玩转线性代数(21)线性方程组解的判断与求法的笔记，相关证明以及例子见原文
定理
对n元线性方程组
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b，A为系数矩阵，
B
=
(
A
∣
b
)
B=(A|b)
B=(A∣b)为增广矩阵，则有
（1）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b无解
⇔
R
(
A
)
<
R
(
A
,
b
)
\Leftrightarrow R(A)\lt R(A,b)
⇔R(A)<R(A,b);
（2）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b有唯一解
⇔
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
)
=
n
\Leftrightarrow R(A)=R(A,b)=n
⇔R(A)=R(A,b)=n;
（3）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b有无穷多解
⇔
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
)
<
n
\Leftrightarrow R(A)= R(A,b)\lt n
⇔R(A)=R(A,b)<n.
推论1
对n元线性方程组
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b，A为系数矩阵，
B
=
(
A
∣
b
)
B=(A|b)
B=(A∣b)为增广矩阵，则有
（1）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b无解
⇔
R
(
A
)
<
R
(
A
,
b
)
\Leftrightarrow R(A)\lt R(A,b)
⇔R(A)<R(A,b);
（2）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b有解
⇔
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
)
\Leftrightarrow R(A)=R(A,b)
⇔R(A)=R(A,b).
推论2
对n元线性方程组
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b，A为系数矩阵，或A为方阵，则有：
（1）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b有唯一解
⇔
R
(
A
)
=
n
⇔
∣
A
∣
≠
0
\Leftrightarrow R(A)=n\Leftrightarrow |A|\neq 0
⇔R(A)=n⇔∣A∣=0，其解为
x
=
A
−
1
b
x=A^{-1}b
x=A−1b; (
R
(
A
)
=
R
(
B
)
=
n
R(A)=R(B)=n
R(A)=R(B)=n);
（2）
∣
A
∣
=
0
⇔
|A|=0\Leftrightarrow
∣A∣=0⇔有无穷多解或无解.
推论3
对n元线性方程组
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0，A为系数矩阵，方程必有零解，故不存在无解的情况，另外增广矩阵的最后一列为零，故其秩与系数矩阵A相同。
（1）
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0只有零解
⇔
R
(
A
)
=
n
\Leftrightarrow R(A)=n
⇔R(A)=n;
（2）
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0有非零解
⇔
R
(
A
)
<
n
\Leftrightarrow R(A)\lt n
⇔R(A)<n.
如果推论3中的A为方阵，则又有如下结论：
推论4
对n元线性方程组
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0，A为系数矩阵且为方阵，则有
（1）
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0只有零解
⇔
R
(
A
)
=
n
⇔
∣
A
∣
≠
0
\Leftrightarrow R(A)=n \Leftrightarrow |A| \neq 0
⇔R(A)=n⇔∣A∣=0;
（2）
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0有非零解
⇔
R
(
A
)
<
n
⇔
∣
A
∣
=
0
\Leftrightarrow R(A) \lt n \Leftrightarrow |A| = 0
⇔R(A)<n⇔∣A∣=0.
矩阵方程AX=B
解法
若A是方阵，先确定A是否可逆，若A可逆，则有唯一解
X
=
A
−
1
B
X=A^{-1}B
X=A−1B
若A不是方阵或不可逆，这时需要用待定元素法来求解。设未知矩阵X的元素为
x
i
j
x_{ij}
xij，即
X
=
(
x
i
j
)
X=(x_{ij})
X=(xij)，然后根据所给的矩阵方程列出
x
i
j
x_{ij}
xij所满足的线性方程组，通过解线性方程组求出所有元素
x
i
j
x_{ij}
xij,从而得到X.
解的存在性
设A为m * n矩阵，X为n * l矩阵，则B为m * l矩阵，把X和B按列分块，记为
X
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
l
)
,
B
=
(
b
1
,
b
2
,
.
.
.
b
l
)
X=(x_1,x_2,...,x_l), B=(b_1,b_2,...b_l)
X=(x1,x2,...,xl),B=(b1,b2,...bl)，
则矩阵方程
A
X
=
B
AX=B
AX=B等价于l个向量方程
A
x
i
=
b
i
,
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
l
)
Ax_i=b_i, (i=1,2,...l)
Axi=bi,(i=1,2,...l)，
又设
R
(
A
)
=
r
R(A)=r
R(A)=r，且A的行最简形矩阵为
A
~
\tilde{A}
A~，则
A
~
\tilde{A}
A~一定有r个非零行。
再设
(
A
,
B
)
=
(
A
,
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
i
)
∼
r
(
A
~
,
b
~
1
,
b
~
2
,
.
.
.
,
b
~
l
)
(A,B)=(A, b_1, b_2,..., b_i)_{\sim}^r (\tilde{A}, \tilde{b}_1, \tilde{b}_2, ..., \tilde{b}_l)
(A,B)=(A,b1,b2,...,bi)∼r(A~,b~1,b~2,...,b~l)
从而
(
A
,
b
i
)
r
∼
(
A
~
,
b
~
i
)
,
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
l
)
(A,b_i)_r^{\sim}(\tilde{A}, \tilde{b}_i), (i=1,2,...,l)
(A,bi)r∼(A~,b~i),(i=1,2,...,l)
则
A
X
=
B
AX=B
AX=B有解
⇔
\Leftrightarrow
⇔
A
x
i
=
b
i
Ax_i=b_i
Axi=bi有解，
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
l
)
(i=1,2,...,l)
(i=1,2,...,l)
⇔
\Leftrightarrow
⇔
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
i
)
,
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
l
)
R(A)=R(A,b_i), (i=1,2,...,l)
R(A)=R(A,bi),(i=1,2,...,l)
⇔
\Leftrightarrow
⇔将
(
A
,
b
i
)
(A,b_i)
(A,bi)化为行最简形
(
A
~
,
b
~
i
)
(\tilde{A}, \tilde{b}_i)
(A~,b~i),此时
b
~
i
\tilde{b}_i
b~i的后m-r行全为零，
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
l
)
(i=1,2,...,l)
(i=1,2,...,l).
⇔
\Leftrightarrow
⇔
(
A
~
,
b
~
1
,
b
~
2
,
.
.
.
,
b
~
l
)
(\tilde{A}, \tilde{b}_1, \tilde{b}_2, ..., \tilde{b}_l)
(A~,b~1,b~2,...,b~l)的后m-r行全为零，
⇔
\Leftrightarrow
⇔
R
(
A
)
=
R
(
A
,
B
)
R(A)=R(A,B)
R(A)=R(A,B).文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-648688.html
推论
设
A
B
=
C
AB=C
AB=C，则
R
(
C
)
≤
m
i
n
{
R
(
A
)
,
R
(
B
)
}
R(C)\leq min \{R(A), R(B) \}
R(C)≤min{R(A),R(B)}
证明：
∵
A
B
=
C
,
∴
A
X
=
B
\because AB=C, \therefore AX=B
∵AB=C,∴AX=B有解
⇒
R
(
A
)
=
R
(
A
,
C
)
≥
R
(
C
)
\Rightarrow R(A)=R(A, C) \geq R(C)
⇒R(A)=R(A,C)≥R(C)
又
B
T
A
T
=
C
T
∴
B
T
X
=
C
T
B^TA^T=C^T \therefore B^TX=C^T
BTAT=CT∴BTX=CT有解
⇒
R
(
B
)
=
R
(
B
T
)
=
R
(
B
T
,
c
T
)
≥
R
(
C
T
)
=
R
(
C
)
\Rightarrow R(B)=R(B^T)=R(B^T, c^T) \geq R(C^T)=R(C)
⇒R(B)=R(BT)=R(BT,cT)≥R(CT)=R(C)
∴
R
(
C
)
≤
m
i
n
{
R
(
A
)
,
R
(
B
)
}
\therefore R(C) \leq min\{R(A), R(B)\}
∴R(C)≤min{R(A),R(B)}.文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-648688.html
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