数学建模(五)非线性规划

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一、非线性规划模型

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来,解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且,也不像线性规划有单纯形法这一通用方法,非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法,各个方法都有自己特定的适用范围

1.1 案例

投资决策问题:

某企业有n个项目可供选择投资,并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元,投资于第i, i = 1,2,…,n个项目需花资金元,并预计可收益元。试选择最佳投资方案。

Q:为什么说这个题目是非线性的呢?

A:限制条件指明至少要投资一个项目,因此目标函数不能仅考虑收益最大,还要考虑花资金最小。

设置决策变量

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则,投资总额为,投资总收益为。

限制条件

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(非线性)模型

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1.2 非线性规划的数学模型

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在一组等式或不等式的约束下,求一个函数的最大值(或最小值)问题,只需要目标函数和约束条件其中至少有一个非线性函数,这类问题称之为非线性规划问题。

非线性规划在mathlab中的标准格式

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非线性规划在mathlab中的命令:

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x的返回值是决策向量x的取值,fval返回的是目标函数的取值,其中fun是M文件定义的目标函数。

  • x0是x的初始值。
  • A,b,Aeq,beq定义了线性约束Ax≤b,Aeq-x=beq,如果没有线性约束,则A=[],b=[],Aeq=[],beq=[]。
  • lb和ub是变量x的下界和上界,如果上界和下界没有约束,即x无下界也无上界,则lb=[],ub=[]。
  • nonlcon是用M文件定义的非线性约束函数c(x),ceq(x)。
  • options定义了优化参数,可以使用Matlab缺省的参数设置。

例题求解

求解下列非线性规划问题。

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  • (1) 编写M文件fun1.m定义目标函数
function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;
  • (2) 编写M函数fun2.m定义非线性约束条件(g为非线性约束不等式,h为非线性约束等式)
function [g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];% 非线性不等式约束

h=[-x(1)-x(2)^2+2
x(2)+2*x(3)^2-3];% 非线性等式约束
  • (3) 编写主程序文件如下
[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[];zeros(3,1),[],'fun2')

求得当x1=0.5522,x2=1.2033,x3=0.9478时,最小值y=10.6511。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-670016.html

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