概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征

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Ch4. 随机变量的数字特征

一维随机变量的数字特征:数学期望、方差
二维随机变量的数字特征:协方差、相关系数


1. 数学期望E(X)

(1)数学期望的概念

数学期望,又称均值

1.离散型
①一维离散型随机变量X的数学期望: E X EX EX

若离散型随机变量X的级数 ∑ k = 1 ∞ x k p k \sum\limits_{k=1}^∞x_kp_k k=1xkpk绝对收敛,则称X的数学期望存在

E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ x k p k = ∑ k = 1 ∞ x k ⋅ P { X = x k } , k = 1 , 2 , . . . E(X)=\sum\limits_{k=1}^∞x_kp_k=\sum\limits_{k=1}^∞x_k·P\{X=x_k\},k=1,2,... E(X)=k=1xkpk=k=1xkP{X=xk},k=1,2,...

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②一维离散型随机变量的函数的期望: E [ g ( X ) ] E[g(X)] E[g(X)]

E [ g ( X ) ] = ∑ k = 1 ∞ g ( x k ) p k E[g(X)]=\sum\limits_{k=1}^∞g(x_k)p_k E[g(X)]=k=1g(xk)pk


例如:g(X)=X²,则 E ( X 2 ) = ∑ k = 1 ∞ x k 2 p k E(X^2)=\sum\limits_{k=1}^∞x_k^2p_k E(X2)=k=1xk2pk


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③二维离散型随机变量的函数的期望: E [ g ( X , Y ) ] E[g(X,Y)] E[g(X,Y)]

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例题1:16年08.  求E(XY)
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

分析:

X 0 1 2
p p p 4 9 \dfrac{4}{9} 94 4 9 \dfrac{4}{9} 94 1 9 \dfrac{1}{9} 91
Y 0 1 2
p p p 4 9 \dfrac{4}{9} 94 4 9 \dfrac{4}{9} 94 1 9 \dfrac{1}{9} 91

E ( X ) = 1 × 4 9 + 2 × 1 9 = 2 3 = E ( Y ) \rm E(X)=1×\dfrac{4}{9}+2×\dfrac{1}{9}=\dfrac{2}{3}=E(Y) E(X)=1×94+2×91=32=E(Y)
E ( X 2 ) = 4 9 + 2 2 × 1 9 = 8 9 = E ( Y 2 ) \rm E(X^2)=\dfrac{4}{9}+2^2×\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}=E(Y^2) E(X2)=94+22×91=98=E(Y2)
D ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = 8 9 − 4 9 = 4 9 = D ( Y ) \rm D(X)=E(X^2)-E^2(X)=\dfrac{8}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{9}=D(Y) D(X)=E(X2)E2(X)=9894=94=D(Y)

难点、易错点在求E(XY)
P{XY=4}=P{X=2,Y=2}=0
P{XY=2}=P{X=2,Y=1}+P{X=1,Y=2}=0
P{XY=1}=P{X=1,Y=1}= 2 × 1 3 × 1 3 = 2 9 2×\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9} 2×31×31=92
P{XY=0}= 1 − 2 9 = 7 9 1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9} 192=97

XY 0 1 2 4
p p p 7 9 \dfrac{7}{9} 97 2 9 \dfrac{2}{9} 92 0 0

E ( X Y ) = 2 9 E(XY)=\dfrac{2}{9} E(XY)=92

ρ X Y = C o v ( X Y ) D ( X ) D ( Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) ⋅ E ( Y ) D ( X ) ⋅ D ( Y ) = 2 9 − 4 9 4 9 = − 1 2 \rm ρ_{XY}=\dfrac{Cov(XY)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\dfrac{E(XY)-E(X)·E(Y)}{\sqrt{D(X)·D(Y)}}=\dfrac{\dfrac{2}{9}-\dfrac{4}{9}}{\dfrac{4}{9}}=-\dfrac{1}{2} ρXY=D(X)D(Y) Cov(XY)=D(X)D(Y) E(XY)E(X)E(Y)=949294=21

答案:A



2.连续型
①一维连续型随机变量X的数学期望: E X EX EX

设连续型随机变量X有密度函数 f X ( x ) f_X(x) fX(x)且积分 ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x \int_{-∞}^{+∞}xf(x)dx +xf(x)dx绝对收敛,则称X的数学期望存在

E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(X)=\int_{-∞}^{+∞}xf(x)dx E(X)=+xf(x)dx


②一维连续型随机变量的函数的数学期望: E [ g ( X ) ] E[g(X)] E[g(X)]

E ( Y ) = E [ g ( X ) ] = ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) f ( x ) d x E(Y)=E[g(X)]=\int_{-∞}^{+∞}g(x)f(x)\rm dx E(Y)=E[g(X)]=+g(x)f(x)dx


注:
E ( X 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ x 2 f ( x ) d x E(X^2)=\int_{-∞}^{+∞}x^2f(x)dx E(X2)=+x2f(x)dx

若概率密度函数 f ( x ) f(x) f(x)为偶函数,则 E ( 奇函数 ) = 0 E(奇函数)=0 E(奇函数)=0
例如X~N(0,1),φ(x)为偶函数,则E(X的奇函数)如E(X³)=0。

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③二维连续型随机变量的函数的数学期望: E [ g ( X , Y ) ] E[g(X,Y)] E[g(X,Y)]

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E [ g ( X , Y ) ] = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y = ∬ ( x , y ) ∈ D g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y E[g(X,Y)]=\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}g(x,y)f(x,y)dxdy=\iint\limits_{(x,y)∈D}g(x,y)f(x,y)dxdy E[g(X,Y)]=++g(x,y)f(x,y)dxdy=(x,y)Dg(x,y)f(x,y)dxdy

特别的, E ( X Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x y f ( x , y ) d x d y = ∬ ( x , y ) ∈ D x y f ( x , y ) d x d y E(XY)=\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}xyf(x,y)dxdy=\iint\limits_{(x,y)∈D}xyf(x,y)dxdy E(XY)=++xyf(x,y)dxdy=(x,y)Dxyf(x,y)dxdy

二维期望:对被积函数g(x,y)和联合概率密度f(x,y)乘积进行二重积分



例题1:24李林四(四)22.(2)
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分析:
(2) ρ X Y = E ( X Y ) − E X ⋅ E Y D X ⋅ D Y ρ_{XY}=\dfrac{E(XY)-EX·EY}{\sqrt{DX·DY}} ρXY=DXDY E(XY)EXEY

其中, E ( X Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x y f ( x , y ) d x d y = ∬ x 2 + y 2 ≤ 1 x y ⋅ 2 π ( 1 − x 2 − y 2 ) d x d y = 对称性 0 E(XY)=\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}xyf(x,y)dxdy=\iint\limits_{x^2+y^2≤1}xy·\dfrac{2}{π}(1-x^2-y^2)dxdy\xlongequal{对称性}0 E(XY)=++xyf(x,y)dxdy=x2+y21xyπ2(1x2y2)dxdy对称性 0



(2)数学期望的性质

1.线性性质:
E C = C EC=C EC=C
E ( a X + C ) = a E X + C E(aX+C)=aEX+C E(aX+C)=aEX+C
E ( X ± Y ) = E X ± E Y E(X±Y)=EX±EY E(X±Y)=EX±EY


2.若X,Y独立,则:
E ( X Y ) = E X ⋅ E Y E(XY)=EX·EY E(XY)=EXEY
E [ f ( X ) g ( Y ) ] = E [ f ( X ) ] ⋅ E [ g ( Y ) ] E[f(X)g(Y)]=E[f(X)]·E[g(Y)] E[f(X)g(Y)]=E[f(X)]E[g(Y)]


3.数学期望是均值:若X的概率密度 f ( x ) f(x) f(x)关于 x = μ x=μ x=μ 对称,则 E X = μ EX=μ EX=μ



例题1:20年14.
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分析:只要随机变量相同,其函数的概率密度仍不变。求E(XsinX)时的概率密度仍为f(x)
E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(X)=\int_{-∞}^{+∞}xf(x)dx E(X)=+xf(x)dx
E [ g ( X ) ] = ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) f ( x ) d x E[g(X)]=\int_{-∞}^{+∞}g(x)f(x)\rm dx E[g(X)]=+g(x)f(x)dx

均匀分布的EX,可用数字特征直接得,不需要用定义求

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答案: 2 π \dfrac{2}{π} π2


例题2:18年23(2)



(3)求E(X)的三种方法

1.先用数学期望的性质,化简目标数学期望:
如:① E ( X + Y ) = E X + E Y E(X+Y)=EX+EY E(X+Y)=EX+EY
②若X的概率密度 f ( x ) f(x) f(x)关于 x = μ x=μ x=μ 对称,则 E X = μ EX=μ EX=μ

2.特殊分布的数字特征
X是否满足某一特殊分布,若满足,根据其数字特征直接得出EX

3.定义法:
若上述两项都不能再使用后,别无选择只能用定义。如连续型随机变量的数学期望为 E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(X)=\int_{-∞}^{+∞}xf(x)dx E(X)=+xf(x)dx

(1)定义法求解 E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(X)=\int_{-∞}^{+∞}xf(x)dx E(X)=+xf(x)dx时,若 x f ( x ) xf(x) xf(x)为偶函数,则可化为两倍正区间的积分 E ( X ) = 2 ∫ 0 + ∞ x f ( x ) d x E(X)=2\int_0^{+∞}xf(x)dx E(X)=20+xf(x)dx

(2)伽马函数:
∫ 0 + ∞ x n ⋅ e − x d x \int_0^{+∞}x^n·e^{-x}dx 0+xnexdx = 2 ∫ 0 + ∞ x 2 n + 1 ⋅ e − x 2 d x = =2\int_0^{+∞}x^{2n+1}·e^{-x^2}dx= =20+x2n+1ex2dx= n ! n! n!

n=0: ∫ 0 + ∞ e − x d x = 0 ! = 1 \int_0^{+∞}e^{-x}dx=0!=1 0+exdx=0!=1
n=1: ∫ 0 + ∞ x ⋅ e − x d x = 1 \int_0^{+∞}x·e^{-x}dx=1 0+xexdx=1
n=2: ∫ 0 + ∞ x 2 ⋅ e − x d x = 2 \int_0^{+∞}x^2·e^{-x}dx=2 0+x2exdx=2

∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π 2 \int_0^{+∞}e^{-x²}dx=\dfrac{\sqrt{π}}{2} 0+ex2dx=2π



例题1:24基础30讲 4.9
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分析:
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答案:
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(4)标准正态分布的 绝对值的期望: E ∣ X ∣ = 2 π E|X|=\sqrt{\dfrac{2}{π}} EX=π2

X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) XN(0,1),则 E ( ∣ X ∣ ) = 2 π E(|X|)=\sqrt{\dfrac{2}{π}} E(X)=π2



例题1:24李林六(四)10.
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分析:
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答案:A


例题2:24李林六(一)9.
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分析:
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答案:C




2. 方差D(X)

(1)方差的定义及公式

D ( X ) = E [ ( X − E X ) 2 ] = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) D(X)=E[(X-EX)^2]=E(X^2)- E^2(X) D(X)=E[(XEX)2]=E(X2)E2(X)

E ( X 2 ) = D ( X ) + E 2 ( X ) E(X²)=D(X)+E²(X) E(X2)=D(X)+E2(X)

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(2)方差的性质

D C = 0 DC=0 DC=0
D ( C X ) = C 2 D X D(CX)=C²DX D(CX)=C2DX
D ( a X + C ) = a 2 D X D(aX+C)=a^2DX D(aX+C)=a2DX
D ( X ± Y ) = D X + D Y ± 2 C o v ( X , Y ) D(X±Y)=DX+DY±2{\rm Cov}(X,Y) D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)
D ( a X ± b Y ) = a 2 D X + b 2 D Y ± 2 a b C o v ( X , Y ) D(aX±bY)=a²DX+b²DY±2ab{\rm Cov}(X,Y) D(aX±bY)=a2DX+b2DY±2abCov(X,Y)   若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0
C o v ( X , X ) = D ( X ) {\rm Cov}(X,X)=D(X) Cov(X,X)=D(X)

补充⑦:当X,Y独立时, D ( X Y ) = D X ⋅ D Y + ( E X ) 2 D Y + ( E Y ) 2 D X D(XY)=DX·DY+(EX)²DY+(EY)²DX D(XY)=DXDY+(EX)2DY+(EY)2DX

补充⑧:当 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立且有相同的方差 σ 2 σ^2 σ2时,记 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i \overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i X=n1i=1nXi,则 D ( X i − X ‾ ) = n − 1 n σ 2 D(X_i-\overline{X})=\dfrac{n-1}{n}σ^2 D(XiX)=nn1σ2
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例题1:22年8.   方差的性质
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分析:注意,X与Y没说独立就是不独立,不要误选了5
X~U(0,3),D(X)= ( 3 − 0 ) 2 12 = 3 4 \frac{(3-0)²}{12}=\frac{3}{4} 12(30)2=43
Y~P(2),D(Y)=2
D(2X-Y+1)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y)= 4 × 3 4 + 2 − 4 × ( − 1 ) 4×\frac{3}{4}+2-4×(-1) 4×43+24×(1)=3+2+4=9

答案:9


例题2:11年14.   E ( X 2 ) = D ( X ) + E 2 ( X ) \rm E(X²)=D(X)+E²(X) E(X2)=D(X)+E2(X)
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分析:
∵ρ=0,∴X与Y不相关 又∵(X,Y)服从正态分布,∴X与Y独立
E ( X Y 2 ) = X 与 Y 独立 E ( X ) ⋅ E ( Y 2 ) = E ( X ) ⋅ [ D ( Y ) + E 2 ( Y ) ] = μ ( σ 2 + μ 2 ) \rm E(XY²)\xlongequal[]{X与Y独立}E(X)·E(Y²)=E(X)·[D(Y)+E²(Y)]=μ(σ²+μ²) E(XY2)XY独立 E(X)E(Y2)=E(X)[D(Y)+E2(Y)]=μ(σ2+μ2)

答案:μ(σ²+μ²)


例题3:24李林六(五)16.
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分析:
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

答案:14


例题4:18年23(2)




3. 协方差Cov(X,Y)

(1)协方差定义及公式

C o v ( X , Y ) = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] = E ( X Y ) − E ( X ) ⋅ E ( Y ) {\rm Cov}(X,Y) =E[(X-EX)(Y-EY)]={\rm E}(XY)-{\rm E}(X)·{\rm E}(Y) Cov(X,Y)=E[(XEX)(YEY)]=E(XY)E(X)E(Y)

计算Cov(X,Y)=EXY-EX·EY时,简化计算:
①若有EX=0则EY不用算了,若有EY=0则EX不用算了。
②若E(XY)用定义发现是奇函数,则在对称区间上积分为0


(2)协方差性质

C o v ( X , C ) = 0 {\rm Cov}(X,C)=0 Cov(X,C)=0
C o v ( X , Y ) = C o v ( Y , X ) {\rm Cov}(X,Y)={\rm Cov}(Y,X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)   【 ρ X Y = ρ Y X ρ_{XY}=ρ_{YX} ρXY=ρYX
C o v ( X , X ) = D ( X ) {\rm Cov}(X,X) ={\rm D}(X) Cov(X,X)=D(X)       【 ρ X X = 1 ρ_{XX}=1 ρXX=1
C o v ( X 1 + X 2 , Y ) = C o v ( X 1 , Y ) + C o v ( X 2 , Y ) {\rm Cov}(X₁+X₂,Y) ={\rm Cov}(X₁,Y) +{\rm Cov}(X₂,Y) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
C o v ( a X + c , b Y + d ) = a b   C o v ( X , Y ) {\rm Cov}(aX+c,bY+d) =ab\ {\rm Cov}(X,Y) Cov(aX+c,bY+d)=ab Cov(X,Y)     【Cov中,有常数可以直接抹去,系数可以直接提出来】

若X与Y独立,则 C o v ( X , Y ) = 0 Cov(X,Y)=0 Cov(X,Y)=0 (独立是充分不必要条件,不相关是充要条件)

X i X_i Xi独立同分布,则 C o v ( X i , X j ) = 0 ( i ≠ j ) Cov(X_i,X_j)=0 \quad (i≠j) Cov(Xi,Xj)=0(i=j)
推论: C o v ( X i , X ‾ ) = σ 2 n Cov(X_i,\overline{X})=\dfrac{σ²}{n} Cov(Xi,X)=nσ2 D ( X ‾ ) = σ 2 n D(\overline{X})=\dfrac{σ²}{n} D(X)=nσ2
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1.②证明: C o v ( X , X ) = E ( X ⋅ X ) − E X ⋅ E X = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = D ( X ) {\rm Cov}(X,X) = E(X·X)-EX·EX=E(X^2)-E^2(X)={\rm D}(X) Cov(X,X)=E(XX)EXEX=E(X2)E2(X)=D(X)
2.性质应用举例: C o v ( X , − X + n ) = C o v ( X , − X ) + C o v ( X , n ) = − C o v ( X , X ) + 0 = − D ( x ) {\rm Cov}(X,-X+n)={\rm Cov}(X,-X)+{\rm Cov}(X,n)=-{\rm Cov}(X,X)+0=-D(x) Cov(X,X+n)=Cov(X,X)+Cov(X,n)=Cov(X,X)+0=D(x)


例题1:23李林六套卷(一) 9.
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分析:用协方差的性质求Cov
求Cov
①协方差的定义(公式):Cov(XY)=E(XY)-E(X)E(Y)
②协方差的性质
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答案:A


例题2:01年10.
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分析: X + Y = n , ∴ Y = − X + n X+Y=n,∴Y=-X+n X+Y=nY=X+n

ρ X Y = C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) = C o v ( X , − X + n ) D ( X ) D ( − X + n ) = − D ( X ) D ( X ) ρ_{XY}=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\dfrac{Cov(X,-X+n)}{\sqrt{D(X)D(-X+n)}}=\dfrac{-D(X)}{D(X)} ρXY=D(X)D(Y) Cov(X,Y)=D(X)D(X+n) Cov(X,X+n)=D(X)D(X)

P { Y = − X + n } = 1 , a = − 1 < 0 P\{Y=-X+n\}=1,a=-1<0 P{Y=X+n}=1a=1<0,∴负相关, ρ X Y = − 1 ρ_{XY}=-1 ρXY=1

答案:A



(3)两种思路求解 C o v ( f , g ) Cov(f,g) Cov(f,g)

1.先用Cov的性质: f = 3 X + Y 2 , g = X − 2 Y 3 f=\dfrac{3X+Y}{2},g=\dfrac{X-2Y}{3} f=23X+Y,g=3X2Y
2.先用Cov的定义,先不要代入fg:


4. 相关系数 ρ X Y ρ_{XY} ρXY​

(1)ρ的公式

ρ = C o v ( X , Y ) D X D Y ρ=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}} ρ=DX DY Cov(X,Y)称为随机变量X与Y的相关系数。

ρ X Y ρ_{XY} ρXY是否为正负零,只需要看 C o v ( X , Y ) Cov(X,Y) Cov(X,Y)是否为正负零


(2)ρ的性质

1.对称性:
ρ X Y = ρ Y X ρ_{XY}=ρ_{YX} ρXY=ρYX
ρ X X = 1 ρ_{XX}=1 ρXX=1


2.有界性:
− 1 ≤ ρ X Y ≤ 1 -1≤ρ_{XY}≤1 1ρXY1


3.正相关、负相关、不相关
P { Y = a X + b } = 1 ⇔ ∣ ρ X Y = 1 ∣ { a > 0 , ρ = 1 ( 正相关 ) a < 0 , ρ = − 1 ( 负相关 ) P\{Y=aX+b\}=1\Leftrightarrow |ρ_{XY}=1|\left\{\begin{aligned} a>0&,ρ=1 &(正相关)\\ a<0&,ρ=-1 &(负相关) \end{aligned}\right. P{Y=aX+b}=1ρXY=1∣{a>0a<0ρ=1ρ=1(正相关)(负相关)

P { Y = a X + b } = 0 ⇔ ρ X Y = 0 ( 不相关 ) P\{Y=aX+b\}=0\Leftrightarrow ρ_{XY}=0 \quad(不相关) P{Y=aX+b}=0ρXY=0(不相关)

ρ X Y = 0 ρ_{XY}=0 ρXY=0称为X与Y不相关,即 无线性相关性。
ρ X Y ≠ 0 ρ_{XY}≠0 ρXY=0则称为X与Y相关。即 有线性相依性。

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例题1:16年8.
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答案:A


例题2:01年10.



5.独立性与不相关性

(1)含义

独立/相关 含义
不独立 有任意函数关系
独立 无任何函数关系
相关 有线性函数关系
不相关 ρXY= 0,X与Y无线性函数关系,但有可能有其他非线性函数关系

独立,一定不相关:没有任何函数关系,自然也没有线性函数关系
②相关,一定不独立:有线性函数关系,算是X与Y有一种函数关系了,不独立。
不相关,不一定独立:没有线性函数关系,但可能有非线性函数关系 【11年22(Ⅲ), ρ X Y = 0 ρ_{XY}=0 ρXY=0,不相关,但X Y不独立】

独立是不相关的充分不必要条件: 独立 → 不相关 独立→不相关 独立不相关

注:仅当(X,Y)服从二维正态分布时,独立与不相关是等价的。其他时候,独立是不相关的充分条件。


(2)判定

1.相关性:用数字特征判定相关性 (5个不相关的等价条件)
\quad ①X与Y不相关
⇔ \Leftrightarrow ρ X Y = 0 ρ_{XY}=0 ρXY=0
⇔ \Leftrightarrow C o v ( X , Y ) = 0 Cov(X,Y)=0 Cov(X,Y)=0
⇔ \Leftrightarrow E ( X Y ) = E X ⋅ E Y E(XY)=EX·EY E(XY)=EXEY
⇔ \Leftrightarrow D ( X ± Y ) = D X + D Y D(X±Y)=DX+DY D(X±Y)=DX+DY

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2.独立性:用分布判断独立性,构造事件
\quad ①X与Y不独立
⇔ \Leftrightarrow P { X ≤ a , Y ≤ a } ≠ P { X ≤ a } ⋅ P { Y ≤ a } P\{X≤a,Y≤a\}≠P\{X≤a\}·P\{Y≤a\} P{Xa,Ya}=P{Xa}P{Ya}
⇔ \Leftrightarrow ョ x 0 , y 0 ョx_0,y_0 x0,y0使得 F ( x 0 , y 0 ) ≠ F X ( x 0 ) ⋅ F Y ( y 0 ) F(x_0,y_0)≠F_X(x_0)·F_Y(y_0) F(x0,y0)=FX(x0)FY(y0)

联合分布≠边缘分布的乘积


概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论


3.判断顺序:
先判断相关性(Cov(x,y)),再判断独立性(看分布)

概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论


相关性与独立性的关系,详解见此篇


(3)独立性的应用

X,Y独立,则f(X)与g(Y)也独立

如:X,Y独立,则X²与Y²也独立,E(X²Y²)=E(X²)E(Y²)

X,Y独立,Cov(X,Y)=0

X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn为来自总体X的简单随机样本,则 X i X_i Xi独立同分布,则 C o v ( X i , X j ) = 0 ( i ≠ j ) {\rm Cov}(X_i,X_j)=0 \quad (i≠j) Cov(Xi,Xj)=0(i=j)

推论: C o v ( X i , X ‾ ) = D ( X ) n {\rm Cov}(X_i,\overline{X})=\dfrac{D(X)}{n} Cov(Xi,X)=nD(X)
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论



例题1:24李林六(五)9.
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

答案:B




6.切比雪夫不等式

①距离均值偏差较大的概率是很小的: P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε } ≤ D ( X ) ε 2 P\{|X-E(X)|≥ε\}≤\dfrac{D(X)}{ε^2} P{XE(X)ε}ε2D(X)
②距离均值偏差较小的概率是比较大的: P { ∣ X − E ( X ) ∣ < ε } ≥ 1 − D ( X ) ε 2 P\{|X-E(X)|<ε\}≥1-\dfrac{D(X)}{ε^2} P{XE(X)<ε}1ε2D(X)


①切比雪夫不等式描述的是随机变量X偏离均值一定范围的概率,给的是一个保守的概率。
例如:正态分布 X~N(μ,σ²), P { ∣ X − μ ∣ < 2 σ } ≥ 1 − σ 2 4 σ 2 = 75 % P\{|X-μ|<2σ\}≥1-\dfrac{σ^2}{4σ^2}=75\% P{Xμ<2σ}14σ2σ2=75%,而实际上2σ区间内的概率应为95%
②切比雪夫不等式需要求三个值:E(X)、D(X)、ε。由 ∣ X − E ( X ) ∣ |X-E(X)| XE(X)得出ε大小



例题1:01年5.   切比雪夫不等式
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

分析:
由切比雪夫不等式, P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε } ≤ D ( X ) ε 2 P\{|X-E(X)|≥ε\}≤\dfrac{D(X)}{ε²} P{XE(X)ε}ε2D(X),得此题 ε = 2 , D ( X ) = 2 ε=2,D(X)=2 ε=2,D(X)=2
代入得 P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ 2 } ≤ 2 2 2 = 1 2 P\{|X-E(X)|≥2\}≤\dfrac{2}{2²}=\dfrac{1}{2} P{XE(X)2}222=21

答案: 1 2 \dfrac{1}{2} 21


例题2:22年9.
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

分析:
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

答案:A


例题3:23李林六套卷(五)16.
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

分析:切比雪夫不等式需要求三个值:E(X)、D(X)、ε
∣ X − E ( X ) ∣ |X-E(X)| XE(X)得出ε大小。
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论
答案: n n + 1 \dfrac{n}{n+1} n+1n


例题4:24基础30讲 4.15
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

分析:
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

答案: 1 12 \dfrac{1}{12} 121



7.常见分布的数值特征

分布 分布律或概率密度 数学期望E(X) 方差D(X)
0-1分布 P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1 P{X=k}=pk(1p)1kk=0,1 p p p p ( 1 − p ) p(1-p) p(1p)
二项分布 B ( n , p ) B(n,p) B(n,p) P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k P\{X=k\}={\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} P{X=k}=Cnkpk(1p)nk k = 0 , 1 , 2 , . . . , n k=0,1,2,...,n k=0,1,2,...,n n p np np n p ( 1 − p ) np(1-p) np(1p)
泊松分布
P ( λ ) P(λ) P(λ)
P { X = k } = λ k k ! e − λ P\{X=k\} = \dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} P{X=k}=k!λkeλ k = 0 , 1 , 2 , . . . k=0,1,2,... k=0,1,2,... λ λ λ λ λ λ
几何分布
G ( p ) G(p) G(p)
P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p P{X=k}=(1p)k1p k = 1 , 2 , . . . k=1,2,... k=1,2,... 1 p \dfrac{1}{p} p1 1 − p p 2 \dfrac{1-p}{p^2} p21p
均匀分布
U ( a , b ) U(a,b) U(a,b)
f ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 ,其他 f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a},a<x<b\\ 0\qquad,其他 \end{cases} f(x)= ba1a<x<b0,其他 a + b 2 \dfrac{a+b}{2} 2a+b ( b − a ) 2 12 \dfrac{(b-a)^2}{12} 12(ba)2
指数分布
E ( λ ) E(λ) E(λ)
f ( x ) = { λ e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x)=\begin{cases} λe^{-λx},x>0\\ 0\qquad,x≤0 \end{cases} f(x)={λeλxx>00x0 1 λ \dfrac{1}{λ} λ1 1 λ 2 \dfrac{1}{λ^2} λ21
正态分布
N ( μ , σ 2 ) N(μ,σ^2) N(μ,σ2)
f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ( − ∞ < x < + ∞ ) f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{{(x-μ^)}^2}{2σ^2}} \quad(-∞<x<+∞) f(x)=2π σ1e2σ2(xμ)2(<x<+) μ μ μ σ 2 σ^2 σ2
卡方分布 χ 2 χ^2 χ2 E ( χ 2 ) = n E(χ^2)=n E(χ2)=n D ( χ 2 ) = 2 n D(χ^2)=2n D(χ2)=2n

例题1:24基础30讲 4.8
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论
分析:
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

答案:概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论


例题2:11年23.(2) 卡方分布
概率论与数理统计:第四章:随机变量的数字特征,数学,概率论

分析:估计量服从卡方分布,用卡方分布的数字特征来求估计量的期望与方差



8.确定未知数的值

1.概率密度的归一性: ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1 +f(x)dx=1
2.对比特殊分布文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-651414.html

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