目录
1 标量 scalar
2 向量 /矢量 vector
2.1 什么是向量（直观）
2.2 什么是向量（严格定义）
2.3 向量如何表示？在向量空间的表示方法
3 矩阵(matrix)
3.1 矩阵的定义
3.2 矩阵和向量的关系
3.3 方阵
4 张量(tensor)：向量，矩阵都可以看成张量
4.1 张量的定义
4.2 更多维度的张量，举例子
4.3 张量的图形表示
5 具体例子说明 向量，矩阵，张量
5.1 向量
5.2 矩阵
5.3 张量
5.4 常见的写法区别
5.5 一个比较灵活的实际例子
5.5.1 上面这个表直接看成一个5阶张量是没问题的
5.5.2 强行合并一些列，把总列数表为3列
1 标量 scalar
标量 scalar：
- 标量就是一个单独的数！
- 标量还有一种更深刻的说法，就是线性变换时不会发生变化的量.
数有很多种：
- 自然数
- 整数（正负）
- 有理数（包含整数，无限循环小数 or =整数/整数）
- 实数（包含有理数和无理数）
- 复数（包含实数和虚数）
2 向量 /矢量 vector
2.1 什么是向量（直观）
- 向量就是一组数字，而不是一个单个数字，α={x1,x2,x3....xn}
向量vector也叫矢量
- 表示一组n个数构成的有序排列的数
- 向量也可以认为就是 数组list，比如[1,2,3,4,5]
向量的几何表示
- 在各种向量空间里的二维图，三维图里，就是空间里的点（其终点代表了从原点出发的向量）
- 向量，可以认为是带方向的一组数，方向就是 数组里的数字的排序
- 竖着的叫列向量， α={x1,x2,x3....xn}
- 横着的为行向量， αT={x1,x2,x3....xn}
2.2 什么是向量（严格定义）
- 严格定义：在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
- 它可以形象化地表示为带箭头的线段。
- 箭头所指：代表向量的方向；
- 线段长度：代表向量的大小。
- 与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
2.3 向量如何表示？在向量空间的表示方法
- 在一般的向量空间，向量是指从原点出发的一条射线线段
- 线段起点一定是原点，线段终点是向量的内容(x1,x2) 或（x1,x2,x3）或其他，这同时也是向量在这个向量空间的坐标
因此这种向量空间特点是
- 向量空间一定有原点
- 每个向量都是从原点出发的射线线段，用终点坐标即可代表向量
- 不存在2个向量平行的关系，最多是2个向量在同一条直线上
3 矩阵(matrix)
3.1 矩阵的定义
严格定义：矩阵，数学术语。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
- 矩阵是一个二维数组，其中的每一个元素由两个索引来决定 A(i,j)
- 很多编程语言里把每1行看成1个对象，每1列看成属性/特征
- 可以说，矩阵就是2维数组
- 矩阵A(i,j) 比如 ( a11,a12 ; a21,a22 )
3.2 矩阵和向量的关系
观点1
- 基础观点
- 矩阵是由多个向量构成的，一般认为是多个列向量（基）构成的
- 矩阵就是一个在N维度空间里的坐标，这个坐标包含多个向量
观点2
- 计算时,可以认为向量就是一种特殊的矩阵
- 列向量就是列矩阵
- 行向量就是行矩阵
3.3 方阵
- 矩阵里，行数=列数的矩阵叫做方阵
- 方阵有很多很好的特殊属性
4 张量(tensor)：向量，矩阵都可以看成张量
4.1 张量的定义
- 可以说，张量就是2维数组
- 矩阵A(i,j,k) 比如 ( a11,a12 ; a21,a22 ; a31,a32 )
- 张量的定义
- 一个数字的标量，称为0阶张量
- 一个数组的这种向量，(1,2)，称为1阶张量 （相当于1个维度）
- 2个数组的这种矩阵，比如(1,2;1,1)，称为2阶张量 （相当于2个维度）
- 超过二维的数组，如一个三维的A(i,j,k)，就称为3阶张量
4.2 更多维度的张量，举例子
- 3维=时间序列
- 4维=图像
- 5维=视频
4.3 张量的图形表示
下面用的是网上的2张图，不是我自己的
5 具体例子说明 向量，矩阵，张量
先把维度的概念界定清晰文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-655812.html
- 头脑里要明白，空间的维度是一种3D世界的空间维度概念
- 头脑里要明白，向量/矩阵/张量的维度是一种向量空间/张成空间的维度概念
- 在向量空间/张成空间里，每个向量都 = 一个基于原点和基的一个射线线段/一个点/一个终点的坐标值数组。
5.1 向量
- 向量就是一组数
- 单位向量本身维度是指，向量里标量的个数，这个维度可以很大。
- 但是在空间上就是一根线，在空间上是一维的
- 也就是说空间上1维的向量，可能是N维向量
- 1维向量
- (0)
- [3]
- 2维向量
- (0,1)
- [4,5]
- 3维向量
- (0,1,2)
- [3,4,5]
- N维（有限维度，可以很大很大）
- (1,2,3...... 1001)
5.2 矩阵
- 矩阵是数组的数组，矩阵是一种数组的嵌套，但是只能嵌套2层数组/向量
- 矩阵=[数组] =[[] , [] ,....]
- 矩阵内部的行列数n*m, 一般来说矩阵的维度dim=矩阵的秩<=n/m
- 但是矩阵在空间上看是二维的
- (0,1,2; 3,4,5)
- [ [1,2,3...... 1001] , [1,2] ]
5.3 张量
- 张量在空间上看是3维，4维，或者更大
- 从空间上，很难用图形描述了
- 3阶标量 [ [1,0,0] [0,1,0] [0,0,1] ]
- 4阶标量 [ [1,0,0] [0,1,0] [0,0,1] [0,0,1] ]
- ...
5.4 常见的写法区别
- 注意写法：
- 数量→逗号 一个维度的数量
- 维度→分号; 分隔不同的维度
5.5 一个比较灵活的实际例子
- 下表仍然是一个表现上是1个2维表，其实也可以看成N维的张量？
- 可以灵活设计，做成2维的，或者3维度的都可以，因为可以选择把一部分属性，合并成同一个维度
| 价格 | 数量 | 颜色 | 重量 | 尺寸 | |
| A | 10 | 5 | red | 10 | 5 |
| B | 50 | 2 | blue | 3 | 2 |
| C | 100 | 1 | yellow | 1 | 1 |
| D | 30 | 10 | green | 5 | 3 |
5.5.1 上面这个表直接看成一个5阶张量是没问题的
- 上面这个表直接看成一个5阶张量是没问题的
- 空间上不好表现
- 比如可以花成5条坐标轴，但肯定不是正交那种样式了
5.5.2 强行合并一些列，把总列数表为3列
- 留下ID，时间，属性这3列，可以画成一个 3D坐标系
- 看的视角：ID，时间，属性（包括很多子属性，每个子属性1列）
- 也可以这么看：x为ID，y为property 意味着，ID-价格，ID-数量，ID-颜色，，，，可以组成N张二维表，这些二维表可以叠在一起。形成了Z轴
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-655812.html
到了这里，关于线性代数3，什么是向量 向量空间（草稿，建设ing）的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
