【不带权重的TOPSIS模型详解】——数学建模

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部分资料取自于b站:数学建模学习交流清风老师

定义:

  • TOPSIS法可翻译为逼近理想解排序法,国内常简称为优劣解距离法
  • 它是一种常用的综合评价方法,其能充分利用原始数据的信息,其结果能精确地反映各评价方案之间地差异。

举个例子: 数学成绩越高代表学习能力越强。跑100米花费的时间越少代表体育天赋越好。那怎么样结合这两项不同单位的指标进行综合考量通过打分,得出一名学生最后的得分呢?这就需要使用TOPSIS法,它一般用于已知数据。

问题引入:

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我们需要对一个学生进行评分,成绩越高打的分数自然越高。但是排名数字是从低到高开始的。所以我们需要修正,让修正后的排名数字大小能反映各个学生的评分。如第一名得4分,最后一名得1分。然后进行归一化处理,处理后的评分相加应为1

不合理之处:

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如图所示:按照这种方法进行评价的话。成绩大小可以随意修改,只要不影响排名。这样的话,就会有失合理性。

进行修改:

我们想让成绩的具体分数影响最后的得分,这就必须要引入最高成绩和最低成绩了。通过这两个极值来构造计算评分的公式

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改造后的评分未经过归一化处理时:最高分为1,最低分为0。不用担心0这个数字或者1这个数字过于特殊。实际上,指标通常都在两个以上,综合下来不会出现0和1这种极端情况

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指标分类:

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这两个指标一个是越大越好,一个是越少越好。这样的指标就存在分类

常见指标:

  1. 极大型指标(效益型指标):数值越大(多)越好。例子:利润
  2. 极小型指标(成本型指标):数值越小(少)越好。例子:费用
  3. 中间型指标:越接近某个值越好。例子:PH值
  4. 区间型指标:落在某个区间内最好。例子:体温

指标正向化:

极小型指标正向化公式:

根据上图指出的两个指标来看,成绩越高越好。争吵次数确实越少越好。一个高,一个低不利于进行综合评判。所以我们就需要将所有的指标正向化处理全部化为==极大型指标。==包括中间型指标和区间型指标。

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当然了,若是所有元素均为正数,那么也可以使用1/x。但还是推荐第一种max-x

中间型指标正向化公式:

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区间型指标正向化公式:

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标准化处理(消去单位):

为了消去不同指标量纲的影响(比如上一题一个单位是分,一个单位是次数),我们需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理

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  1. 当前列每一个元素取平方(取平方是因为避免元素产生负数的影响)
  2. 对取平方后的列元素求和,再开根号
  3. 用当前元素除以2值就是标准化后的结果
  4. 标准化后的数值不改变相对大小

代码解析:

%正向化矩阵
X = [89 1;60 3;74 2;99 0];
%对矩阵的行和列进行拆包,n为行,m为列
[n,m] = size(X);
%标准化处理,repmat函数可以将矩阵视为一个整体。按几行几列复制。
res = X./repmat(sum(X.^2).^0.5,n,1)

计算得分:

标准化后的数据还需要计算各指标的总得分,这里不区分权重,所以各项系数均为1

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过程解析:

求出z与最大值的距离,最小值同理

  1. 求出每个指标下最大的元素,并将它构成行向量
  2. 用z的每个指标数据减去1所得的行向量,取平方,再求和。
  3. 开根号

代码解析:

clear
clc
%运行标准化结果的文件
run("biao_zhun_hua.m");
[n,m] = size(res);
%求最大距离
max_res = sum((repmat(max(res),n,1)-res).^2,2).^0.5;
%求最小距离
min_res = sum((repmat(min(res),n,1)-res).^2,2).^0.5;
%未归一化后的得分
final_res = min_res./(max_res + min_res);
%归一化后的得分
answer = final_res./repmat(sum(final_res),n,1)

特别注意,这里sum的求和要行求和,因为是各个指标的相加。最后得到的结果是一个列向量,每一列对应一个人的综合得分最大值或者最小值。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-652185.html

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