LA@n维向量@解析几何向量和线性代数向量-Toy模板网

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由 $n$ 个有次序的数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 组成的有序数组称为n维向量,简称向量
- 数 $a_i$ 称为向量的第 $i$ 个分量

$n$ 维向量可以写成一行或一列,分别称为行向量,列向量(或分别称为行矩阵,列矩阵)
- 一个 $n$ 维行向量是 $1\times{n}$ 的矩阵
  - $\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix}$
- 一个 $n$ 维列向量是 $n\times{1}$ 的矩阵
  - $\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix}$
通常以小写希腊字母,例如: $\boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma,\cdots}$ 表示向量
也可以用小写的粗体的英文字母表示,例如: $\boldsymbol{a,b,\cdots}$ ,或粗正体 $\bold{a,b,\cdots}$
有时为例书写方便,可以用非粗体: ${\alpha,\beta,\gamma,\cdots}$
在按行分块和按列分块的分块矩阵中,还可能出现用大写英文字母表示列分块或行分块,例如 $A_1,A_2,\cdots$

列向量可以看作行向量的转置
习惯上,向量通常默认指列向量,设向量包含 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 元素
- 列向量和行向量分别表示为
- $\bold{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix}^T \\ \bold{a}^T=\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$
- 为了便于区分符号(文字)所表示的向量是列向量还是行向量,习惯上表示行向量的符号带上一个 $^T$ 上标,例如 $\bold{a}^T$ 表示列向量 $\bold{a}$ 的转置得到的
- 简化书写,由于列向量如果严格竖着写比较占用空间,紧凑性不好,我们可以利用转置性质: $\bold{a}=(\bold{a}^T)^T$ ,将列向量用行向量的转置形式书写展开式,这样行列向量也可以用横着写

向量作为一种特殊的矩阵,仍然按照矩阵的运算规则运算
$k\bold{a}=k(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$
- $-\bold{a}=-(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n)$ 为向量 $-\bold{a}$ 的负向量

$A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn} \\ \end{pmatrix}$
$\\记\alpha_j =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{pmatrix},j=1,2,\cdots,n \\A=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix}$
$记\beta_i^T=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i=1,2,\cdots,m \\ A= \begin{pmatrix} \beta_{1}^T\\ \beta_{2}^T\\ \vdots \\ \beta_{m}^T \\ \end{pmatrix}$
$A=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \beta_{1}^T\\ \beta_{2}^T\\ \vdots \\ \beta_{m}^T \\ \end{pmatrix}$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-651940.html

几何中,"空间"通常是作为点的集合,构成空间的元素是点,这样的空间叫做点空间
- 我们把 $3$ 维向量的全体所组成的集合: $\mathbb{R}^3$ ={ $\bold{r}=(x,y,z)^T|x,y,z\in\mathbb{R}$ }称为3维向量空间
- 在点空间取定坐标系后,三维空间中的点 $P (x, y, z)$ 与 $3$ 维向量 $\bold{r}=(x,y,z)^T$ 之间有一一对应关系
因此向量空间可以类比为"取定了坐标系"的点空间
- 在讨论向量的运算时,我们把向量看作有向线段
- 在讨论向量集时,把向量 $\bold{r}$ 看作时 $\bold{r}$ 为径向的点 $P$ ,从而把点 $P$ 的轨迹作为向量集作为向量集的图形
  - 例如 $\Pi=\{P(x,y,z)|ax+by+cz+d=0\}$ ,结合空间解析几何的知识,是一个平面方程的一般式,因此 $\Pi$ 是一个平面 $a^2+b^2+c^2>{0})$ 或 $(a,b,c)\neq{(0,0,0)}$
  - 由此,向量集 $S=\{\bold{r}=(x,y,z)^T|ax+by+cz+d=0\}$ 也叫做向量空间 $\mathbb{R}^3$ 中的平面(3维空间中的2维平面),并把 $\Pi$ 作为向量集S的图形
    - 将 $x, y, z$ 替换为 $x_1,x_2,x_3$ ; $x, y, z$ 替换为 $a_1,a_2,a_3$ ,则平面方程作 $(\sum_{i=1}^{3}a_ix_i)+b=0$