算法记录 | Day45 动态规划-Toy模板网

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70.爬楼梯（进阶）

改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！

1.确定dp数组以及下标的含义:dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2.确定递推公式:dp[i] += dp[i - j]
dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

3.dp数组如何初始化:dp[0]=1

4.确定遍历顺序:这是背包里求排列问题，即：1、2 步和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        dp = [0]*(n + 1)
        dp[0] = 1
        m = 2
        # 遍历背包
        for j in range(n + 1):
            # 遍历物品
            for step in range(1, m + 1):
                if j >= step:
                    dp[j] += dp[j - step]
        return dp[n]

322.零钱兑换

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class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float("inf")]*(amount+1)
        dp[0] = 0
        for i in range(len(coins)):
            for j in range(coins[i],amount+1):
                dp[j] = min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1)
        return dp[amount] if dp[amount] != float("inf") else -1

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float("inf")]*(amount+1)
        dp[0] = 0
        for i in range(1,amount+1):
            for coin in coins:
                if i >= coin:
                    dp[i] = min(dp[i],dp[i-coin]+1)
        return dp[amount] if dp[amount] != float("inf") else -1

279.完全平方数

思路：

1.确定dp数组以及下标的含义:dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2.确定递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

3.dp数组如何初始化:dp[0]表示和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

4.遍历顺序：本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的

5.举例来推导dp数组:

已输入n为5例，dp状态图如下：

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class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        '''版本一，先遍历背包, 再遍历物品'''
        # 初始化
        nums = [i**2 for i in range(1, n + 1) if i**2 <= n]
        dp = [10**4]*(n + 1)
        dp[0] = 0
        # 遍历背包
        for j in range(1, n + 1):
            # 遍历物品
            for num in nums:
                if j >= num:
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - num] + 1)
        return dp[n]
    
    def numSquares1(self, n: int) -> int:
        '''版本二， 先遍历物品, 再遍历背包'''
        # 初始化
        nums = [i**2 for i in range(1, n + 1) if i**2 <= n]
        dp = [10**4]*(n + 1)
        dp[0] = 0
        # 遍历物品
        for num in nums:
            # 遍历背包
            for j in range(num, n + 1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - num] + 1)
        return dp[n]