一. 对矩阵进行初等行变换不改变其列向量的线性关系
对矩阵A进行初等行变换相当于左乘一个可逆矩阵P。
把A看作是列向量组，若有Ax=0，则其中的x就说明了列向量的线性关系：
[
α
1
,
α
2
,
α
3
]
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
0
]
\left[ \alpha_1 ,\alpha_2, \alpha_3 \right] \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\end{bmatrix}
[α1,α2,α3]
x1x2x3
=[0]
x
1
α
1
+
x
2
α
2
+
x
3
α
3
=
0
x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=0
x1α1+x2α2+x3α3=0
若对A进行初等行变换后得到了 P A x = 0 PAx=0 PAx=0，知 A x = 0 Ax=0 Ax=0与 P A x = 0 PAx=0 PAx=0同解，就说明了x也适用于矩阵 P A PA PA的列向量之间的线性关系
所以 A A A 与 P A PA PA 的列向量有相同的线性关系。
二. 对矩阵进行初等行变换，所得矩阵与原矩阵的行向量组等价
理解上解释就是：PA相当于给A做行变换，若P可逆，则PA的行向量组与A的行向量组等价。
此外，
P
A
PA
PA的行向量组与A的行向量组等价。把A看作是行向量组，若
P
A
=
B
PA=B
PA=B，有：
[
p
11
p
12
p
13
p
21
p
22
p
23
p
31
p
32
p
33
]
[
α
1
α
2
α
3
]
=
[
β
1
β
2
β
3
]
=
[
p
11
α
1
+
p
12
α
2
+
p
13
α
3
p
21
α
1
+
p
22
α
2
+
p
23
α
3
p
31
α
1
+
p
32
α
2
+
p
33
α
3
]
\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha _3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p_{11}\alpha _{1}+p_{12}\alpha_2 +p_{13}\alpha _{3} \\ p_{21}\alpha _{1}+p_{22}\alpha_2+p_{23}\alpha_3 \\ p_{31}\alpha _{1}+p_{32}\alpha_2+p_{33}\alpha_3 \end{bmatrix}
p11p21p31p12p22p32p13p23p33
α1α2α3
=
β1β2β3
=
p11α1+p12α2+p13α3p21α1+p22α2+p23α3p31α1+p32α2+p33α3
可知矩阵B的每一个行向量都能用矩阵A的行向量进行线性表出。又由于矩阵P可逆，故
A
=
P
−
1
B
A=P^{-1}B
A=P−1B，同理可知矩阵A的每一个行向量也可由矩阵B的行向量进行线性表出。
因此矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。
即若
P
A
=
B
PA=B
PA=B，则B的行向量组与A的行向量组等价，B的行秩等于A的行秩文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-655633.html
(I)、(II)等价 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r(I)=r(II)=r(I,II)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-655633.html
三. 设A是mxn矩阵，B是nxs矩阵：若r(A)=n（列满秩），则r(AB)=r(B)；若r(B)=n（行满秩），则r(AB)=r(A)
- 证明：由公式
r ( A ) + r ( B ) − n ≤ r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le min\{r(A), r(B)\} r(A)+r(B)−n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}
知：- 当
r
(
A
)
=
n
r(A)=n
r(A)=n时，
n
+
r
(
B
)
−
n
≤
r
(
A
B
)
≤
r
(
B
)
n+r(B)-n\le r(AB)\le r(B)
n+r(B)−n≤r(AB)≤r(B)
故有 r ( A B ) = r ( B ) r(AB)=r(B) r(AB)=r(B) - 当
r
(
B
)
=
n
r(B)=n
r(B)=n时，
r
(
A
)
+
n
−
n
≤
r
(
A
B
)
≤
r
(
A
)
r(A)+n-n\le r(AB)\le r(A)
r(A)+n−n≤r(AB)≤r(A)
故有 r ( A B ) = r ( A ) r(AB)=r(A) r(AB)=r(A)
- 当
r
(
A
)
=
n
r(A)=n
r(A)=n时，
n
+
r
(
B
)
−
n
≤
r
(
A
B
)
≤
r
(
B
)
n+r(B)-n\le r(AB)\le r(B)
n+r(B)−n≤r(AB)≤r(B)
- 几何意义：左乘一个列满秩矩阵不改变矩阵的秩；右乘一个行满秩矩阵不改变矩阵的秩。
设 A m × n A_{m\times n} Am×n， B n × s B_{n\times s} Bn×s. A列满秩，说明 m ≥ n m\ge n m≥n，因此把A先行变换后上下分块，使得A的上块为 A n × n 1 A^1_{n\times n} An×n1（可逆矩阵），下块为 A ( m − n ) × n 2 A^2_{(m-n)\times n} A(m−n)×n2。然后分别右乘B矩阵（即B矩阵左乘一个A矩阵），得到AB的上块为B左乘可逆矩阵，秩不变。因此有 r ( A B ) ≥ r ( B ) r(AB)\ge r(B) r(AB)≥r(B).
又因为有 r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\le min\{r(A), r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}
所以有 r ( A B ) = r ( B ) r(AB)=r(B) r(AB)=r(B)
四. 设A，B为n阶矩阵，则 r ( [ A A B ] ) = r ( A ) r([A \ \ AB])=r(A) r([A AB])=r(A)成立，但 r ( [ A B A ] ) = r ( A ) r([A\ \ BA])=r(A) r([A BA])=r(A)不成立
- 证明：由
[
A
A
B
]
=
A
[
E
B
]
[A\ \ AB] =A[E\ \ B]
[A AB]=A[E B]，可知
r ( [ A A B ] ) ≤ r ( A ) r([A \ \ AB])\le r(A) r([A AB])≤r(A)
又因为 A A A 是 [ A A B ] [A\ \ AB] [A AB]的子矩阵，因此有
r ( [ A A B ] ) ≥ r ( A ) r([A \ \ AB])\ge r(A) r([A AB])≥r(A)
所以 r ( [ A A B ] ) = r ( A ) r([A \ \ AB])= r(A) r([A AB])=r(A)
但由矩阵的乘法规则， [ A B A ] ≠ [ E B ] A [A\ \ BA] \ne [E\ \ B]A [A BA]=[E B]A - 几何意义：
由二得，若B为可逆矩阵，则 A B AB AB 的列向量组与 A A A 的列向量组等价；若B不为可逆矩阵，则 A B AB AB的列秩就小于A的列秩（ A B AB AB相当于给 A A A作列变换）。 B A BA BA 的行向量组与 A A A 的行向量组有相同的关系（ B A BA BA相当于给 A A A作行变换）。
所以 [ A A B ] [A \ \ AB] [A AB] 的列向量组与 A A A 的列向量组等价， [ A B A ] \begin{bmatrix}A \\ BA \end{bmatrix} [ABA] 的行向量组与 A A A 的行向量组等价
五. 设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有：A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关
- 证明：
设 A m × n , B n × l A_{m\times n},B_{n\times l} Am×n,Bn×l，由 A B = 0 AB=0 AB=0得
r ( A ) + r ( B ) ≤ n r(A)+r(B)\le n r(A)+r(B)≤n
又由矩阵非零，有： r ( A ) ≥ 1 , r ( B ) ≥ 1 r(A)\ge1,r(B)\ge1 r(A)≥1,r(B)≥1
因此得， r ( A ) < n , r ( B ) < n r(A)\lt n,r(B)\lt n r(A)<n,r(B)<n
因为“矩阵的秩=其行向量组的秩=其列向量组的秩”
所以可得：
A的列秩小于n，又因为A的列数为n，所以A的列向量组线性相关；
B的行秩小于n，又因为B的行数为n，所以B的行向量组线性相关。 - 几何意义：
- “A的列向量组线性相关”：
由 A B = 0 AB=0 AB=0，得：B的列向量均为 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解
因为矩阵B非零，所以B至少存在一个列向量 β i \beta_i βi，使得 A β i = 0 A\beta_i=0 Aβi=0，即
[ α 1 , α 2 , . . . , α n ] [ b 1 b 2 . . . b n ] = 0 \begin{bmatrix}\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{bmatrix}=0 [α1,α2,...,αn] b1b2...bn =0，即
b 1 α 1 + b 2 α 2 + . . . + b n α n = 0 b_1\alpha_1+b_2\alpha_2+...+b_n\alpha_n=0 b1α1+b2α2+...+bnαn=0，且其中 b 1 , . . . b n b_1,...b_n b1,...bn不全为零
即矩阵A的列向量组线性相关 - “B的行向量组线性相关”：
由 A B = 0 AB=0 AB=0，得 B T A T = 0 B^TA^T=0 BTAT=0，所以 A T A^T AT的列向量均为 B T x = 0 B^Tx=0 BTx=0的解。
后面的步骤和上面的一样了
- “A的列向量组线性相关”：
六. 一些题目
- 设A、B为n阶实矩阵，下列不成立的是
（A） r [ A O O A T A ] = 2 r ( A ) r\begin{bmatrix}A & O \\ O & A^TA \end{bmatrix}=2r(A) r[AOOATA]=2r(A)
（B） r [ A A B O A T ] = 2 r ( A ) r\begin{bmatrix}A & AB \\ O & A^T \end{bmatrix}=2r(A) r[AOABAT]=2r(A)
（C） r [ A B A O A A T ] = 2 r ( A ) r\begin{bmatrix}A & BA \\ O & AA^T \end{bmatrix}=2r(A) r[AOBAAAT]=2r(A)
（D） r [ A O B A A T ] = 2 r ( A ) r\begin{bmatrix}A & O \\ BA & A^T \end{bmatrix}=2r(A) r[ABAOAT]=2r(A)
选C。
对于A，一眼真；
对于B、D：可分成二矩阵相乘：
B： [ A A B O A T ] = [ A O O A T ] [ E B O E ] \begin{bmatrix}A & AB \\ O & A^T \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A & O \\ O & A^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix}E & B \\ O & E \end{bmatrix} [AOABAT]=[AOOAT][EOBE]
D： [ A O B A A T ] = [ E O B E ] [ A O O A T ] \begin{bmatrix}A & O \\ BA & A^T \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E & O \\ B & E \end{bmatrix}\begin{bmatrix}A & O \\ O & A^T \end{bmatrix} [ABAOAT]=[EBOE][AOOAT]
对于C：1）可通过举反例；
2）可通过一些几何意义： A A A和 A A T AA^T AAT秩相同，若均不可逆。且 B A BA BA从行来看表示将 A A A进行一系列行变换，从列来看表示将 B B B进行一系列列变换，就有可能导致将原本 A A A空缺的行给补上，并把原本 A A T AA^T AAT空缺的列给补上，因此会导致整体矩阵的秩大于 2 r ( A ) 2r(A) 2r(A)
到了这里，关于如何理解“对矩阵进行初等行变换不改变其列向量的线性关系”？的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
