.log(resultMatrix);
输出结果为:
[
[58, 64],
[139, 154]
]
上述代码中,我们首先定义了两个矩阵 matrixA
和 matrixB
,然后定义了一个结果矩阵 resultMatrix
,该矩阵的大小为 2×2。
接下来,我们通过三层循环实现了矩阵乘法。外层两个循环控制结果矩阵的行列数,内层循环计算结果矩阵中每个元素的值。
最后,我们输出了结果矩阵的值。
常用数学库
在 JavaScript 中实现线性代数算法需要使用数学库,比如 Math.js 或者 NumJS。
以下是 Math.js 的示例代码:文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-648352.html
// 创建矩阵
const matrix1 = math.matrix([[1, 2], [3, 4]]);
const matrix2 = math.matrix([[5, 6], [7, 8]]);
// 加法
const addResult = math.add(matrix1, matrix2);
console.log(addResult); // 输出 [[6, 8], [10, 12]]
// 矩阵乘法
const multiplyResult = math.multiply(matrix1, matrix2);
console.log(multiplyResult); // 输出 [[19, 22], [43, 50]]
// 转置
const transposeResult = math.transpose(matrix1);
console.log(transposeResult); // 输出 [[1, 3], [2, 4]]
// 求逆矩阵
const inverseResult = math.inv(matrix1);
console.log(inverseResult); // 输出 [[-2, 1], [1.5, -0.5]]
以上是一些常见的线性代数算法的示例代码。使用数学库可以方便地实现复杂的线性代数计算。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-648352.html
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