【考研数学】概率论与数理统计 | 第一章——随机事件与概率（2，概率基本公式与事件独立）-Toy模板网

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引言

承接上文，继续介绍概率论与数理统计第一章的内容。

四、概率基本公式

4.1 减法公式

$\overline{B} )=P(A)-P(AB).$ 证明： $A = (A - B) + A B$ ，且 $A - B$ 与 $A B$ 互斥，根据概率的有限可加性，有 $P (A) = P (A - B) + P (A B)$ ，即 $P (A - B) = P (A) - P (A B)$ 。
$A=A\overline{B} +AB$ ，且 $A\overline{B}$ 与 $A B$ 互斥，由有限可加性得： $\overline{B} )=P(A)-P(AB)$

4.2 加法公式

（1） $P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B) .$
证明： $A + B = (A - B) + (B - A) + A B$ ，且 $A - B, B - A, A B$ 两两互斥，由有限可加性，可得： $P (A + B) = P (A - B) + P (B - A) + P (A B)$ 再结合减法公式，有： $P (A + B) = P (A) - P (A B) + P (B) - P (B A) + P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) .$ （2） $P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (A C) - P (BC) + P (A BC) .$

4.3 条件概率公式

设 $A, B$ 为两个事件，且 $P (A) > 0$ ，则 $\frac{P(AB)}{P(A)}.$

4.4 乘法公式

（1）设 $P (A) > 0$ ，则 $P (A B) = P (A) P (B ∣ A) .$

（2） $P(A_1A_2 \dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P( A_3|A_1A_2)\dots P(A_n|A_1A_2\dots A_{n-1}).$

五、事件的独立性

5.1 事件独立的定义

5.1.1 两个事件的独立

设 $A, B$ 为两个随机事件，若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则称事件 $A, B$ 相互独立。

5.1.2 三个事件的独立

设 $A, B, C$ 为三个随机事件，若满足 $P (A B) = P (A) P (B), P (A C) = P (A) P (C), P (BC) = P (B) P (C),$ 且 $P (A BC) = P (A) P (B) P (C)$ ，则称三个事件 $A, B, C$ 相互独立。

5.2 事件独立的性质

性质 1 若事件 $A$ 和 $B$ 相互独立，则 $A$ 与 $\overline{B}$ 、 $\overline{A}$ 与 $B$ 、 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立，反之亦成立。

证明：由独立可知， $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则 $P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(\overline{B}),$ 即 $A$ 与 $\overline{B}$ 相互独立， $\overline{A}$ 与 $B$ 相互独立同理可证。

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A \cup B)}=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=[1-P(A)][1-P(B)]=P(\overline{A})P(\overline{B})$ ，则有 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 相互独立，反之证明同理。

性质 2 设 $A, B$ 为两个随机事件且 $P (A) = 0$ 或 $P (A) = 1$ ，则 $A, B$ 相互独立。

证明：设 $P (A) = 0$ ，由 $\sub A$ 可知， $\leq P(A)=0$ ，又因为 $\geq0$ ，故 $P (A B) = 0$ ，即有 $P (A B) = P (A) = 0$ ，可得 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，从而有 $A, B$ 相互独立。

设 $P (A) = 1$ ， $P(\overline{A})=0$ ， $P(B\overline{A})=P(B)-P(A) \leq1$ ，由 $P (A) = 1$ ，可知 $P(B\overline{A})=0$ ，故 $P(B\overline{A})=P(\overline{A})P(B)$ ，即有 $\overline{A}$ 与 $B$ 相互独立，根据性质 1 ，事件 $A, B$ 相互独立。

1，事件 $A, B, C$ 两两独立，则事件 $A, B, C$ 不一定独立。
2，设 $A, B$ 为两个随机事件，且 $P (A) > 0, P (B) > 0$ ，则
若 $A, B$ 独立，则 $A, B$ 不互斥。因为此时 $P (A B) = P (A) P (B) > 0$ ，不为空集。
若 $A, B$ 互斥，则 $A, B$ 不独立。此时 $P(AB)=\empty$ ，必不可能等于 $P (A) P (B)$ 。

设事件 $A_1,A_2,\dots,A_m$ ，事件 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 相互独立，则由事件 $A_1,A_2,\dots,A_m$ 所构成的任意事件 $\varphi(A_1,A_2,\dots,A_m)$ 与由事件 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 构成的任意事件 $\phi (B_1,B_2,\dots,B_n)$ 相互独立。