2 Binomial Model and Option Pricing 二叉树模型与期权定价
单期二叉树模型 One-step Binomial Model
风险与无风险资产
- 风险资产 Risky asset
S δ = { u S 0 , p r o b p d S 0 , p r o b 1 − p p ∈ ( 0 , 1 ) , 0 < d < u S_δ = \begin{cases} uS_0, \ prob \ p\\ dS_0, \ prob \ 1-p \end{cases}\\ p∈(0,1), \ 0<d<u Sδ={ uS0, prob pdS0, prob 1−pp∈(0,1), 0<d<u - 无风险资产 Risk free investment
- r：无风险利率（年化，连续复利）
- 资产的时间价值：今天的 $1 在时刻 δ δ δ 价值 e r δ e^{rδ} erδ
单期二叉树模型与无套利条件
- 无套利条件 No Arbitrage Condition： d < e r δ < u d<e^{rδ}<u d<erδ<u
- 如果 d < u ≤ e r δ d<u≤e^{rδ} d<u≤erδ，卖出股票并利率𝑟存入资金
- 如果 u > d ≥ e r δ u>d≥e^{rδ} u>d≥erδ，以利率𝑟借入资金购买股票
- 简单的模型，深刻的结果
- 建立起无套利定价与风险中性定价之间的关系
- 连续时间模型的可处理逼近
无套利定价 No Arbitrage Pricing
- 无套利定价：复制投资组合，收益一致、价格一致
- 为合约找到一个复制投资组合 replicating portfolio（买多少股，借多少股）
- 无套利 → 复制组合的价值 = 合约的价值
- 衍生品合约： f ( S δ ) ： f u = f ( u S 0 ) ， f d = f ( d S 0 ) f(S_δ)：f_u=f(uS_0)，f_d=f(dS_0) f(Sδ)：fu=f(uS0)，fd=f(dS0)
- 对于看涨期权， f u = ( u S 0 − K ) + , f d = ( d S 0 − K ) + f_u=(uS_0-K)^+,f_d=(dS_0-K)^+ fu=(uS0−K)+,fd=(dS0−K)+
- 复制投资组合：买Δ份股票、借入ψ资金
δ 时刻的价值： Δ S δ − ψ e r δ 解方程组： { Δ ⋅ u S 0 − ψ e r δ = f u Δ ⋅ d S 0 − ψ e r δ = f d 解得： Δ = f u − f d S 0 ( u − d ) , Ψ = d f u − u f d e r δ ( u − d ) f 0 = Δ S 0 − ψ = f u − f d u − d − d f u − u f d e r δ ( u − d ) δ时刻的价值：ΔS_δ - ψe^{rδ}\\ 解方程组：\begin{cases} Δ·uS_0 - ψe^{rδ} = f_u\\ Δ·dS_0 - ψe^{rδ} = f_d \end{cases}\\ 解得：Δ = \frac{f_u-f_d}{S_0(u-d)},\Psi = \frac{df_u-uf_d}{e^{rδ}(u-d)}\\ f_0 = ΔS_0 - ψ = \frac{f_u-f_d}{u-d}-\frac{df_u-uf_d}{e^{rδ}(u-d)} δ时刻的价值：ΔSδ−ψerδ解方程组：{ Δ⋅uS0−ψerδ=fuΔ⋅dS0−ψerδ=fd解得：Δ=S0(u−d)fu−fd,Ψ=erδ(u−d)dfu−ufdf0=ΔS0−ψ=u−dfu−fd−erδ(u−d)dfu−ufd
例1：当前股价是20美元，𝑝=0.6，𝑢=2，𝑑=0.5，𝛿=1，无风险利率为 𝑟=ln(1.25)，连续复利。执行价为25美元的看涨期权的价格是多少?
看涨期权的支付： f u = 15 , f d = 0 复制投资组合：购买 Δ 股，借入 ψ 资金 { 40 Δ − 1.25 ψ = 15 10 Δ − 1.25 ψ = 0 解得 Δ = 1 / 2 , ψ = 4 看涨期权价格： c = Δ S 0 − ψ = 6 看涨期权的支付：f_u=15, f_d=0\\ 复制投资组合：购买Δ股，借入ψ资金\\ \begin{cases} 40Δ - 1.25ψ = 15\\ 10Δ - 1.25ψ = 0 \end{cases}\\ 解得Δ=1/2, \ ψ = 4\\ 看涨期权价格：c = ΔS_0 - ψ = 6 看涨期权的支付：fu=15,fd=0复制投资组合：购买Δ股，借入ψ资金{
40Δ−1.25ψ=1510Δ−1.25ψ=0解得Δ=1/2, ψ=4看涨期权价格：c=ΔS0−ψ=6
风险中性定价 Risk Neutral Pricing
-
无风险定价的结果：
f 0 = f u − f d u − d − d f u − u f d e r δ ( u − d ) = e − r δ ( e r δ − d u − d f u − u − e r δ u − d f d ) = e − r δ ( p ∗ f u + ( 1 − p ∗ ) f d ) 其中 p ∗ = e r δ − d u − d f_0 = \frac{f_u-f_d}{u-d}-\frac{df_u-uf_d}{e^{rδ}(u-d)}\\ =e^{-rδ}(\frac{e^{rδ}-d}{u-d}f_u-\frac{u-e^{rδ}}{u-d}f_d)\\ =e^{-rδ}(p^*f_u+(1-p^*)f_d)\\ 其中p^* = \frac{e^{rδ}-d}{u-d}\\ f0=u−dfu−fd−erδ(u−d)dfu−ufd=e−rδ(u−derδ−dfu−u−du−erδfd)=e−rδ(p∗fu+(1−p∗)fd)其中p∗=u−derδ−d -
由于 d < e r δ < u ， 0 < p ∗ < 1 d<e^{rδ}<u，0<p^*<1 d<erδ<u，0<p∗<1， p ∗ p^* p∗ 可以被定义为一种概率
-
风险中性概率 p ∗ p^* p∗
S 0 = e − r δ E ∗ [ S δ ] = e − r δ ( p ∗ u S 0 + ( 1 − p ∗ ) d S 0 ) f 0 = e − r δ E ∗ [ f ( S δ ) ] = e − r δ ( p ∗ f u + ( 1 − p ∗ ) f d ) S_0 = e^{-rδ} E^*[S_δ] = e^{-rδ}(p^*uS_0+(1-p^*)dS_0)\\ f_0 = e^{-rδ} E^*[f(S_δ)] = e^{-rδ}(p^*f_u+(1-p^*)f_d) S0=e−rδE∗[Sδ]=e−rδ(p∗uS0+(1−p∗)dS0)f0=e−rδE∗[f(Sδ)]=e−rδ(p∗fu+(1−p∗)fd) -
风险中性定价：衍生品价格 = 以无风险利率贴现的偿付的风险中性预期文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-650123.html
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