概率论与数理统计：第二、三章:一维~n维随机变量及其分布

Ch2. 一维随机变量及其分布

1.随机变量及分布函数

1.随机变量

①X=X(ω)
②一般用大写字母表示

常见的两类随机变量——离散型随机变量、连续型随机变量

2.分布函数$F(x)$

(1)定义

1.定义：
称函数 F ( x ) = P { X ≤ x }   ( − ∞ < x < + ∞ ) F(x)=P\{ X≤x\} \ (-∞<x<+∞) F(x)=P{X≤x} (−∞<x<+∞) 为随机变量X的分布函数，或称 X服从F(x)分布，记为X~F(x)

(2)分布函数F(x)的性质 (充要条件)

①$0\le F(x)\le 1$：分布函数是事件的概率，满足有界性
②$F(x)单调不减$：x从-∞取到+∞的过程中，F(x)单调不减，从0逐渐变大到1
③$F(x)右连续$：$F(a)=F(a^{+})$
④$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=F(-\infty )=0，\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=F(+\infty )=1$

若函数F(x)满足性质②-④，则F(x)必为某个随机变量的分布函数。

⑤$f(x)=F^{\prime }(x)$

例题：判断是否为分布函数、概率密度

例题1：02年10.

分析：

A.${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }(f_1(x)+f_2(x))dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(x)dx+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_2(x)dx=2\ne 1\therefore f_1(x)+f_2(x)$不是概率密度
B.${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(x)f_2(x)dx\ne 1\therefore f_1(x)f_2(x)$不是概率密度
C.$F(+\infty )=F_1(+\infty )+F_2(+\infty )=2\ne 1\therefore F_1(x)+F_2(x)$不是分布函数

D.①$0\le F_1(x)F_2(x)\le 1$
②$F_1(x)F_2(x)$单调不减
③$F_1(x)F_2(x)$右连续
④$F(+\infty )=F_1(+\infty )F_2(+\infty )=1，F(-\infty )=F_1(-\infty )F_2(-\infty )=0$
∴$F_1(x)F_2(x)$必为某个随机变量的分布函数。

答案：D

例题2：11年7.

分析：
①如果对乘法的求导法则熟悉，则会发现D的 $f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)=[F_1(x)F_2(x){]}^{\prime }$
②验证性质：${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)\mathrm{dx}={\mathrm{F}}_1(\mathrm{x}){\mathrm{F}}_2(\mathrm{x}){|}_{-\infty }^{+\infty }=1\times 1-0\times 0=1$
满足$f(x)\ge 0$、${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1$，为概率密度

答案：D

例题3：24李林六(二)8.

分析：
①由$F(-\infty )=0，F(+\infty )=1$，排除AB
②由右连续 或 单调不减，排除C

答案：D

(3)分布函数的应用——求概率

1.一元分布函数：
① P { X ≤ a } = F ( a ) P\{X≤a\}=F(a) P{X≤a}=F(a)

② P { X > a } = 1 − P { X ≤ a } = 1 − F ( a ) P\{X>a\}=1-P\{X≤a\}=1-F(a) P{X>a}=1−P{X≤a}=1−F(a)

③ P { a < X ≤ b } = P { X ≤ b } − P { X ≤ a } P\{a<X≤b\}=P\{X≤b\}-P\{X≤a\} P{a<X≤b}=P{X≤b}−P{X≤a}

④ P { X < a } = F ( a − ) P\{X<a\}=F(a^-) P{X<a}=F(a−)

⑤ P { X = a } = P { X ≤ a } − P { X ＜ a } = F ( a ) − F ( a − ) P\{X=a\}=P\{X≤a\}-P\{X＜a\}=F(a)-F(a^-) P{X=a}=P{X≤a}−P{X＜a}=F(a)−F(a−)（一点处的概率，连续型一点处的概率为0）

①若 P { X = a } = 0 ，即 F ( a ) − F ( a − ) P\{X=a\}=0，即F(a)-F(a^-) P{X=a}=0，即F(a)−F(a−)，即要求左连续。
②因为分布函数统一用F字母，所以不同分布函数是用F的不同角标来区分，如X和Y不同分布，则分布函数为$F_X(z)、F_Y(z$)

2.二元分布函数：
F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { Z ( X , Y ) ≤ z } F_Z(z) = P\{Z≤z\}=P\{Z(X,Y)≤z\} FZ​(z)=P{Z≤z}=P{Z(X,Y)≤z}

例题1：10年7.

分析：$PX=1=F(1)-F(1-0)=1-e^{-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-e^{-1}$

答案：C

例题2：19年14.   分类讨论、数学期望

分析：

答案：$\frac{2}{3}$

例题3：09年8.

分析：

答案：B

例题4：23李林四(一)9.

分析：

答案：D

例题5：16年22(3)

(4)最大最小值函数

推导：
① P { max ⁡ { X , Y } ≤ a } = P { X ≤ a ， Y ≤ a } P\{\max\{X,Y\}≤a\}=P\{X≤a，Y≤a\} P{max{X,Y}≤a}=P{X≤a，Y≤a}   【16年23(1) 最大值函数】

② P { min ⁡ { X , Y } ≥ a } = P { X ≥ a ， Y ≥ a } P\{\min\{X,Y\}≥a\}=P\{X≥a，Y≥a\} P{min{X,Y}≥a}=P{X≥a，Y≥a}

③ P { a < max ⁡ { X , Y } ≤ b } = P { a < U ≤ b } = P { U ≤ b } − P { U ≤ a } = P { X ≤ b ， Y ≤ b } − P { X ≤ a ， Y ≤ a } P\{a<\max\{X,Y\}≤b\}=P\{a<U≤b\}=P\{U≤b\}-P\{U≤a\}=P\{X≤b，Y≤b\}-P\{X≤a，Y≤a\} P{a<max{X,Y}≤b}=P{a<U≤b}=P{U≤b}−P{U≤a}=P{X≤b，Y≤b}−P{X≤a，Y≤a}

例题1：08年7.   Z=max{X,Y}与Z=min{X,Y}的分布函数

分析：

F 2 ( x ) ： Z = m a x { X , Y } F²(x)：Z=max\{X,Y\} F2(x)：Z=max{X,Y}，独立，同分布
F ( x ) F ( y ) ： Z = m a x { X , Y } F(x)F(y)：Z=max\{X,Y\} F(x)F(y)：Z=max{X,Y}，独立，不同分布
1 − [ 1 − F ( x ) ] 2 ： Z = m i n { X , Y } 1-[1-F(x)]²：Z=min\{X,Y\} 1−[1−F(x)]2：Z=min{X,Y}，独立，同分布
1 − [ 1 − F ( x ) ] [ 1 − F ( y ) ] ： Z = m i n { X , Y } 1-[1-F(x)][1-F(y)]：Z=min\{X,Y\} 1−[1−F(x)][1−F(y)]：Z=min{X,Y}，独立，不同分布

答案：A

例题2：08年7. 变式

分析：主要是看①max还是min，②是否同分布。就看这两个。最大值是乘积，最小值是 1-[ ]，同分布无角标，不同分布有角标，有x有y

①分布函数的定义：分布函数F与概率P的关系
②最大值最小值的定义
③独立：P的乘积可拆为乘积的P，同理F可拆
④同分布：角标可以抹去了，合并。随机变量不同分布，则有各自的角标。

答案：C

例题3：16年23(1)

分析：
直接默写最大值函数的分布函数、概率密度公式

答案：

例题4：24李林六(六)16.   最大值函数 U=max{X,Y}

分析：
① P { max ⁡ { X , Y } ≤ a } = P { X ≤ a ， Y ≤ a } P\{\max\{X,Y\}≤a\}=P\{X≤a，Y≤a\} P{max{X,Y}≤a}=P{X≤a，Y≤a}
② P { a < max ⁡ { X , Y } ≤ b } = P { a < U ≤ b } = P { U ≤ b } − P { U ≤ a } = P { X ≤ b ， Y ≤ b } − P { X ≤ a ， Y ≤ a } P\{a<\max\{X,Y\}≤b\}=P\{a<U≤b\}=P\{U≤b\}-P\{U≤a\}=P\{X≤b，Y≤b\}-P\{X≤a，Y≤a\} P{a<max{X,Y}≤b}=P{a<U≤b}=P{U≤b}−P{U≤a}=P{X≤b，Y≤b}−P{X≤a，Y≤a}

答案：$\frac{15}{8e}$

例题5：24李林六(一)22(1)

答案：

2.一维离散型随机变量

(1)离散型随机变量的定义

(1)离散型随机变量的定义：
定义1：如果随机变量X的所有可能取值为有限个或无限可列个离散的点$x_1,x_2,...,x_i,...$，则称X为一个离散型随机变量。

定义2：若随机变量X的分布函数F(x)为一个阶梯函数，则称X为一个离散型随机变量。

(2)分布律的定义：
P { X = x i } = p i P\{X=x_i\}=p_i P{X=xi​}=pi​ 为X的分布列/分布律

(3)分布律的性质：
①非负性：$p_i>0(i=1,2,...)$
②归一性：$\sum _{i=0}^{\infty }{p}_i=1$

可以看出分布函数F(x)的性质：
①右连续，即$F(a)=F(a^{+})$
②单调不减
③写分布函数的取值范围时，都是左闭右开的，这是由分布函数的右连续性质决定的。

一维离散型的分布函数F(x) → 分布列：取值$x_i$就是跳跃间断点，对应的概率$p_i$就是跃度

(2)一维离散型随机变量的概率分布：分布律

1.离散型随机变量：如果随机变量X只能取有限个或可列个值$x_1,x_2,...$，则称X为离散型随机变量

2.分布律：
(1)分布律的定义：
称 P { X = x k } = p k ， k = 1 , 2 , . . . P\{X=x_k\}=p_k，k=1,2,... P{X=xk​}=pk​，k=1,2,...为离散型随机变量X的分布律 或 X的概率分布，记为$X\sim p_k$。其函数图形为“步步高的阶梯函数”。

离散型随机变量的概率分布是分布律。可用矩阵或表格表示。

(2)分布律的性质(充要条件)
①$p_k\ge 0$
②规范性(归一性)：$\sum _{k=1}^{+\infty }{p}_k=1$

3.特点
(1)分布函数 $F(x)=\sum _{x_i\le x}{p}_i$，即F(x) = x扫过的离散点的概率之和。F(x)是“步步高的阶梯函数”。
(2)归一性：$\sum _{i=1}^n{p}_i=1$
(3)概率：
①一点处概率： P { X = a } = F ( a ) − F ( a − 0 ) P\{X=a\}=F(a)-F(a-0) P{X=a}=F(a)−F(a−0)
②区间上概率： P { X ∈ B } = ∑ x i ∈ B p i P\{X∈B\}=\sum\limits_{x_i∈B}p_i P{X∈B}=xi​∈B∑​pi​

4.离散型随机变量的概率分布（分布律）

①先求该离散型随机变量的取值范围，一一列举：
Z=XY的取值范围：-1，0，1

②求每一个取值的概率：
P{XY=-1}=…
P{XY=0}=…
P{XY=1}=…

③列分布律：

例题1：23李林四(一)16.   数学期望+分布律

分析：

答案：$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$

(3)常见的离散型随机变量分布

①两点分布 / 0-1分布

0-1分布的概率分布为：
① P { X = 1 } = p ， P { X = 0 } = 1 − p P\{X=1\}=p，P\{X=0\}=1-p P{X=1}=p，P{X=0}=1−p

或 ② P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k ， k = 0 , 1 P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}，k=0,1 P{X=k}=pk(1−p)1−k，k=0,1

②二项分布 X~B(n,p)

n重伯努利实验：干一件事，要么成功，要么失败。成功概率为p，失败概率为1-p。则干这件事n次，成功了k次的概率为 ($x_k=k$)。k的取值范围：[0,n]

P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k ( k = 0 , 1 , 2 , . . . , n ) P\{X=k\}={\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} \qquad (k=0,1,2,...,n) P{X=k}=Cnk​pk(1−p)n−k(k=0,1,2,...,n)
其中，${\mathrm{C}}_n^k=\frac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k!}$

习题1：09年14.   二项分布的期望与方差、E(S²)=D(X)、无偏估计

分析：

答案：-1

例题2：16年8.

分析：

答案：A

例题3：01年19.    考点：二项分布、泊松分布、条件概率

③泊松分布

若随机变量X的概率分布为：
P { X = k } = λ k k ! e − λ ( k = 0 , 1 , 2 , . . . ; λ > 0 ) P\{X=k\}=\dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} \qquad (k=0,1,2,...;λ>0) P{X=k}=k!λk​e−λ(k=0,1,2,...;λ>0)
则称X服从参数为λ的泊松分布(Poisson)，记作 $X\sim P(\lambda )$。E(X)=λ，D(X)=λ。
k的取值范围：[0,+∞]

λ称为强度。泊松分布的数学期望 E(X)=λ。

应用：
①某场合下，单位时间内源源不断的质点来流的数量
②稀有事件发生的概率

泊松分布由二项分布近似而来。

例题1：01年19.    考点：二项分布、泊松分布、条件概率

分析：
X服从泊松分布，X~P(λ)
Y服从二项分布，Y~B(n,p)

④几何分布 $G(p)$

几何分布$G(p)$：前k-1次未成功，第k次成功了。(首中即停止的伯努利试验)

若X的概率分布 (分布律) 为 P { X = k } = C k − 1 0 p 0 q k − 1 ⋅ p = q k − 1 p ( k = 1 , 2 , . . . ) P\{X=k\}=C_{k-1}^0p^0q^{k-1}·p=q^{k-1}p \quad (k=1,2,...) P{X=k}=Ck−10​p0qk−1⋅p=qk−1p(k=1,2,...)，则称X服从参数为p的几何分布，记为 $X\sim G(p)$

几何分布是离散型的等待分布。k不能取0，k从1起。

例题1：  几何分布推广，首二中即停止：$P=C_{k-1}^{1}p(1-p{)}^{k-2}\cdot p$

答案：

⑤超几何分布

超几何分布 $H(n,N,M)$

P { X = k } = C M k C N − M n − k C N n P\{X=k\}=\dfrac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} P{X=k}=CNn​CMk​CN−Mn−k​​

3.一维连续型随机变量

(1连续型随机变量的定义

(2)连续型随机变量的概率分布：分布函数、概率密度

1.定义：
若随机变量X的分布函数可表示为 $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$ $(-\infty <x<+\infty )$
其中f(x)是非负可积函数，则称X为连续型随机变量，称f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数，简称概率密度，记为 X~f(x)

2.概率密度f(x)的性质、充要条件：
①非负性：$f(x)\ge 0$

②归一性：${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1$   【常用于求解题目中的未知数a、b，作为隐藏条件】

③ P { a < X ≤ b } = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x P\{a<X≤b\} = F(b) - F(a)= \int_{a}^{b}f(x){\rm d}x P{a<X≤b}=F(b)−F(a)=∫ab​f(x)dx

④在f(x)的连续点x处，$F^{\prime }(x)=f(x)$

其中①② 非负性和归一性，是f(x)成为概率密度的充要条件

已知f(x)为概率密度，则 $f(ax+b)为概率密度\iff a=\pm 1$
【若|a|≠1，或f(x²) 或f²(x)均不是概率密度】

$F_1(x)F_2(x)$为 、 max ⁡ { X 1 , X 2 } 、\max\{X₁,X₂\} 、max{X1​,X2​}的分布函数，$f_1(x)F_2(x)+F_1(x)f_2(x)$为它的概率密度

3.求解f(x)
①F(x)求导：先求F(x)，则$f(x)=F^{\prime }(x)$
②由二维概率密度求边缘概率密度：已知f(x,y)表达式，则$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$

4.特点
(1)分布函数 F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=P\{X≤x\}=\int_{-∞}^xf(t)dt F(x)=P{X≤x}=∫−∞x​f(t)dt，记为 $X\sim f(x)$。F(x)是连续函数。
(2)f(x)非负、可积，且有归一性：${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1$
(3)概率：
①一点处概率： P { X = a } = 0 P\{X=a\}=0 P{X=a}=0 。(即＜、≤的概率相等)
②区间上概率： P { X ∈ B } = ∫ B f ( x ) d x P\{X∈B\}=\int_Bf(x){\rm d}x P{X∈B}=∫B​f(x)dx

5.概率P、分布函数F、概率密度f的关系
① P { X ≤ a } = F ( a ) = ∫ − ∞ a f ( x ) d x P\{X≤a\}=F(a)=\int_{-∞}^af(x)dx P{X≤a}=F(a)=∫−∞a​f(x)dx
P { X > a } P\{X>a\} P{X>a} = 1 − P { X ≤ a } = 1 − F ( a ) =1-P\{X≤a\}=1-F(a) =1−P{X≤a}=1−F(a)$={\int }_a^{+\infty }f(x)dx$
$P${ $a<X\le b$ } $=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$

②$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$
  $f(x)=F^{\prime }(x)$

f可以唯一确定F，但F不能推出f。如U(a,b)和U[a,b]，f的x一个开区间，一个闭区间，都能得到同样的F(x)

例题1：16年23.

求概率密度，先求分布函数，再求导。

答案：
（1）F_T(t) = P{T≤t} = P{ max{X₁，X₂，X₃}≤t } = P{ X₁≤t，X₂≤t，X₃≤t } = P{X₁≤t}·P{X₂≤t}·P{X₃≤t} = P³{X≤t} = F³_X(t)

（2）aT为θ的无偏估计 ⇦⇨ E(aT)=θ

(3)常见的连续型型随机变量分布：均匀分布、指数分布、正态分布

①均匀分布

均匀分布 $U(a，b)$

1.均匀分布的概率密度
$f(x)=\{\begin{array}{rl}\frac{1}{b-a}，& a<x<b\\ 0，& 其他\end{array}$

2.均匀分布的分布函数
$F(x)=\{\begin{array}{rl}0，& x<a\\ \frac{x-a}{b-a}，& a\le x<b\\ 1，& x\ge b\end{array}$

均匀分布，是一维的几何概型

例题1：20年14.   均匀分布的概率密度

答案：$\frac{2}{\pi }$

例题2：21年22.

答案：

②指数分布

1.指数分布的概率密度：
若连续型 随机变量X的概率密度为
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，记为X~E(λ)

2.指数分布的分布函数：
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

指数分布是连续型等待分布。
指数分布的λ是失效率，指数分布的数学期望$E(X)=\frac{1}{\lambda }$

3.指数分布的无记忆性
P { X > s + t ∣ X > t } = P { X > s + t } P { X > t } = e − λ ( s + t ) e − λ t = e − λ s = P { X > s } P\{X>s+t|X>t\}=\dfrac{P\{X>s+t\}}{P\{X>t\}}=\dfrac{e^{-λ(s+t)}}{e^{-λt}}=e^{-λs}=P\{X>s\} P{X>s+t∣X>t}=P{X>t}P{X>s+t}​=e−λte−λ(s+t)​=e−λs=P{X>s}

① P { X > X 1 ∣ X > X 2 } = P { X > X 1 − X 2 } P\{X>X_1|X>X_2\}=P\{X>X_1-X_2\} P{X>X1​∣X>X2​}=P{X>X1​−X2​}
②指数分布的λ是失效率，在失效率λ不变的情况下，该理想元件是无损耗的。因此工作1年失效的概率和工作2年失效的概率相等，因此有无记忆性。

无记忆性：指数分布、几何分布

习题1：19年22(1)

分析：Z = 指数分布×两点分布

答案：
(1) E(X)~1，∴$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

$f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)$

对于F_Z(z)：
F_Z(z) = P{Z≤z} = P{XY≤z} = P{Y=-1}·P{XY≤z|Y=-1} + P{Y=1}·P{XY≤z|Y=1} = p·P{-X≤z} + (1-p)·P{X≤z}

对于P{-X≤z} ：
P{-X≤z} = P{-z≤X} = P{X≥-z} = 1-P{X≤-z} =1-F_X(-z) [连续型随机变量，某一点的概率为0]

∴F_Z(z) =p·[1-F_X(-z)] + (1-p)·F_X(z)

对z的取值进行分类讨论：
当z>0时，F_Z(z) =p·[1-0] + (1-p)·(1-e^-z) = p+(1-p)·(1-e^-z)
当z≤0时，F_Z(z) =p·[1-(1-e^z)] + (1-p)·0 = pe^z

∴ $F_Z(z)=\{\begin{array}{ll}p+(1-p)\cdot (1-e^{-z}),& z>0\\ p{e}^z,& z\le 0\end{array}$

∴ $f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)\{\begin{array}{ll}(1-p)\cdot e^{-z},& z>0\\ p{e}^z,& z\le 0\end{array}$

③正态分布

若X的概率密度为：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x-{\mu }^{)}}^2}{2{\sigma }^2}}(-\infty <x<+\infty )$$
其中-∞<μ<+∞，σ>0，则称X服从参数为N(μ,σ²)的正态分布，或称X为正态变量，记为$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

①$f(x)$关于$x=\mu$对称
②当$x=\mu$时，f(x)取最大值 $f(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$，只与$\sigma$有关
③若随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$， 则 $X-a\sim N(\mu -a,{\sigma }^2)$ (a为任意常数)
【X-a仍服从正态分布，只是均值发生了平移】

(1)标准正态分布

X~N(0,1)，则标准正态分布的概率密度φ(x)为：
$$\begin{gathered} \phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}，(-\infty <x<+\infty ) \\ Ф(x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\phi (x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x=1 \end{gathered}$$

上α分位点
若X~N(0,1)，点${\mu }_{\alpha }$右侧概率为α ( P { X > μ α } = α P\{X>μ_α\}=α P{X>μα​}=α)，则称${\mu }_{\alpha }$为标准正态分布的上α分位点(上侧α分位数)

公式：

推论：
①$Ф(0)=\frac{1}{2}$
②$Ф(x)+Ф(-x)=1$

结论：对于标准正态分布 $X\sim N(0,1)$
①$P={\int }_{-\infty }^{+\infty }\phi (x)dx=1$
②$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\phi (x)dx=0$
（理解1：φ(x)是偶函数，xφ(x)为奇函数，在对称区间上积分为0. 理解2：${\int }_{-\infty }^{+\infty }x\phi (x)dx$即为标准正态分布的数学期望，X~N(0,1)，则期望为0）

(2)正态分布的独立可加性

若X与Y分别服从正态分布$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$与$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且X与Y相互独立。
则$Z=X-Y$也服从正态分布，$Z\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$ 【12年23(1)】

(3)5种独立可加性 (XY独立且同类型分布)

若X与Y独立，且满足以下5种同类型分布，则具有独立可加性.

例如：$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)，Y\sim N(2\mu ,{\sigma }^2)，则2X-Y\sim N(0,5{\sigma }^2)$

(4)正态分布 μ，σ 对图像的影响

(1)期望μ：对称轴位置
(2)方差σ²：σ²越小，越集中，越高 (高瘦)。σ²越大，越分散，越低(扁平，矮胖)

例题1：

分析：

答案：D

例题1：23李林六套卷(三)9. 独立可加性

分析：

答案：C

习题1：17年14.   标准正态分布

分析：

答案：2

习题2：19年23(1)

习题3：12年23.   正态分布的独立可加性

分析：
(3)注意样本与总体独立同分布

答案：
(1)∵X与Y相互独立且分别服从正态分布
∴由正态分布的独立可加性知 Z=X-Y 也服从正态分布，Z~N(0,3σ²)

(3)$E({\hat{\sigma }}^2)=E(\frac{\sum _{i=1}^n{Z}_i^2}{3n})=\frac{1}{3n}E(\sum _{i=1}^n{Z}_i^2)=\frac{1}{3n}\sum _{i=1}^{n}E(Z_i^2)=\frac{1}{3n}\sum _{i=1}^{n}E(Z^2)=\frac{1}{3n}\times n\times [D(Z)+E^2(Z)]=\frac{1}{3}\times (3{\sigma }^2+0)={\sigma }^2$
∴${\hat{\sigma }}^2$是σ²的无偏估计

习题4：13年07.   正态分布 μ，σ 对图像的影响

答案：A

习题5：06年14.   正态分布 μ，σ 对图像的影响

答案：A

习题6：16年7.   正态分布 μ，σ 对图像的影响

分析：将X标准化为标准正态分布

答案：B

4.一般类型(混合型)随机变量及其分布：全概率公式

1.定义

2.解题
只能用定义 F ( X ) = P { X ≤ x } F(X)=P\{X≤x\} F(X)=P{X≤x}，分区间讨论。最好画图。注意自变量取遍(-∞,+∞)

3.类型
①离散型→离散型
②连续型→连续型 或 混合型

5.一维随机变量函数的分布

Ch3. 二维随机变量及其分布

多维随机变量：联合、边缘、条件、独立性、函数分布

1.二维随机变量及其分布函数

1.二维随机变量

X：一维随机变量
(X,Y)：二维随机变量
(X₁,X₂,…,X_n)：n维随机变量

(1)二维离散型随机变量

(2)二维连续型随机变量

2.二维随机变量的分布函数

(1)联合分布函数

(1)概念
F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\{X≤x,Y≤y\} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} (-∞<x<+∞,-∞<y<+∞)

(2)性质
③二维规范性/归一性：若为二维连续型随机变量，$F(+\infty ,+\infty )={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$

例题1：10年22.(1)

(2)边缘分布函数

F X ( x ) = P { X ≤ x , Y ≤ + ∞ } = F ( x , + ∞ ) F_X(x)=P\{X≤x,Y≤+∞\}=F(x,+∞) FX​(x)=P{X≤x,Y≤+∞}=F(x,+∞)
F Y ( y ) = P { X ≤ + ∞ , Y ≤ y } = F ( + ∞ , y ) F_Y(y)=P\{X≤+∞,Y≤y\}=F(+∞,y) FY​(y)=P{X≤+∞,Y≤y}=F(+∞,y)

边缘分布函数，考试常考

常见的两类二维随机变量：离散型随机变量、连续型随机变量

2.二维离散型随机变量及其分布

(1)联合分布律

p i j = P { X = x i , Y = y j } i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\} \quad i,j=1,2,... pij​=P{X=xi​,Y=yj​}i,j=1,2,...
(X,Y)的分布律 或 X和Y的联合分布律，记为$(X,Y)\sim p_{ij}$

联合分布律的求法：求出每个P{ }的值，画分布律

例题1：09年22.(2)

(2)边缘分布律

联合分布律的右边缘 $p_{i\cdot }$、下边缘$p_{\cdot j}$，称为X、Y的边缘分布律

联合分布律： p i j = P { X = x i , Y = y j } p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\} pij​=P{X=xi​,Y=yj​}

边缘分布率：
① p i ⋅ = P { X = x i } p_{i·}=P\{X=x_i\} pi⋅​=P{X=xi​}
② p ⋅ j = P { Y = y j } p_{·j}=P\{Y=y_j\} p⋅j​=P{Y=yj​}

(3)条件分布律

$条件=\frac{联合}{边缘}$

3.二维连续型随机变量及其分布

(1)二维随机变量的概率密度 f(x,y)：联合概率密度

(1)定义

联合概率密度$f(x,y)$的定义：
设F(x,y) 是 二维随机变量(X,Y) 的 分布函数，若存在非负函数f(x,y),使得对于任意实数x、y，有$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$$
则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度（随机变量X和Y的联合概率密度）

(2)性质

联合概率密度$f(x,y)$的性质：
1.非负性：$f(x,y)\ge 0$
2.规范性/归一性：
$$F(+\infty ,+\infty )={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$$

3.设D是xOy平面上的一个区域，则(X,Y)落在D内的概率为
$$P\{(X,Y)\in D\}=\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

举例： 若 Z = 2 X − Y ，则 F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { 2 X − Y ≤ z } = ∬ 2 x − y ≤ z f ( x , y ) d x d y 若Z=2X-Y，则F_Z(z)=P\{Z≤z\}=P\{2X-Y≤z\}=\iint\limits_{2x-y≤z}f(x,y)dxdy 若Z=2X−Y，则FZ​(z)=P{Z≤z}=P{2X−Y≤z}=2x−y≤z∬​f(x,y)dxdy

当(X,Y)服从二维均匀分布时，$P\{(X,Y)\in D\}=\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{S(D)}{S(A)}$

4.偏导
①由f(x,y)求F(x,y)：$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(x,y)\mathrm{dxdy}$

②由F(x,y)求f(x,y)：$f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$   [F(x,y)可导或f(x,y)在(x,y)连续]

例题1：03年5.   二维连续型随机变量的分布：f(x,y)的性质   注意积分区域的限：D∩定义域

分析：设D是xOy平面上的一个区域，则(X,Y)落在D内的概率为$P\{(X,Y)\in D\}=\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

答案：$\frac{1}{4}$

例题2：12年07.   f(x,y)的性质：$P\{(X,Y)\in D\}=\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$   注意积分次序，可简化计算

分析：

答案：A

(2)边缘分布

1.边缘概率分布

$F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u,v)dv]du$
$F_Y(y)=F(+\infty ,y)$

2.边缘概率密度

由$(X,Y)$的联合概率密度$f(x,y)$，即可求出(X,Y)关于$X$的边缘概率密度 $f_X(x)$、(X,Y)关于$Y$的边缘概率密度 $f_Y(y)$：

①$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$   【注意上下限是代y的取值，x是常数，所以最后得到的是关于x的函数】

②$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x$

例题1：10年22.(2)

例题2：23年22.   由联合概率密度求边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立

(3)条件分布

1.条件概率密度

(1)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为$f(x,y)$，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为$f_Y(y)$。若对于固定的y，$f_Y(y)>0$，则称 $\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$为 $Y=y$ 的条件下X的条件概率密度，记为
$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

(2)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为$f(x,y)$，(X,Y)关于X的边缘概率密度为$f_X(x)$。若对于固定的x，$f_X(x)>0$，则称 $\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$为 $X=x$ 的条件下Y的条件概率密度，记为
$$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$

(3)$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_{Y|X}(y|x)=f_Y(y)\cdot f_{X|Y}(x|y)$

条件概率密度 = 联合概率密度 / 边缘概率密度
联合概率密度 = 边缘概率密度·条件概率密度

条件期望与条件方差：亚当夏娃公式

例题1：07年10.   条件概率密度

分析：
若随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y不相关(ρ=0) ⇦⇨ X与Y相互独立
∴ $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\stackrel{独立}{}\frac{f_X(x)\cdot f_Y(y)}{f_Y(y)}=f_X(x)$

答案：A

例题2：10年22.(2)

例题3：14年22题

例题4：22年10.

法一：李艳芳解析，正常做：
先求f(x,y)，再求y的边缘概率分布。然后：①凑二维正态 或者 ②求 E(XY)，但计算量大

法二：亚当公式、夏娃公式

答案：D

2.条件分布函数

(4)二维均匀分布

设D是坐标平面xOy上面积为A的有界区域D，若二维随机变量(X,Y)的概率密度为
$$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{A},& (x,y)\in D，\\ 0,& (x,y)\notin D\end{array}$$
则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布，记为 (X,Y) ~ U_D

均匀分布的概率密度：几何度量的倒数

例题1：16年22.

答案：查看李艳芳的讲解

(5)二维正态分布

1.定义：
若二维随机变量(X,Y)的概率密度为

则称(X,Y)为服从参数μ₁,μ₂,σ₁,σ₂,ρ的二维正态分布，记作 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1,{\sigma }_2;\rho )$

2.性质
(1)二维正态分布：X与Y相互独立 ⇦⇨ X与Y不相关，ρ_XY=0

(2)若(X,Y)服从二维正态分布，则：
①X、Y各自服从一维正态分布：
即若有$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1,{\sigma }_2;\rho )$，则 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2)$

②X,Y的线性组合$aX+bY(a\ne 0或b\ne 0)$ 也服从正态分布

例题1：15年14.   二维正态分布，$\rho =0$则X与Y独立

分析：

答案：$\frac{1}{2}$

例题2：11年14.

分析：∵ρ=0 ∴X与Y相互独立 ∴E(XY²)=E(X)·E(Y²)=E(X)·[D(X)+E²(Y)]=μ(σ²+μ²)

答案：μ(σ²+μ²)

例题3：07年10.

4.随机变量的独立性

(1)定义 (相互独立的充要条件)

对于(X,Y)是二维随机变量：

(1)普通，用定义：
①对$\forall x,y$，均有 P { X ≤ x ， Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y } ⇔ X , Y 独立 P\{X≤x，Y≤y\}=P\{X≤x\}·P\{Y≤y\}\Leftrightarrow X,Y独立 P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y}⇔X,Y独立
若$ョx,y$，使得 P { X ≤ x ， Y ≤ y } ≠ P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y } ⇔ X , Y 不独立 P\{X≤x，Y≤y\}≠P\{X≤x\}·P\{Y≤y\}\Leftrightarrow X,Y不独立 P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y}⇔X,Y不独立
②对$\forall x,y$，均有 $F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\iff X,Y独立$
若$ョx,y$，使得 $F(x,y)\ne F_X(x)\cdot F_Y(y)\iff X,Y不独立$

(2)离散：对$\forall i,j$，均有$p_{ij}=p_{i\cdot }\cdot p_{\cdot j}\iff X,Y独立$
若$ョi,j$，使得 $p_{ij}\ne p_{i\cdot }\cdot p_{\cdot j}$，则X,Y不独立

(3)连续：对$\forall x,y$，均有 $f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\iff X,Y独立$
若$ョx,y$，使得 $f(x,y)\ne f_X(x)\cdot f_Y(y)\iff X,Y不独立$

(2)独立的性质

两变量独立，则P{ }可拆：P{X≤a}·P{Y≤b} = P{X≤a,Y≤b}

详情查看此文：https://blog.csdn.net/Edward1027/article/details/126604163

(3)考题：判别X与Y是否相互独立?

1. P { X ≤ a ， Y ≤ a } P\{X≤a，Y≤a\} P{X≤a，Y≤a} 是否等于 P { X ≤ a } ⋅ P { Y ≤ a } P\{X≤a\}·P\{Y≤a\} P{X≤a}⋅P{Y≤a}？ 若相等，则独立；不相等，则不独立
2.$f(x,y)$ 是否等于 $f_X(x)\cdot f_Y(y)$？ 若相等，则独立；不相等，则不独立