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目录
一、整数规划基本原理
1.1 整数规划的分类
1.2 整数规划的特点
1.3 案例
1.4 整数规划的数学模型一般形式
二、整数线性规划的求解方法
2.1 分枝定界法
2.1.1 分枝定界法的求解过程
2.1.2 案例
2.1.3 代码实现
2.2 割平面法
2.2.1 割平面法的基本思想
2.2.2 割平面法的基本步骤
2.2.3 案例和代码实现
一、整数规划基本原理
数学规划中的变量(部分或全部)限制为整数时,称为整数规划。若在线性规划模型中,变量限制为整数,则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法,往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.1 整数规划的分类
(1)变量全限制为整数时,称为纯(完全)整数规划。
(2)变量部分限制为整数的,称为混合整数规划。
(3)变量取值要么为0要么为1,称为0-1规划。
1.2 整数规划的特点
1. 原线性规划有最优解,当自变量限制为整数后,其整数规划解出现下述情况:
(1)原线性规划最优解全是整数,则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
(2)整数规划可能不存在可行解。
(3)有可行解(当然就存在最优解),但最优解值变差。
2. 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.3 案例
合理下料问题:
设用某型号的圆钢下零件A1,A2...,Am的毛坯。在一根圆钢上下料的方式有B1,B2,... Bn种,每种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种零件的需要量,如表所示。问怎样安排下料方式,使得即满足需要,所用的原材料又最少?
如表所示:
模型:
其中,xj表示用Bj种方式下料根数,aij为每种下料方式可以得到各种零件的毛坯数,bi每种零件的需要量。
1.4 整数规划的数学模型一般形式
另外补充: 整数规划与松弛的线性规划之间的关系。
不难看出两者之间的关系。
二、整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的一种特殊形式,求解只需在线性规划的基础上,通过舍入取整,寻求满足整数要求的解即可。但实际上两者却有很大的不同,通过舍入得到的解(整数)也不一定就是最优解,有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。
2.1 分枝定界法
分枝定界法(branch and bound)是一种求解整数规划问题的最常用算法。分支定界法是一种搜索与迭代的方法,选择不同的分支变量和子问题进行分支。
2.1.1 分枝定界法的求解过程
- 1. 先求出相应松弛问题的最优解。
- 2. 若松弛问题无可行解,则整数线性规划问题无可行解。
- 3. 若求得的松弛问题最优解符合整数要求,则是整数线性规划问题的最优解。若不满足整数条件,则任选一个不满足整数条件的变量 来构造新的约束,分别添加到松弛问题中形成两个子问题:
- 和
- 依次在缩小的可行域中求解新构造的线性规划的最优解,并重复上述过程,直到子问题无解或有整数最优解(被查清)。
Q:为什么在步骤3中不满足整数条件时要添加上述两个约束条件?
A:因为变量 是一个不满足整数条件的变量,它注定无法构成整数规划的最优解,因此我们要向变量 的两边去寻找合适的整数最优解。
注意:构造新的约束条件是分别到整数规划问题对应的松弛问题中,独立构成两个不同的子问题再求解。
详情参考:分枝定界法
2.1.2 案例
分枝定界法总体上有点像二叉树,能看懂下面的案例基本就能理解分枝定界法。
2.1.3 代码实现
数学模型如下:
1. 先创建intprog.m文件:
function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e)
%整数规划求解函数 intprog()
% 其中 f为目标函数向量
% A和B为不等式约束 Aeq与Beq为等式约束
% I为整数约束
% lb与ub分别为变量下界与上界
% x为最优解,fval为最优值
%例子:
% maximize 20 x1 + 10 x2
% S.T.
% 5 x1 + 4 x2 <=24
% 2 x1 + 5 x2 <=13
% x1, x2 >=0
% x1, x2是整数
% f=[-20, -10];
% A=[ 5 4; 2 5];
% B=[24; 13];
% lb=[0 0];
% ub=[inf inf];
% I=[1,2];
% e=0.000001;
% [x v s]= IP(f,A,B,I,[],[],lb,ub,,e)
% x = 4 1 v = -90.0000 s = 1
% 控制输入参数
if nargin < 9, e = 0.00001;
if nargin < 8, ub = [];
if nargin < 7, lb = [];
if nargin < 6, Beq = [];
if nargin < 5, Aeq = [];
if nargin < 4, I = [1:length(f)];
end, end, end, end, end, end
%求解整数规划对应的线性规划,判断是否有解
options = optimset('display','off'); %不需要每次优化结果都输出
[x0,fval0,exitflag] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,options); %决策向量,最优解,是否有解
if exitflag < 0
disp('没有合适整数解');
x = x0;
fval = fval0;
status = exitflag;
return;
else
%采用分支定界法求解
bound = inf;
[x,fval,status] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);
end
2. 再创建branchbound.m文件
function [newx,newfval,status,newbound] = branchbound(f,A,B,I,x,fval,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e)
% 分支定界法求解整数规划
% f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub与线性规划相同
% I为整数限制变量的向量
% x为初始解,fval为初始值
options = optimset('display','off');
[x0,fval0,status0]=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,options);
%递归中的最终退出条件
%无解或者解比现有上界大则返回原解
if status0 <= 0 || fval0 >= bound
newx = x;
newfval = fval;
newbound = bound;
status = status0;
return;
end
%是否为整数解,如果是整数解则返回
intindex = find(abs(x0(I) - round(x0(I))) > e);
if isempty(intindex) %判断是否为空值
newx(I) = round(x0(I));
newfval = fval0;
newbound = fval0;
status = 1;
return;
end
%当有非整可行解时,则进行分支求解
%此时必定会有整数解或空解
%找到第一个不满足整数要求的变量
n = I(intindex(1));
addA = zeros(1,length(f));
addA(n) = 1;
%构造第一个分支 x<=floor(x(n))
A = [A;addA];
B = [B,floor(x(n))];%向下取整
[x1,fval1,status1,bound1] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);
A(end,:) = [];
B(:,end) = [];
%解得第一个分支,若为更优解则替换,若不是则保持原状
status = status1;
if status1 > 0 && bound1 < bound
newx = x1;
newfval = fval1;
bound = fval1;
newbound = bound1;
else
newx = x0;
newfval = fval0;
newbound = bound;
end
%构造第二分支
A = [A;-addA];
B = [B,-ceil(x(n))];%向上取整
[x2,fval2,status2,bound2] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);
A(end,:) = [];
B(:,end) = [];
%解得第二分支,并与第一分支做比较,如果更优则替换
if status2 > 0 && bound2 < bound
status = status2;
newx = x2;
newfval = fval2;
newbound = bound2;
end
3. 测试
function[x. fval.stetus] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e)
f = [-20, -10]
A = [5,4;2,5]
B = [24,13]
lb = [0,0]
[x, fval, status] = intprog(f, A, B, [1,2],[],[],lb)
2.2 割平面法
2.2.1 割平面法的基本思想
- 1. 如果松弛问题()无解,则()无解;
- 2. 如果()的最优解为整数向量,则也是()的最优解;
- 3. 如果()的解含有非整数分量,则对()增加割平面条件:即对()增加一个线性约束,将()的可行区域割掉一块,使得非整数解恰好在割掉的一块中,但又没有割掉原问题()的可行解,得到问题(),重复上述的过程。
2.2.2 割平面法的基本步骤
注:这里的第二、三步是推理过程,简略来看,只需要看第一步、第二步中1和第四步即可。
第一步:求解整数规划对应松弛问题是否有整数最优解。若有整数最优解,则它也是整数规划的最优解,否则,转到第二步。
第二步:1. 引入松弛变量转化为等式约束:
其中,为决策变量,为松弛变量,为松弛变量的系数,与原约束条件一致。
2. 然后,将松弛变量的系数分别划分为整数部分和小数部分,如下:
其中,表示向下取整,也表示向下取整,表示小数部分(减去它整数部分得到的小数,小于0)。
同样,将求和结果划分为整数部分和小数部分,如下:
其中,表示向下取整,也表示向下取整,表示小数部分(同上,小于0)。
第三步:将划分后的和代入所构建的方程中,可得:
我们将所有的整数部分放入公式左侧,所有的小数部分放入公式右侧:
因为小于0,所以,则可推出:
这样就对决策变量进行了一次割平面(增加约束条件)。
第四步:将约束条件 添加到原数学模型中,重复第一步。
2.2.3 案例和代码实现
已知AM工厂是一个拥有四个车间的玩具生产厂商,该厂商今年新设计出A、B、C、D、E、F六种玩具模型,根据以前的生产情况及市场调查预测,得知生产每单位产品所需的工时、每个车间在一季度的工时上限以及产品的预测价格,如下表所示。问:每种设计产品在这个季度各应生产多少,才能使AM工厂这个季度的生产总值达到最大?
1. 建立模型
其中,x1,x2,x3,x4,x5,x6是A、B、C、D、E、F六种玩具模型的生产数量。注意,是车间之间是合作生产,而不是独立生产。
2. 引入松弛变量转化为等式约束
3. 代码实现
DividePlane.m文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-651281.html
function [intx,intf] = DividePlane(A,c,b,baseVector)
%功能:用割平面法求解整数规划
%调用格式:[intx,intf]=DividePlane(A,c,b,baseVector)
%其中, A:约束矩阵;
% c:目标函数系数向量;
% b:约束右端向量;
% baseVector:初始基向量;
% intx:目标函数取最值时的自变量值;
% intf:目标函数的最值;
sz = size(A);
nVia = sz(2);%获取有多少决策变量
n = sz(1);%获取有多少约束条件
xx = 1:nVia;
if length(baseVector) ~= n
disp('基变量的个数要与约束矩阵的行数相等!');
mx = NaN;
mf = NaN;
return;
end
M = 0;
sigma = -[transpose(c) zeros(1,(nVia-length(c)))];
xb = b;
%首先用单纯形法求出最优解
while 1
[maxs,ind] = max(sigma);
%--------------------用单纯形法求最优解--------------------------------------
if maxs <= 0 %当检验数均小于0时,求得最优解。
vr = find(c~=0 ,1,'last');
for l=1:vr
ele = find(baseVector == l,1);
if(isempty(ele))
mx(l) = 0;
else
mx(l)=xb(ele);
end
end
if max(abs(round(mx) - mx))<1.0e-7 %判断最优解是否为整数解,如果是整数解。
intx = mx;
intf = mx*c;
return;
else %如果最优解不是整数解时,构建切割方程
sz = size(A);
sr = sz(1);
sc = sz(2);
[max_x, index_x] = max(abs(round(mx) - mx));
[isB, num] = find(index_x == baseVector);
fi = xb(num) - floor(xb(num));
for i=1:(index_x-1)
Atmp(1,i) = A(num,i) - floor(A(num,i));
end
for i=(index_x+1):sc
Atmp(1,i) = A(num,i) - floor(A(num,i));
end
Atmp(1,index_x) = 0; %构建对偶单纯形法的初始表格
A = [A zeros(sr,1);-Atmp(1,:) 1];
xb = [xb;-fi];
baseVector = [baseVector sc+1];
sigma = [sigma 0];
%-------------------对偶单纯形法的迭代过程----------------------
while 1
%----------------------------------------------------------
if xb >= 0 %判断如果右端向量均大于0,求得最优解
if max(abs(round(xb) - xb))<1.0e-7 %如果用对偶单纯形法求得了整数解,则返回最优整数解
vr = find(c~=0 ,1,'last');
for l=1:vr
ele = find(baseVector == l,1);
if(isempty(ele))
mx_1(l) = 0;
else
mx_1(l)=xb(ele);
end
end
intx = mx_1;
intf = mx_1*c;
return;
else %如果对偶单纯形法求得的最优解不是整数解,继续添加切割方程
sz = size(A);
sr = sz(1);
sc = sz(2);
[max_x, index_x] = max(abs(round(mx_1) - mx_1));
[isB, num] = find(index_x == baseVector);
fi = xb(num) - floor(xb(num));
for i=1:(index_x-1)
Atmp(1,i) = A(num,i) - floor(A(num,i));
end
for i=(index_x+1):sc
Atmp(1,i) = A(num,i) - floor(A(num,i));
end
Atmp(1,index_x) = 0; %下一次对偶单纯形迭代的初始表格
A = [A zeros(sr,1);-Atmp(1,:) 1];
xb = [xb;-fi];
baseVector = [baseVector sc+1];
sigma = [sigma 0];
continue;
end
else %如果右端向量不全大于0,则进行对偶单纯形法的换基变量过程
minb_1 = inf;
chagB_1 = inf;
sA = size(A);
[br,idb] = min(xb);
for j=1:sA(2)
if A(idb,j)<0
bm = sigma(j)/A(idb,j);
if bm<minb_1
minb_1 = bm;
chagB_1 = j;
end
end
end
sigma = sigma -A(idb,:)*minb_1;
xb(idb) = xb(idb)/A(idb,chagB_1);
A(idb,:) = A(idb,:)/A(idb,chagB_1);
for i =1:sA(1)
if i ~= idb
xb(i) = xb(i)-A(i,chagB_1)*xb(idb);
A(i,:) = A(i,:) - A(i,chagB_1)*A(idb,:);
end
end
baseVector(idb) = chagB_1;
end
%------------------------------------------------------------
end
%--------------------对偶单纯形法的迭代过程---------------------
end
else %如果检验数有不小于0的,则进行单纯形算法的迭代过程
minb = inf;
chagB = inf;
for j=1:n
if A(j,ind)>0
bz = xb(j)/A(j,ind);
if bz<minb
minb = bz;
chagB = j;
end
end
end
sigma = sigma -A(chagB,:)*maxs/A(chagB,ind);
xb(chagB) = xb(chagB)/A(chagB,ind);
A(chagB,:) = A(chagB,:)/A(chagB,ind);
for i =1:n
if i ~= chagB
xb(i) = xb(i)-A(i,ind)*xb(chagB);
A(i,:) = A(i,:) - A(i,ind)*A(chagB,:);
end
end
baseVector(chagB) = ind;
end
M = M + 1;
if (M == 1000000)
disp('找不到最优解!');
mx = NaN;
minf = NaN;
return;
end
end
test.m文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-651281.html
c = [-20 ; -14 ; -16 ; -36 ; -32 ; -30]; % 目标函数系数向量
A = [0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03 1 0 0 0;
0.02 0 0 0.05 0 0 0 1 0 0;
0 0.02 0 0 0.05 0 0 0 1 0;
0 0 0.03 0 0 0.08 0 0 0 1]; % 加上松弛变量后约束条件的系数矩阵
b = [850; 700; 100; 900;]; % 约束右端向量
[intx , intf] = DividePlane(A,c,b,[7 8 9 10]); % 初始基向量的下标 7 8 9 10
intx
intf = -intf % 取反求最大
到了这里,关于数学建模(三)整数规划的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!