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💬<4>前言：AVL树是对二叉搜索树的严格高度控制，所以AVL树的搜索效率很高，但是这是需要付出很大的代价的，要维护父亲指针，和平衡因子。
目录
一.AVL的概念
二. AVL树节点及整体结构的定义
三. AVL树的插入
1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
2.根据插入的位置调整平衡因子
四.AVL树的旋转
1.左单旋
2.右单旋
3.左右双旋
4.右左双旋
5.总结：
五.AVL树的删除(了解)
六.AVL树的性能
七.完整代码及测试
一.AVL的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-669813.html
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
O()，搜索时间复杂度O()
二. AVL树节点及整体结构的定义
//AVL树结点
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(pair<K,V> kv)
:_kv(kv),
_bf(0),
_left(nullptr),
_right(nullptr),
_parent(nullptr)
{}
pair<K, V> _kv; //Key/Value数据
int _bf; //平衡因子
AVLTreeNode<K, V>* _left; //结点的左子树
AVLTreeNode<K, V>* _right; //结点的右子树
AVLTreeNode<K, V>* _parent; //结点的双亲
};
//AVL树定义
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
bool insert(pair<K,V> kv){}
private:
Node* _root = nullptr;
};三. AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
插入过程：
1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
bool insert(pair<K,V> kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;//记录当前结点
Node* parent = nullptr;//记录父亲结点
while (cur)
{
if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
//找到了合适的位置，创建新节点，出入位置
cur = new Node(kv);
//修改新节点的指向
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//未完待续....
}2.根据插入的位置调整平衡因子
平衡因子：右子树高度减去左子树高度。
cur 插入后，parent 的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
- 如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
- 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可
此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
- 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功。
- 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此 时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新。
- 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理。
while (parent)
{
//cur插入到parent的左侧
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else//cur插入到parent的右侧
{
parent->_bf++;
}
//需向上调整平衡因子
if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)
{
cur = parent;
parent = cur->_parent;
}
//无需向上调整平衡因子
else if(parent->_bf==0)
{
break;
}
//无需向上调整平衡因子，直接旋转处理
else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2)
{
//旋转,旋转之后平衡因子已经平衡，可以直接推出
break;
}
else//出现的其他的错误情况
{
assert(0);
}
}四.AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1.左单旋
新节点插入较高右子树的右侧
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到60的右子树中，30右子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让30平衡，只能将30右子树的高度减少一层，左子树增加一层，即将右子树往上提，这样30转下来，因为30比60小，只能将其放在60的左子树，而如果60有左子树，左子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在30的右子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- 60节点的左孩子可能存在，也可能不存在。
- 30可能是整棵树根节点，也可能是子树根节点。
如果是整棵树根节点，旋转完成后，要更整棵树新根节点；如果是子树根节点，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。
void RotateL(Node* parent)
{
// a
// b
// c
//找到需要旋转的结点
Node* curR = parent->_right;
Node* curRL = curR->_left;
//调整结点，并且修改其父亲结点指针
parent->_right = curRL;
if (curRL)//可能为空
{
curRL->_parent = parent;
}
//在修改子树根节点之前，保存子树根节点的父亲
Node* pparent = parent->_parent;
//修改子树根节点
curR->_left = parent;
parent->_parent = curR;
//子树根节点有可能是整棵树的根节点
if (pparent == nullptr)
{
_root = curR;
_root->_parent = nullptr;
}
else//子树根节点不是整棵树的根节点
{
//还要看子树是它父亲的左孩子还是右孩子
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = curR;
}
else
{
pparent->_right = curR;
}
curR->_parent = pparent;
}
//修改平衡因子
curR->_bf = parent->_bf = 0;
}
2.右单旋
新节点插入较高左子树的左侧
右单旋过程和左单旋转过程一模一样仅仅只是反过来。
void RotateR(Node* parent)
{
Node* curL = parent->_left;
Node* curLR = curL->_right;
parent->_left = curLR;
if (curLR)
{
curLR->_parent = parent;
}
Node* pparent = parent->_parent;
curL->_right = parent;
parent->_parent = curL;
if (parent == _root)
{
_root = curL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = curL;
}
else
{
pparent->_right = curL;
}
curL->_parent = pparent;
}
curL->_bf = parent->_bf = 0;
}
3.左右双旋
新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。
注意：旋转之前，60的平衡因子可能是 -1 / 0 / 1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整。
当h=0,时60自己就是一个新插入的结点，此时他的平衡因子就是。
所以旋转之前，需要保存curLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
点的平衡因子。
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* curL = parent->_left;
Node* curLR = curL->_right;
//旋转之前，保存curLR的平衡因子，旋转完成之后，
//需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
int curLR_bf = curLR->_bf;
//先左单旋
RotateL(curL);
//再右单旋
RotateR(parent);
//保存curLR的平衡因子，判断插入结点的位置，根据插入结点的位置，
//判断出其他结点的平衡因子
if (curLR_bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
curLR->_bf = 0;
curL->_bf = 0;
}
else if (curLR_bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
curL->_bf = -1;
curLR->_bf = 0;
}
else if (curLR_bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
curL->_bf = 0;
curLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
4.右左双旋
右左双旋和左右双旋过程一模一样，仅仅只是反过来。
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* curR = parent->_right;
Node* curRL = curR->_left;
int curRL_bf = curRL->_bf;
RotateR(curR);
RotateL(parent);
if (curRL_bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
curRL->_bf = 0;
curR->_bf = 1;
}
else if (curRL_bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
curRL->_bf = 0;
curR->_bf = 0;
}
else if (curRL_bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
curRL->_bf = 0;
curR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}5.总结：
假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为curR
- 当curR的平衡因子为1时，执行左单旋
- 当curR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为curL
- 当curL的平衡因子为-1是，执行右单旋
- 当curL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
//调整平衡因子
while (parent)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)//需向上调整平衡因子
{
cur = parent;
parent = cur->_parent;
}
else if(parent->_bf==0)//无需向上调整平衡因子
{
break;
}
else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2)//无需向上调整平衡因子，直接旋转
{
if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == 1)
{
RotateL(parent);//左单旋
}
else if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == -1)
{
RotateR(parent);//右单旋
}
else if (parent->_bf == 2 && parent->_left->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);//右左双旋
}
else if (parent->_bf == -2 && parent->_left ->_bf== 1)
{
RotateLR(parent);//左右双旋
}
else
{
assert(false);//其他错误情况
}
break;
}
else
{
assert(0);
}五.AVL树的删除(了解)
因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不
错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
具体实现学生们可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。
六.AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
七.完整代码及测试
AVL.hpp
#pragma once
#include<iostream>
#include<cassert>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(pair<K,V> kv)
:_kv(kv),
_bf(0),
_left(nullptr),
_right(nullptr),
_parent(nullptr)
{
}
pair<K, V> _kv; //Key/Value数据
int _bf; //平衡因子
AVLTreeNode<K, V>* _left; //结点的左子树
AVLTreeNode<K, V>* _right; //结点的右子树
AVLTreeNode<K, V>* _parent; //结点的双亲
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
bool insert(pair<K,V> kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
//找到了合适的位置
cur = new Node(kv);
//
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//调整平衡因子
while (parent)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)//需向上调整平衡因子
{
cur = parent;
parent = cur->_parent;
}
else if(parent->_bf==0)//无需向上调整平衡因子
{
break;
}
else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2)//无需向上调整平衡因子，直接旋转
{
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);//左单旋
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);//右单旋
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);//右左双旋
}
else if (parent->_bf == -2 && cur ->_bf== 1)
{
RotateLR(parent);//左右双旋
}
else
{
//cout << parent->_bf << ":" << /*parent->_left->_bf << ":" <<*/ parent->_right->_bf << endl;
assert(false);//其他错误情况
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
void Inorder()
{
_inorder(_root);
cout << endl;
}
bool Isbalance()
{
return _Isbalance(_root);
}
private:
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int Hleft = _Height(root->_left);
int Hright = _Height(root->_right);
return Hleft > Hright ? Hleft + 1 : Hright + 1;
}
bool _Isbalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int Hleft = _Height(root->_left);
int Hright = _Height(root->_right);
return (Hright - Hleft <= 1) && _Isbalance(root->_left) && _Isbalance(root->_right);
}
void _inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " ";
_inorder(root->_right);
}
void RotateL(Node* parent)
{
// a
// b
// c
//找到需要旋转的结点
Node* curR = parent->_right;
Node* curRL = curR->_left;
//调整结点，并且修改其父亲结点指针
parent->_right = curRL;
if (curRL)//可能为空
{
curRL->_parent = parent;
}
//在修改子树根节点之前，保存子树根节点的父亲
Node* pparent = parent->_parent;
//修改子树根节点
curR->_left = parent;
parent->_parent = curR;
//子树根节点有可能是整棵树的根节点
if (pparent == nullptr)
{
_root = curR;
_root->_parent = nullptr;
}
else//子树根节点不是整棵树的根节点
{
//还要看子树是它父亲的左孩子还是右孩子
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = curR;
}
else
{
pparent->_right = curR;
}
curR->_parent = pparent;
}
//修改平衡因子
curR->_bf = parent->_bf = 0;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* curL = parent->_left;
Node* curLR = curL->_right;
parent->_left = curLR;
if (curLR)
{
curLR->_parent = parent;
}
Node* pparent = parent->_parent;
curL->_right = parent;
parent->_parent = curL;
if (parent == _root)
{
_root = curL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = curL;
}
else
{
pparent->_right = curL;
}
curL->_parent = pparent;
}
curL->_bf = parent->_bf = 0;
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* curL = parent->_left;
Node* curLR = curL->_right;
//旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，
//需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
int curLR_bf = curLR->_bf;
//
RotateL(curL);
RotateR(parent);
if (curLR_bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
curLR->_bf = 0;
curL->_bf = 0;
}
else if (curLR_bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
curL->_bf = -1;
curLR->_bf = 0;
}
else if (curLR_bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
curL->_bf = 0;
curLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* curR = parent->_right;
Node* curRL = curR->_left;
int curRL_bf = curRL->_bf;
RotateR(curR);
RotateL(parent);
if (curRL_bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
curRL->_bf = 0;
curR->_bf = 1;
}
else if (curRL_bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
curRL->_bf = 0;
curR->_bf = 0;
}
else if (curRL_bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
curRL->_bf = 0;
curR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
Node* _root = nullptr;
};test.cpp
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"AVL.hpp"
int main()
{
AVLTree<int, int> a;
int i = 1000;
while(i--)
{
int num = rand() + i;
a.insert(make_pair(num,num));
}
cout << a.Isbalance() << endl;
return 0;
}
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-669813.html
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