从浅到深研究矩阵的特征值、特征向量-Toy模板网

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本篇特征值、特征向量笔记来源于MIT线性代数课程。

✨引言

对于方阵而言，现在要找一些特殊的数字，即特征值，和特殊的向量，即特征向量。

✨什么是特征向量呢？

给定矩阵A，矩阵A作用在向量上，得到向量Ax（A的作用，作用在一个向量上，这其实就类似于函数，输入向量x，得到向量Ax）
在这些向量中，我们感兴趣的是一些特殊的向量，即变换前后方向一致的向量。
对于大多数向量而言，变换后的Ax是对于x是不同方向的，但是有特定的向量能使Ax平行于x。这些特殊的向量就是特征向量。

✨表示

$\Alpha x=\lambda x$
$其中，\lambda为一系数。可以与原来向量x的方向相同,\\也可以相反,即\lambda可以为正，可以为负，也可以为0。\\(\lambda也甚至可以是复数)$
在上述方程中，
$x就是特征向量，\lambda就是特征值。$

✨从特例看特征值与特征向量

1️⃣投影矩阵
给定一个平面M，投影矩阵P作用于三维空间中所有的向量，那么哪些是P的特征向量呢？
一，在平面M上的任意向量，经过投影矩阵的作用，这些向量的长度和方向不变， $P x = x$
即特征值为1。
二，任意垂直于平面M的向量，经过投影矩阵的作用，这些向量的方向不变，长度变为0， $P x = 0$
即特征值为0。
2️⃣矩阵A，交换向量的两个元素
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$
特征值为1的特征向量
$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$
特征值为-1的特征向量
$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$

✨你发现了吗？
属于两个不同特征值的特征向量是垂直的！

✨引入：特征值的性质
n阶矩阵有n个特征值，在找这些特征值的时候，这里有一个特别的性质：
特征值之和等于矩阵元素对角线元素之和。(矩阵对角线元素之和也成为迹)
$\lambda_1+\lambda_2+ ……+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+ ……+a_{nn}$

在上述这个2阶矩阵中，若已知一个特征值为1，矩阵对角线元素之和为0，则可以知道另一个特征值为-1。

✨如何求解方程

$\Alpha x=\lambda x$
首先，我们先将此移向：
$(\Alpha -\lambda I)x=0$
$\lambda 未知，x未知，但是对于不为0向量的x来说，\\这个式子说明了一点\\一个矩阵，即\Alpha-\lambda I作用于一个不为零的向量x后\\向量变成了0，那么这个矩阵是奇异矩阵$

奇异矩阵的性质:
奇异矩阵的行列式为0
非奇异矩阵（等价）：
1.行列式不为0
2.矩阵是满秩的
3.矩阵是可逆的

$故可得，\lvert \Alpha-\lambda I\rvert=0$
由此，上述这个式子中就不含x了，从而得到一个关于 $\lambda$ 的一个方程，该方程叫做特征方程或者特征值方程。

▶️ 思路：

▶️ $这时我们可以先根据特征方程解出\lambda,\\而且不止一个\lambda,\\对于n阶矩阵来说，它可能有n个\lambda,\\\lambda可以是不同的值，当然也可以有重复的值\\甚至会是同一个\lambda重复n次$
▶️ $当我们根据特征方程求解出所有的\lambda \\之后我们将一个\lambda回代，这时\\矩阵\Alpha-\lambda I是奇异的。\\求解x利用消元法（已知一个奇异矩阵寻找零空间）$

▶️对零空间的理解：
首先，零空间并不是维度为0.
零空间不会独立存在的，它依赖于某个特定的矩阵A而存在。
（拿上面来说，我们就是在寻找矩阵A的零空间，即在矩阵A的作用下被映射到零点的所有向量的集合）

$求解\lambda$

✨对称矩阵例子：

对于对称矩阵A
$\begin{bmatrix} 3& 1\\ 1 &3\\ \end{bmatrix}$
下面我们来求解它的特征值。
<=>
$\begin{bmatrix} 3-\lambda& 1\\ 1 &3-\lambda\\ \end{bmatrix}=0$
<=>
$(3-\lambda)^2-1=0 (1)$
<=>
$\lambda^2-6\lambda+8=0(2)$
<=>
$(\lambda-2)(\lambda-4)=0(3)$
<=>
$\lambda_{1}=4,\lambda_{2}=2$
因此我们可以得到矩阵A的两个特征值2和4。

接下来我们来求特征向量：
根据 $(\Alpha -\lambda I)x=0$ ，我们已知 $\lambda$ ，即已知 $(\Alpha -\lambda I)$ 这个矩阵，它是一个奇异矩阵，作用于 $x$ 使之为零向量，则 $x$ 是相应零空间中的向量。

▶️首先，我们先来求解特征值是4对应的特征向量
$A - 4 I$
<=>
$\begin{bmatrix} 3-4& 1\\ 1 &3-4\\ \end{bmatrix}$
<=>
$=\begin{bmatrix} -1& 1\\ 1 &-1\\ \end{bmatrix}$
现在来找它的零空间 $X_1$ 等于多少？
使得 $(\Alpha -\lambda_1 I)X_1=0$
显然 $X_1$ =
$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$
▶️接下来，我们先来求解特征值是2对应的特征向量
$A - 2 I$
<=>
$\begin{bmatrix} 3-2& 1\\ 1 &3-2\\ \end{bmatrix}$
<=>
$=\begin{bmatrix} 1& 1\\ 1 &1\\ \end{bmatrix}$
接下来我们寻找它的零空间的向量 $X_2$
通过观察，我们可以看出 $X_2$ 为
$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$

✨对比观察两个矩阵及它们的特征值及特征向量：

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$
$\lambda_1=-1,\lambda_2=1$
$\begin{bmatrix} 3& 1\\ 1 &3\\ \end{bmatrix}=0(2)$
$\lambda_1=2,\lambda_2=4$
记第一个矩阵为 $A_1$ ，第二个矩阵为 $A_2$ ，则有
$A_1+3 I=A_2$
$A_1和A_2特征向量相同$
且它们特征值的关系为:
$\lambda_{A11}+3=\lambda_{A21}$
$\lambda_{A12}+3=\lambda_{A22}$
这值得我们细细研究：
如果有：
$\Alpha x = \lambda x（1）$
则
$(\Alpha +3I)x =Ax+3x= \lambda x+3x=(\lambda+3)x（2）$
由此，我们可以得出，
特征向量 $x$ 是两个矩阵共同的特征向量
由(2)，可得， $A + 3 I$ 的特征值为 $\lambda+3$
由此，我们可以得出，若矩阵 $A 和 B$ 存在 $A=B+3\lambda$

✨旋转矩阵例子 =>复数特征值：

$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$
根据上面我们得到的结论，矩阵的两个特征值 $\lambda_1和\lambda_2$ ，特征值之和等于矩阵的迹(即矩阵的对角线元素之和)，特征值之积等于矩阵行列式的值，即
$\lambda_1+\lambda_2=0（1）$
$\lambda_1\lambda_2=-1（2）$
在复数域，我们解出：
$\lambda_1=i,\lambda_2=-i$
研究它的意义在于，我们由原来的一个实矩阵，扩展至它的特征值为一对复数。
而出现复数的原因，我们可以直观理解为与矩阵的对称性有关。

相比于前面的举例提到的，如果矩阵是对称的，就不会有复数特征值。
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如果我们规定矩阵是对称的或者接近对称的，那么特征值就是实数。
如果越不对称，就如上述的旋转矩阵Q，这种矩阵特征值为纯虚数。
这两种是极端情况。
那么其余的就是介于对称和反对称的矩阵，即部分对称，部分反对称。
举个例子：

$\begin{bmatrix} 3& 1\\ 0 &3\\ \end{bmatrix}$
对于这个矩阵，它的两个特征值：
$\lambda_1+\lambda_2=3+3=6（1）$
$\lambda_1\lambda_2=3*3-0=9（2）$
从而，我们解出，
$\lambda_1=3，\lambda_2=3$
当然，如果你直接观察出这是一个三角矩阵并了解它的性质，可以直接从矩阵得出它的特征值。
三角矩阵的特征值即为对角线的元素，从而，
$\lambda_1=3，\lambda_2=3$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-663999.html