第1章 行列式
1.1 全排列和对换
全排列 把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列,简称排列。
例如, { 5 , 3 , 4 , 2 , 1 } \{ 5, 3, 4, 2, 1 \} {5,3,4,2,1} 是一个排列。
全排列的个数 记
P
n
P_{n}
Pn 为 n 个元素的全排列的个数,则有
P
n
=
n
!
P_{n} = n! \\
Pn=n!
排列数 记
P
n
m
P_{n}^{m}
Pnm 为从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的全排列的个数,则有
P
n
m
=
A
n
m
=
n
!
(
n
−
m
)
!
P_{n}^{m} = A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!} \\
Pnm=Anm=(n−m)!n!
特别地,当 m=n 时,
P
n
m
=
P
n
P_{n}^{m} = P_{n}
Pnm=Pn成立。
逆序 在全排列中,当某一对元素的先后次序与标准次序不同时,就说它构成 1 个逆序。
逆序数 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。记排列
a
n
a_{n}
an 的逆序数为 t ,则有
t
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
i
−
1
[
a
i
<
a
j
]
t = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j = 1}^{i - 1}{[a_{i} < a_{j}]}} \\
t=i=1∑nj=1∑i−1[ai<aj]
奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
对换 在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动的操作叫做对换。特别地,将相邻的两个元素对换,叫做相邻对换。
对换定理 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。
1.2 n阶行列式
n
\bm{n}
n 阶行列式 设有
n
2
n^{2}
n2个数,排成 n 行 n 列的数表
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \\
a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann
定义 n! 项代数和
$$
D = \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{t}\prod_{j = 1}^{n} a_{jp_{j}} \
$
其中
p
1
,
p
2
,
⋯
,
p
n
p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}
p1,p2,⋯,pn为 n 的所有排列, t 为排列
p
n
p_{n}
pn 的逆序数。则称上式为n 阶行列式,记作
D
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\
D=
a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann
简记作
det
(
a
i
j
)
\det(a_{ij})
det(aij),其中
a
i
j
a_{ij}
aij 为行列式 D 的 (i,j) 元。
上(下)三角行列式 主对角线以下(上)的元素都为 0 的行列式叫做上(下)三角行列式;特别地,除主对角线以外,其余元素都为 0 的行列式叫做对角行列式。
上(下)三角行列式和对角行列式满足
∣
a
11
a
21
a
22
⋮
⋮
⋱
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∏
i
=
1
n
a
i
i
∣
λ
1
λ
2
⋱
λ
n
∣
=
∏
i
=
1
n
λ
i
\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \prod_{i = 1}^{n}{a_{ii}} \\ \begin{vmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \\ \end{vmatrix} = \prod_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}} \\
a11a21⋮an1a22⋮an2⋱⋯ann
=i=1∏naii
λ1λ2⋱λn
=i=1∏nλi
1.3 行列式的性质
性质1 行列式 D 与它的转置行列式 D^{T} 相等,即
det
(
a
i
j
)
=
det
(
a
j
i
)
\det(a_{ij}) = \det(a_{ji})
det(aij)=det(aji)
性质2 对换行列式的两行(列),行列式变号。
性质2推论 若行列式 D 存在两行(列)完全相同,则 D = 0 .
性质3 行列式的某一行(列)中的所有元素都乘同一数 k ,等于用数 k 乘此行列式,即
D
=
r
i
×
k
k
D
D
=
c
j
×
k
k
D
D \xlongequal{r_{i} \times k}{} kD \\ D \xlongequal{c_{j} \times k}{} kD \\
Dri×kkDDcj×kkD
性质4 若行列式 D 中存在两行(列)元素成比例,则 D = 0 .
性质5 若行列式 D 的某一行(列)的元素都是两数之和,则行列式 D 满足
D
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
+
a
i
1
′
a
i
2
+
a
i
2
′
⋯
a
i
n
+
a
i
n
′
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
+
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
′
a
i
2
′
⋯
a
i
n
′
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
\begin{align} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + a_{i1}^{\prime} & a_{i2} + a_{i2}^{\prime} & \cdots & a_{in} + a_{in}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}^{\prime} & a_{i2}^{\prime} & \cdots & a_{in}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\ \end{align} \\
D=
a11⋮ai1+ai1′⋮an1a12⋮ai2+ai2′⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain+ain′⋮ann
=
a11⋮a21⋮an1a12⋮a22⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮a2n⋮ann
+
a11⋮ai1′⋮an1a12⋮ai2′⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain′⋮ann
性质6 把行列式 D 的某一行(列)的各元素的 k 倍加到另一行(列),行列式不变,即
D
=
r
j
+
k
r
i
k
D
D
=
c
q
+
k
c
p
k
D
D \xlongequal{r_{j} + kr_{i}}{} kD \\ D \xlongequal{c_{q} + kc_{p}}{} kD \\
Drj+krikDDcq+kcpkD
分块(矩阵)行列式 设
D
=
∣
a
11
⋯
a
1
k
⋮
⋮
a
k
1
⋯
a
k
k
c
11
⋯
c
1
k
b
11
⋯
b
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
c
n
1
⋯
c
n
k
b
n
1
⋯
b
n
n
∣
=
∣
A
O
C
B
∣
D = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & & & & \\ \vdots & & \vdots & & & & \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1n} & \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \\ c_{n1} & \cdots & c_{nk} & b_{n1} & \cdots & b_{nn} & \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{vmatrix} \\
D=
a11⋮ak1c11⋮cn1⋯⋯⋯⋯a1k⋮akkc1k⋮cnkb11⋮bn1⋯⋯b1n⋮bnn
=
ACOB
则有
D
=
∣
a
11
⋯
a
1
k
⋮
⋮
a
k
1
⋯
a
k
k
∣
∣
b
11
⋯
b
1
n
⋮
⋮
b
n
1
⋯
b
n
n
∣
=
A
B
D = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix} = AB \\
D=
a11⋮ak1⋯⋯a1k⋮akk
b11⋮bn1⋯⋯b1n⋮bnn
=AB
类似地,有
∣
A
C
O
B
∣
=
A
B
\begin{vmatrix} A & C \\ O & B \\ \end{vmatrix} =AB \\
AOCB
=AB
1.4 行列式按行(列)展开
余子式 在 n 阶行列式中,把 a i j a_{ij} aij 所在的行和列划去后,留下的 n-1 阶行列式叫做 a i j a_{ij} aij的余子式,记作 M i j M_{ij} Mij .
代数余子式 记
A
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
M
i
j
A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij} \\
Aij=(−1)i+jMij
则
A
i
j
A_{ij}
Aij 叫做
a
i
j
a_{ij}
aij的代数余子式。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-669152.html
行列式按行(列)展开法则 行列式 D 等于它任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
D
=
∑
i
=
1
n
a
p
i
A
p
i
=
∑
i
=
1
n
a
i
q
A
i
q
D = \sum_{i = 1}^{n}a_{pi}A_{pi} = \sum_{i = 1}^{n}a_{iq}A_{iq} \\
D=i=1∑napiApi=i=1∑naiqAiq
Vandermonde行列式
D
n
=
∣
1
1
⋯
1
x
1
x
2
⋯
x
n
x
1
2
x
2
2
⋯
x
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
x
1
n
−
1
x
2
n
−
1
⋯
x
n
n
−
1
∣
=
∏
n
≥
i
>
j
≥
1
(
x
i
−
x
j
)
D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \cdots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{n \geq i > j \geq 1}(x_{i} - x_{j}) \\
Dn=
1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋱⋯1xnxn2⋮xnn−1
=n≥i>j≥1∏(xi−xj)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-669152.html
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