一、AVL树的定义
AVL树，全称 平衡二叉搜索（排序）树。
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
平衡因子（Balance Factor，简写为bf）
平衡因子（bf）：结点的左子树的深度减去右子树的深度。也可以是右子树的深度减去左子树的深度。看个人实现而异。
即： 结点的平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度。
或者 节点的平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度。
AVL树本质上是一颗二叉查找树，但是它又具有以下特点：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
这就是一颗AVL树
二、AVL树的作用
有一颗二叉树，他有n个节点，如果他是一颗二叉搜索树，他形状多样，可能会形成单枝树，高度为n,那么在这颗搜索树中查找元素的最坏时间复杂度为O(n),最好时间复杂度是O( l o g 2 n log_2 n log2n)。
如果他是一颗AVL树，他的高度稳定为 l o g 2 n log_2 n log2n,查找元素的时间复杂度为O( l o g 2 n log_2 n log2n)。
由上图可知，同样的结点，由于插入方式不同导致树的高度也有所不同。特别是在带插入结点个数很多且正序的情况下，会导致二叉树的高度是O(N)，而AVL树就不会出现这种情况，树的高度始终是O(lgN).高度越小，对树的一些基本操作的时间复杂度就会越小。这也就是我们引入AVL树的原因。
三、AVL树的插入操作
插入——平衡因子的更新
在插入一个元素的时候，必然会引起平衡因子的变化，所以我们需要在插入的时候把平衡因子同时更新，在平衡因子大于1或者小于-1时，我们则需要进行旋转操作，进行调整，使平衡因子再次正常，从而保证这颗二叉树一直是一颗AVL树。
使用平衡因子计算： 右子树高度 - 左子树高度
情况一：
在插入元素后，需要更新父节点的平衡因子，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子-1，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子+1，如果父节点的平衡因子更新过后变为1或者-1，则需继续往上更新至根节点，因为1或者-1表示该节点的高度发生改变，需往上更新。
情况2：
在插入元素后，需要更新父节点的平衡因子，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子-1，在父节点的左子树插入元素，父节点的平衡因子+1，如果父节点的平衡因子更新过后变为0，则不需要继续向上更新，因为变为0只能说明该树高度没有变化，只是相对于原来变得平衡。
如果在更新平衡因子后，平衡因子不在(-1/0/1)范围时，则需旋转操作，下面讲解如何进行旋转操作
由于插入需要旋转的情况较多，大致可以分为四大类
插入——左单旋
动图演示
情况一
右子树高时，在右子树的右侧插入元素，此时需要左单旋
插入——右单旋
动图演示
情况二、
左子树较高时，在左子树的左侧插入元素，此时需要右单旋
插入——左右双旋
情况三、左子树较高时，在左子树的右侧插入元素，此时需要左右双旋，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋
插入——右左双旋
情况四、右子树较高时，在右子树的左侧插入元素，此时需要右左双旋，即：先对90进行右单旋，然后再对30进行左单旋
四、ALVL树的验证
int _Height(Node* root)
{
//用来计算二叉树的高度
if (root == NULL)
return 0;
int leftH = _Height(root->_left);
int rightH = _Height(root->_right);
return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == NULL)
return true;
int leftH = _Height(root->_left);
int rightH = _Height(root->_right);
//检查平衡因子
if (rightH - leftH != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
return false;
}
//通过计算左右子树的高度差判断这颗二叉树是否为AVL树
return abs(leftH - rightH) < 2
&& _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
//检查高度差要检查二叉树中所有节点的左右子树的高度差
}
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
五、AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 n log_2 n log2n 。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-660739.html
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-660739.html
六、代码
#pragma once
#include<iostream>
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K,V>* _left;
AVLTreeNode<K,V>* _right;
AVLTreeNode<K,V>* _parent;
pair<K,V> _kv;
int _bf; // blance factor
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _bf(0)
{}
};
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
//根节点为空，创建一个节点为根节点
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kv.first< cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else return false; //要插入的元素已经存在，返回 false
}
cur = new Node(kv);
if (cur->_kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//更新平衡因子 右 - 左
while (parent)
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;
}
else if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
//继续更新
parent = parent->_parent;
cur = cur->_parent;
}
else if (parent->_bf == 0)break;
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//调整 旋转 1.让这颗子树平衡 2.降低这颗子树的高度
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
//左单旋
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
//右单旋
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
break;
}
}
return true;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
bool IsBalance()
{
//判断平衡
return _IsBalance(_root);
}
private:
int _Height(Node* root)
{
//计算二叉树的高度
if (root == NULL)return 0;
int leftH = _Height(root->_left);
int rightH = _Height(root->_right);
return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == NULL)return true;
int leftH = _Height(root->_left);
int rightH = _Height(root->_right);
if (rightH - leftH != root->_bf) //检查平衡因子
{
cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
}
//需要遍历所有节点检查高度差
return abs(leftH - rightH) < 2
&&_IsBalance(root->_left)
&&_IsBalance(root->_right);
}
void RotateL(Node* parent) //左单旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)subRL->_parent = parent; //subRL可能为空
Node* ppnode = parent->_parent;
subR->_left = parent; //parent节点成为subR的左子树节点
parent->_parent = subR;
if (ppnode == nullptr) //判断当前传入的节点是否为根节点
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else {
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subR;
}
else {
ppnode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppnode; //subR 成为当前子树的根节点
}
parent->_bf = subR->_bf = 0; //旋转后更新平衡因子
}
void RotateR(Node* parent) //右单旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)subLR->_parent = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (ppnode == nullptr)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == ppnode->_left)
{
ppnode->_left = subL;
}
else {
ppnode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0) //特殊情况
{
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
void Test_AVLTree1()
{
//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };
AVLTree<int, int> t1;
for (auto e : a)
{
t1.Insert(make_pair(e,e));
}
t1.InOrder();
cout << t1.IsBalance() << endl;
}
void Test_AVLTree2()
{
srand(time(0));
const size_t N = 10000;
AVLTree<int, int> t; //插入10000个数据
for (size_t i = 0; i < N; ++i)
{
size_t x = rand();
t.Insert(make_pair(x, x));
}
cout << t.IsBalance() << endl;
}
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