一、概述
1.1SymPy简介
SymPy 是一个由 Python 编写的符号计算库，它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它完全由 Python 写成，不依赖于外部库。SymPy 支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能
1.2SymPy具体应用
从 SymPy 的 1.4 版本文档中，可以看出，SymPy 可以支持很多初等数学，高等数学，甚至研究生数学的符号计算。在初等数学和高等数学中，SymPy 可以支持的内容包括但不限于：
- 基础计算（Basic Operations）；
- 公式简化（Simplification）；
- 微积分（Calculus）；
- 解方程（Solver）；
- 矩阵（Matrices）；
- 几何（geometry）；
- 级数（Series）；
在更多的数学领域中，SymPy 可以支持的内容包括但不限于：
- 范畴论（Category Theory）；
- 微分几何（Differential Geometry）；
- 常微分方程（ODE）；
- 偏微分方程（PDE）；
- 傅立叶变换（Fourier Transform）；
- 集合论（Set Theory）；
- 逻辑计算（Logic Theory）。
1.3快速入门
sympy.exp(1), sympy.I, sympy.pi, sympy.oo
新建符号
在使用符号之前，先要利用 symbols 函数定义符号，语句是：
# 新建符号 x, y
x, y = symbols('x y')例子
from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
y = expand((x + 1)**2) # expand() 是展开函数
y将字符串转换为 SymPy 表达式
利用 sympify 函数可以将字符串表达式转换为 SymPy 表达式。
注意：sympify是符号化，与另一个函数simplify（化简）拼写相近，不要混淆。
str_expr = 'x**2 + 2*x + 1'
expr = sympify(str_expr)
expr转换为指定精度的数值解
可以使用符号变量的 evalf 方法将其转换为指定精度的数值解，例如：
pi.evalf(3) # pi 保留 3 位有效数字利用 lambdify 函数将 SymPy 表达式转换为 NumPy 可使用的函数
如果进行简单的计算，使用 subs 和 evalf 是可行的，但要获得更高的精度，则需要使用更加有效的方法。例如，要保留小数点后 1000 位，则使用 SymPy 的速度会很慢。这时，您就需要使用 NumPy 库。
lambdify 函数的功能就是可以将 SymPy 表达式转换为 NumPy 可以使用的函数，然后用户可以利用 NumPy 计算获得更高的精度。
import numpy
a = numpy.pi / 3
x = symbols('x')
expr = sin(x)
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
f(a)
0.8660254037844386
expr.subs(x, pi/3)多项式和有理函数化简
下面介绍几个用于多项式或有理函数化简的函数。
expand (展开)
将多项式展开，使用 expand 函数。例如：
x_1 = symbols('x_1')
expand((x_1 + 1)**2)factor (因式分解)
用 factor 函数可以对多项式进行因式分解，例如：
factor(x**3 - x**2 + x - 1)实际上，多项式的展开和因式分解是互逆过程，因此factor和expand也是相对的。
collect (合并同类项)
利用 collect 合并同类项，例如：
expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
collect(expr, x)cancel (有理分式化简)
消去分子分母的公因式使用 cancel 函数，例如：
cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x))apart (部分分式展开)
使用 apart 函数可以将分式展开，例如：
expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
exprapart(expr)数列求和：
from sympy import *
x, a = symbols("x a")
Sum(x ** 2, (x, 1, a)).doit()
数列求积：
Product(x**2,(x, 1, a)).doit()
输出运算结果的 latex代码
使用 latex 函数可以输出运算结果的 latex 代码，例如：
print(latex(integrate(sqrt(x), x)))\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}
二、课堂实操
2.1环境安装和版本检测
import pylab as pl
from sympy import *
import numpy as np
import sympy
sympy.__version__2.2SymPy 的基础计算
在数学中，基础的计算包括实数和复数的加减乘除，那么就需要在程序中描述出实数与复数。
2.2.1经典公式
著名的欧拉公式
from sympy import *
E**(I*pi)+1公式展开
init_printing(use_unicode=True)#公式显示
#执行SymPy提供的 init printing()可以使用数学符号显示运算结果。
#但它会将Python的内置对象也转换成LateX显示
x = symbols("x")#变量名定义成符号
#x = 2
expand(E**(I*x))#公式展开2.2.2级数展开
init_printing(use_unicode=True)#公式显示
from sympy import *
x = symbols("x")
tmp = series(exp(I*x),x,0,9)
print(latex(tmp))
2.2.3不定积分
tmp=integrate(x*sin(x),x)
tmp
#print(latex(tmp))2.2.4定积分
tmp=integrate(x*sin(x),(x,0,2*pi))
tmp
#print(latex(tmp))
Integral(x*sin(x),(x,0,2*pi))
from sympy import *
oo = symbols("oo")
x, y = symbols("x y")
z = integrate(exp(-x**2 - y**2), (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))
z.evalf(10)2.2.5导数
diff(sin(x)*exp(x),x)
#print(latex(diff(sin(x)*exp(x),x)))# 求 3 阶导数
diff(x**4, x, 3)
2.2.6微分
t = Derivative(sin(x),x)
t求解微分方程
使用 dsolve 函数求解微分方程。首先需要建立符号函数变量：
f = symbols('f', cls = Function)
diffeq = Eq(f(x).diff(x, 2) - 2*f(x).diff(x) + f(x), sin(x))
diffeq
dsolve(diffeq, f(x))Eq 函数是 SymPy 中的一个重要函数，它可以用来创建或判断两个表达式是否相等。Eq 函数的一般用法是：
Eq(左辺, 右辺)其中，左辺和右辺是两个 SymPy 的表达式，它们可以是符号、数字、函数、多项式等。Eq 函数会返回一个 Eq 对象，它表示左辺和右辺之间的等式关系。
2.2.7极限
limit(sin(x)/x,x,0)
limit(1/x, x, 0, '+')2.2.8解方程
solve(x**2-4,x)解线性方程组：
linsolve([x + y + z - 1, x + y + 2*z - 3 ], (x, y, z))
2.2.9表达式变换和公式化简
simplify((x+2)**2-(x-1)**2)2.2.10矩阵运算
我们在进行矩阵运算之前，需要用 Matrix 构造矩阵，例如：
# 构造矩阵
Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])
# 构造列向量
Matrix([1, 2, 3])# 构造行向量
Matrix([[1], [2], [3]]).T
矩阵转置用矩阵变量的
T 方法。
# 构造单位矩阵
eye(4)
# 构造零矩阵
zeros(4)# 构造壹矩阵
ones(4)# 构造对角矩阵
diag(1, 2, 3, 4)
矩阵转置
矩阵转置用矩阵变量的 T 方法。例如：
a = Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])
a
# 求矩阵 a 的转置
a.T
求矩阵的幂
求矩阵 M的 2 次幂：
# 求矩阵 M 的 2 次幂
M = Matrix([[1, 3], [-2, 3]])
M**2
特殊地，矩阵的 −1 次幂就是矩阵的逆。
# 求矩阵 M 的逆
M**-1
求矩阵的行列式
用矩阵变量的 det 方法可以求其行列式：
M = Matrix([[1, 0, 1], [2, -1, 3], [4, 3, 2]])
M
M.det()−1
求矩阵的特征值和特征多项式
用矩阵变量的 eigenvals 和 charpoly 方法求其特征值和特征多项式。
M = Matrix([[3, -2, 4, -2], [5, 3, -3, -2], [5, -2, 2, -2], [5, -2, -3, 3]])
M
M.eigenvals()
{3: 1, -2: 1, 5: 2}
lamda = symbols('lamda')
p = M.charpoly(lamda)
factor(p)
- 创建了一个 4x4 的矩阵 M，它的元素是：
- 使用了 M.eigenvals() 方法来求解 M 的特征值，它返回了一个字典，表示 M 的特征值和它们的代数重数。您得到的结果是：
{3:1,−2:1,5:2}
这表示 M 有三个不同的特征值，分别是 3，-2，和 5。其中，3 和 -2 的代数重数都是 1，表示它们各自对应一个线性无关的特征向量；而 5 的代数重数是 2，表示它对应两个线性相关的特征向量。
- 定义了一个符号变量 lamda，用来表示特征多项式的变量。您使用了 M.charpoly(lamda) 方法来求解 M 的特征多项式，它返回了一个 Poly 对象，表示 M 的特征多项式。您得到的结果是：
λ4−9λ3+18λ2+54λ−225
这表示 M 的特征多项式是一个四次多项式，它的系数是：
[1−91854−225]
- 使用了 factor 函数来对 M 的特征多项式进行因式分解，它返回了一个表达式，表示 M 的特征多项式的因式分解形式。您得到的结果是：
(λ−3)(λ+2)(λ−5)2
这表示 M 的特征多项式可以分解为三个一次因式和一个二次因式的乘积。这也验证了 M 的特征值和它们的代数重数。
2.2.11数论
阶乘：
factorial(10)
分解质因数：
factorint(300)
factorint(300, visual=True)
求欧拉函数：
totient(25)
判断质数：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-654238.html
isprime(101)
True求因子：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-654238.html
divisors(36)
[1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36]到了这里，关于python进阶之符号计算概述SymPy的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
