如何理解“对矩阵进行初等行变换不改变其列向量的线性关系”？-Toy模板网

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一. 对矩阵进行初等行变换不改变其列向量的线性关系

对矩阵A进行初等行变换相当于左乘一个可逆矩阵P。

把A看作是列向量组，若有Ax=0，则其中的x就说明了列向量的线性关系：
$\left[ \alpha_1 ,\alpha_2, \alpha_3 \right] \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\end{bmatrix}$
$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=0$

若对A进行初等行变换后得到了 $P A x = 0$ ，知 $A x = 0$ 与 $P A x = 0$ 同解，就说明了x也适用于矩阵 $P A$ 的列向量之间的线性关系

所以 $A$ 与 $P A$ 的列向量有相同的线性关系。

二. 对矩阵进行初等行变换，所得矩阵与原矩阵的行向量组等价

理解上解释就是：PA相当于给A做行变换，若P可逆，则PA的行向量组与A的行向量组等价。
此外， $P A$ 的行向量组与A的行向量组等价。把A看作是行向量组，若 $P A = B$ ，有：
$\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha _3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p_{11}\alpha _{1}+p_{12}\alpha_2 +p_{13}\alpha _{3} \\ p_{21}\alpha _{1}+p_{22}\alpha_2+p_{23}\alpha_3 \\ p_{31}\alpha _{1}+p_{32}\alpha_2+p_{33}\alpha_3 \end{bmatrix}$
可知矩阵B的每一个行向量都能用矩阵A的行向量进行线性表出。又由于矩阵P可逆，故 $A=P^{-1}B$ ，同理可知矩阵A的每一个行向量也可由矩阵B的行向量进行线性表出。

因此矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。
即若 $P A = B$ ，则B的行向量组与A的行向量组等价，B的行秩等于A的行秩

(I)、(II)等价 $\Leftrightarrow$ r(I)=r(II)=r(I,II)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-655633.html

三. 设A是mxn矩阵，B是nxs矩阵：若r(A)=n（列满秩），则r(AB)=r(B)；若r(B)=n（行满秩），则r(AB)=r(A)

证明：由公式
$r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le min\{r(A), r(B)\}$
知：
- 当 $r (A) = n$ 时， $n+r(B)-n\le r(AB)\le r(B)$
  故有 $r (A B) = r (B)$
- 当 $r (B) = n$ 时， $r(A)+n-n\le r(AB)\le r(A)$
  故有 $r (A B) = r (A)$
几何意义：左乘一个列满秩矩阵不改变矩阵的秩；右乘一个行满秩矩阵不改变矩阵的秩。
设 $A_{m\times n}$ ， $B_{n\times s}$ . A列满秩，说明 $m\ge n$ ，因此把A先行变换后上下分块，使得A的上块为 $A^1_{n\times n}$ （可逆矩阵），下块为 $A^2_{(m-n)\times n}$ 。然后分别右乘B矩阵（即B矩阵左乘一个A矩阵），得到AB的上块为B左乘可逆矩阵，秩不变。因此有 $r(AB)\ge r(B)$ .
又因为有 $r(AB)\le min\{r(A), r(B)\}$
所以有 $r (A B) = r (B)$

四. 设A，B为n阶矩阵，则 r ( [ A A B ] ) = r ( A ) r([A \ \ AB])=r(A) r([A AB])=r(A)成立，但 r ( [ A B A ] ) = r ( A ) r([A\ \ BA])=r(A) r([A BA])=r(A)不成立

证明：由 $[A\ \ AB] =A[E\ \ B]$ ，可知
$\ \ AB])\le r(A)$
又因为 $A$ 是 $[A\ \ AB]$ 的子矩阵，因此有
$\ \ AB])\ge r(A)$
所以 $\ \ AB])= r(A)$
但由矩阵的乘法规则， $[A\ \ BA] \ne [E\ \ B]A$
几何意义：
由二得，若B为可逆矩阵，则 $A B$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组等价；若B不为可逆矩阵，则 $A B$ 的列秩就小于A的列秩（ $A B$ 相当于给 $A$ 作列变换）。 $B A$ 的行向量组与 $A$ 的行向量组有相同的关系（ $B A$ 相当于给 $A$ 作行变换）。

所以 $\ \ AB]$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组等价， $\begin{bmatrix}A \\ BA \end{bmatrix}$ 的行向量组与 $A$ 的行向量组等价

五. 设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有：A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关

证明：
设 $A_{m\times n},B_{n\times l}$ ，由 $A B = 0$ 得
$r(A)+r(B)\le n$
又由矩阵非零，有： $r(A)\ge1,r(B)\ge1$
因此得， $r(A)\lt n,r(B)\lt n$
因为“矩阵的秩=其行向量组的秩=其列向量组的秩”
所以可得：
A的列秩小于n，又因为A的列数为n，所以A的列向量组线性相关；
B的行秩小于n，又因为B的行数为n，所以B的行向量组线性相关。
几何意义：
- “A的列向量组线性相关”：
  由 $A B = 0$ ，得：B的列向量均为 $A x = 0$ 的解
  因为矩阵B非零，所以B至少存在一个列向量 $\beta_i$ ，使得 $A\beta_i=0$ ，即
  $\begin{bmatrix}\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{bmatrix}=0$ ，即
  $b_1\alpha_1+b_2\alpha_2+...+b_n\alpha_n=0$ ，且其中 $b_1,...b_n$ 不全为零
  即矩阵A的列向量组线性相关
- “B的行向量组线性相关”：
  由 $A B = 0$ ，得 $B^TA^T=0$ ，所以 $A^T$ 的列向量均为 $B^Tx=0$ 的解。
  后面的步骤和上面的一样了

六. 一些题目

设A、B为n阶实矩阵，下列不成立的是
（A） $r\begin{bmatrix}A & O \\ O & A^TA \end{bmatrix}=2r(A)$
（B） $r\begin{bmatrix}A & AB \\ O & A^T \end{bmatrix}=2r(A)$
（C） $r\begin{bmatrix}A & BA \\ O & AA^T \end{bmatrix}=2r(A)$
（D） $r\begin{bmatrix}A & O \\ BA & A^T \end{bmatrix}=2r(A)$

选C。
对于A，一眼真；
对于B、D：可分成二矩阵相乘：
B： $\begin{bmatrix}A & AB \\ O & A^T \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A & O \\ O & A^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix}E & B \\ O & E \end{bmatrix}$
D： $\begin{bmatrix}A & O \\ BA & A^T \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E & O \\ B & E \end{bmatrix}\begin{bmatrix}A & O \\ O & A^T \end{bmatrix}$
对于C：1）可通过举反例；
2）可通过一些几何意义： $A$ 和 $AA^T$ 秩相同，若均不可逆。且 $B A$ 从行来看表示将 $A$ 进行一系列行变换，从列来看表示将 $B$ 进行一系列列变换，就有可能导致将原本 $A$ 空缺的行给补上，并把原本 $AA^T$ 空缺的列给补上，因此会导致整体矩阵的秩大于 $2 r (A)$