[Go版]算法通关村第十三关黄金——数字数学问题之数论问题（最大公约数、素数、埃氏筛、丑数）

题目：辗转相除法（求最大公约数）

题目链接：LeetCode-1979. 找出数组的最大公约数

思路分析：辗转相除法（也叫欧几里得算法）gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

辗转相除法其核心部分为：若r 是a ÷ b的余数，则 gcd(a, b)=gcd(b, r)

复杂度：时间复杂度 O ( n + l o g ( m a x ) ) O(n+log(max)) O(n+log(max))、空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)

Go代码

func findGCD(nums []int) int {
    max, min := getMaxMin(nums)
    return getGcd(max, min)
}
// gcd求最大公约数
func getGcd(a int, b int) int {
    yu := 0
    for b != 0 {
        yu = a % b  //得到余数
        a = b       //根据辗转相除法，把被除数赋给除数
        b = yu      //余数赋给被除数
    }
    return a        //返回除数
}
func getMaxMin(nums []int) (max int, min int) {
    max, min = nums[0], nums[0]
    length := len(nums)
    for i:=1; i<length; i++ {
        if nums[i] > max {
            max = nums[i]
        }
        if nums[i] < min {
            min = nums[i]
        }
    }
    return
}

题目：判断是否是素数

思路分析：判断n是否是素数只需测试 2 到 sqrtN 的所有可能因子 + “6K +1/-1” 规则

复杂度：时间复杂度 O ( s q r t ( n ) ) O(sqrt(n)) O(sqrt(n))、空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)

Go代码

func isPrimes(n int) bool {
    if n <= 1 {
        return false
    }
    if n <= 3 {
        return true
    }
    if n%2==0 || n%3==0 {
        return false
    }
    // 判断n是否是素数时，只需要测试 2 到 sqrtN 的所有可能因子
    // max := int(math.Pow(float64(n), 0.5))
    max := int(math.Sqrt(float64(n)))
    // 根据 "6K +1/-1" 规则
    for i:=5; i<=max; i+=6 {
        // i+2 正好是 "6K +1/-1" 中的一个值
        if n % i == 0 || n%(i+2) == 0 {
            return false
        }
    }
    return true
}

题目：埃氏筛

题目链接：LeetCode-204. 计数质数

思路分析：埃氏筛法思想，逐步排除掉不是质数的数

如果 x 是质数，那么大于 x 的 x 的倍数 2x,3x,… 一定不是质数。

复杂度：时间复杂度 O ( n l o g l o g n ) O(n log log n) O(nloglogn)、空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)

• 时间复杂度分析：
  • 外层循环的迭代次数是 n-2，即 $O(n)$ 次。
  • 内层循环的迭代次数是在素数的情况下，从 i*i 开始，每次递增 i，直到 n。这是因为小于 i 的倍数在之前已经被标记为非质数。内层循环迭代次数约为 n/i，其中 i 为质数。因此，总的迭代次数为 n/2 + n/3 + n/5 + …，这个和式是$O(nloglogn)$的。

Go代码

func countPrimes(n int) int {
    count := 0
    isNotPrimes := make([]bool, n)
    for i:=2; i<n; i++ {
        if !isNotPrimes[i] {
            count++
            for j:=i*i; j<n; j+=i {
                isNotPrimes[j] = true
            }
        }
    }
    return count
}

或者 下面这个语言更清晰，不过多了$O(n)$的时间复杂度

func countPrimes(n int) (count int) {
    isPrimies := make([]bool, n)
    for i, _ := range isPrimies {
        isPrimies[i] = true
    }
    for i:=2; i<n; i++ {
        // 从2开始已经把2的所有倍数标记为false，3也是，所以剩下的未标记的都是质数
        if isPrimies[i] {
            count++
            // 直接从i*i开始标记，因为2i,3i...这些数一定在i之前就被其他数的倍数标记过了，例如2的所有倍数，3的所有倍数等
            for j:=i*i; j<n; j+=i {
                isPrimies[j] = false
            }
        }
    }
    return
}

题目：判断是不是丑数

题目链接：LeetCode-263. 丑数
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-668230.html

思路分析：循环除2 3 5 判断最后值是否==1

复杂度：时间复杂度 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)、空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)

• 时间复杂度：取决于对n除以2 3 5的次数，由于每次至少将n除以2，所以除法运算的次数不会超过$O(logn)$

Go代码

func isUgly(n int) bool {
    if n < 1 {
        return false
    }
    if n == 1 {
        return true
    }
    arr := [3]int{2,3,5}
    for _, v := range arr {
        for n%v == 0 {
            n = n/v
        }
    }
    return n == 1
}

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