前言
前面主要讲述的是方程组和矩阵的关系，现在了解下矩阵和矩阵的关系
方阵的特征值与特征向量
假设A为n阶方阵，对于一个数 λ \lambda λ
若存在：非零列向量 α \alpha α，使得： A α ⃗ = λ α ⃗ A\vec{\alpha}=\lambda\vec{\alpha} Aα=λα
-
λ \lambda λ叫做矩阵A的一个特征值
-
α ⃗ \vec{\alpha} α叫做对应特征值的特征向量
- 由于 α ⃗ \vec\alpha α是非零列向量
- 把 λ \lambda λ作为未知量， A − λ E = 0 A-\lambda E = 0 A−λE=0
- 因为存在 λ \lambda λ解 => ∣ A − λ E ∣ = 0 |A-\lambda E| = 0 ∣A−λE∣=0
求解特征方程
给一个n阶矩阵A写出特征矩阵
(
4
−
2
1
1
)
−
(
λ
0
0
λ
)
=
(
4
−
λ
−
2
1
1
−
λ
)
\begin{pmatrix} 4 & -2\\ 1 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4- \lambda & -2\\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}
(41−21)−(λ00λ)=(4−λ1−21−λ)
将特征矩阵转为特征行列式
∣
4
−
λ
−
2
1
1
−
λ
∣
=
−
∣
1
1
−
λ
4
−
λ
−
2
∣
=
−
∣
1
1
−
λ
0
−
2
−
(
1
−
λ
)
∗
(
4
−
λ
)
∣
=
0
\begin{vmatrix} 4- \lambda & -2\\ 1 & 1-\lambda\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 4- \lambda& - 2\end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 0 & -2-(1-\lambda) *(4- \lambda) \end{vmatrix} = 0
4−λ1−21−λ
=−
14−λ1−λ−2
=−
101−λ−2−(1−λ)∗(4−λ)
=0
求出根
λ
2
−
5
λ
+
6
=
0
⟹
λ
1
=
2
,
λ
2
=
3
\lambda^2-5\lambda + 6 =0 \Longrightarrow \lambda_1=2 ,\lambda_2=3
λ2−5λ+6=0⟹λ1=2,λ2=3
求解特征值对应的特征向量
- 将 λ 1 = 2 , λ 2 = 3 \lambda_1=2 ,\lambda_2=3 λ1=2,λ2=3 代入 （ A − λ E ） α ⃗ = 0 （A-\lambda E）\vec{\alpha} = 0 （A−λE）α=0
基本性质
- 特征值和特征向量，就是类似于 给“坐标” 求他的坐标系的问题。
- 特征值 λ \lambda λ用于消除“坐标”某一维度，得到 特征向量为这一维度的 “坐标系”
- 如果出现了 λ \lambda λN重根，则得到的特征向量 “坐标系” 包含N个维度
证明不同特征值对应的特征向量是线性无关的
方阵的迹
- 方阵的行列式=方阵的全部特征值之积
- 方阵主对角线元素之和=方阵的全部特征值之和
证明：特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式
相似矩阵
相似矩阵的定义，可以用坐标系变换的视角来理解
- 需要把：A和B看做是两个变换
- 那么
A
=
P
−
1
B
P
A=P^{-1}BP
A=P−1BP具体是指：
- A是P坐标系下的一个<变换>
- 该<变换>若在标准坐标系下观察则是B变换
例如：在标准坐标系下有一个伸缩变换为B,在P坐标系下相同的伸缩变换观察到的是A
若A和B相似，因观察的视角不同，但本质是相同的变换
相似矩阵的性质
若A和B相似，即 A ∽ B B ∽ A A \backsim B \quad B \backsim A A∽BB∽A
- 相似矩阵的行列式值相同
- 相似矩阵的特征值相同
- 相似矩阵的秩相同
- 相似矩阵的迹相同
- 相似矩阵的可逆性相同
二次型
如果存在可逆的线性变换
将
x
=
P
y
x=Py
x=Py线性变换代入原来的二次型得
f
=
λ
1
y
1
2
+
λ
2
y
2
2
+
.
.
.
+
λ
n
y
n
2
f= \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2
f=λ1y12+λ2y22+...+λnyn2
即将这种只含平方项（不含交叉项）的二次型称为标准形式的二次型，简称标准型。
- 充分必要条件是存在n阶可逆矩阵 P P P
- 其中 λ 1 , λ 2 , . . . λ n \lambda_1,\lambda_2,...\lambda_n λ1,λ2,...λn 恰为 A A A全部特征值。
- 任何二次型必可经过可逆线性变换化为标准型
- 任何对称矩阵必可合同于对角矩阵
另外可以根据二次型不同条件进行分类
二次型的规范型
初等矩阵作合同因子
P
P
P所进行的合同变换称为初等合同变换.任何合同变换必可经过有限多次初等合同变换实现对角矩阵后.还可进一步用实数域上的合同变换，将正数化为1，复数化为-1，并可调整位置使得矩阵最终化为如下形式
任何实二次型
f
f
f 必可经过实数域上的可逆线性变换化为规范型，且实规范型是唯一的。
看一个具体案例求解规范型
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-653723.html
主要参考
《11.3 求解特征值和特征向量（基础解系法）》
《11.4 特征值与特征向量的性质》
《11.5特征值与矩阵的迹》
《1.6 特征根的代数重数与几何重数》
《11.7 相似矩阵到底在说什么》
《证明：特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式》
《浅谈矩阵的相似对角化》
《线性代数——二次型与对称矩阵》
《二次型及其它标准型》文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-653723.html
到了这里，关于线性代数(四) 特征值&相似矩阵的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
