微分模型
当谈到微分模型时,通常指的是使用微分方程来描述某个系统的动态行为。微分方程是描述变量之间变化率的数学方程。微分模型可以用于解决各种实际问题,例如物理学、工程学、生物学等领域。
微分模型可以分为两类:常微分方程和偏微分方程。常微分方程描述的是只有一个自变量的函数的导数,而偏微分方程描述的是多个自变量的函数的导数。
常微分方程的一些常见类型包括:一阶线性常微分方程、一阶非线性常微分方程、高阶线性常微分方程等。偏微分方程的一些常见类型包括:热传导方程、波动方程、扩散方程等。
Logistic 模型
对下列人口数据:
# %%
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import curve_fit
# %%
# 源数据
df = pd.DataFrame({
'year': [1790, 1800, 1810, 1820, 1830, 1840, 1850, 1860, 1870],
'population': [3.9, 5.3, 7.2, 9.6, 12.9, 17.1, 23.2, 31.4, 38.6],
})
x0 = float(df['population'][0])
t0 = float(df['year'][0])
# %%
# Logistic 模型
def x(t, r, xm):
return xm / (1 + (xm/x0-1)*np.exp(-r*(t-t0)))
# 拟合参数
popt, pcov = curve_fit(x,
df['year'].tolist(),
df['population'].tolist(),
bounds=((0, 1), (.1, np.inf)))
r, xm = popt[0], popt[1]
print('r =', r)
print('xm =', xm)
# 预测 1900 人口
print('population in 1900 =', x(1900, r, xm))
# %%
# 画出预测曲线
import matplotlib.pyplot as plt
year = np.linspace(1790,2000,21)
population = []
for each in year:
population.append(x(each,r,xm))
plt.scatter(df['year'], df['population'], label='actual')
plt.plot(year, population, label='predict', color='coral')
plt.legend()
得到 r = 0.032 , x m = 159.3 r=0.032,x_m=159.3r=0.032,x =159.3,并预测 1900 年人口为 73.09 73.0973.09,得到预测曲线。
Python 代码
微分方程求解
求微分方程:
# %%
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from sympy import *
# %%
# 使用 scipy 求数值解
# 微分方程
dy = lambda y,x:-2*y + x**2 + 2*x
# 数值范围
x1 = np.linspace(1,10,20)
# 求数值解,y 的初始值为 2
y1 = odeint(dy, 2, x1)
y1
# %%
# 使用 sympy 求解析解
# 定义变量和函数
x = symbols('x', real=True)
y = Function('y')
# 定义方程和约束
eq = y(x).diff(x) + 2*y(x) - x**2 - 2*x
con = {
y(1): 2,
}
# 求解
f = simplify(dsolve(eq, ics=con))
f
# %%
# 向解中代入不同的值
x2 = np.linspace(1,10,100)
y2 = []
for each in x2:
y2.append(list(sorted(f.subs(x,each).evalf().atoms()))[1])
# %%
# 画图
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(x1,y1, label='x1', color='coral')
plt.plot(x2,y2, label='x2')
plt.legend()
文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-668637.html
得到解析解的公式,以及数值解 x 1 和解析解的曲线 x 2 ,发现数值解和解析解大致吻合。
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-668637.html
到了这里,关于数学建模-模型详解(2)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!