LA@齐次线性方程组解的结构-Toy模板网

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齐次线性方程组解的结构🎈

解的性质

齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解

设 $\xi_1,\cdots,\xi_r$ 都是 $(2)$ 的解,则 $\sum_{i=1}^r=k_i\xi_{i}$
证明1:
- 对于齐次线性 $(2)$ ,如果两向量 $\xi_1,\xi_2$ 都是该方程组的解向量,那么对于 $\xi_1,\xi_2$ 的线性组合 $\xi_3=k_1\xi_1+k_2\xi_2$ 也是该方程组的解向量
  - $A\xi_i=0,i=1,2$
  - $A\xi_3=A(\sum\limits_{i=1}^{2}k_i\xi_i)=\sum\limits_{i=1}^{2}k_iA\xi_i$
  - 而 $k_iA\xi_i=0$ ,所以 $A\xi_3=0$
- 类似的,可以得到,齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解
证明2:
- 两个解向量的和仍然是解向量,再证明解向量的 $k$ 倍仍然是解向量,即可证明任意个解向量的常数倍之和(也就任意个解向量的线性组合)仍然是解向量
事实上,齐次线性方程组的全部解可以由有限个解向量(的线性组合)表示

基础解系

方程 $(2)$ 的所有解向量构成的向量集合(向量组)记为 $S$
设 $S$ 存在一个极大无关组 $S_0:\xi_1,\cdots,\xi_t$ ,那么 $S$ 中的向量都能由 $S_0$ 线性表示, $S_0$ 称为 $(2)$ 的一个基础解系

通解

最大无关组 $S_0$ 的任何线性组合 $\bold{x}=\sum_{i=1}^r=k_i\xi_{i}$ ,(, $k_i,i=1,2\cdots,t$ 为任意实数)是 $(2)$ 的解,能够表示 $S$ 中的任意向量,所有也成为 $(2)$ 的通解
把 $A x = 0$ 全体解所构成的集合记为 $S$ ,设 $\Phi=\xi_1,\cdots,\xi_s$ 是S的一个极大无关组, $R (A) = r, s = n - r$
通解:最大无关组 $\Phi$ 的任意向量 $x=\Phi(k_1,\cdots,k_s)^T=\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\xi_i$ 性组合都是方程 $A x = 0$ 的解
- 通解(是 $\Phi$ 的生成子空间)
- 齐次线性方程组的通解可以描述(表出)方程组的任意一个解
齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解集的极大无关组称为该齐次方程组的基础解系,要求齐次线性方程的通解,只需要求它的基础解系

定理:齐次线性方程组基础解系存在定理

若 $R (A) = n$ ,方程 $(2)$ 只有唯一解零解,不存在基础解系
若 $R (A) < n$ ,方程 $(2)$ 存在非零解(无穷多解),一定存在基础解系

齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数(秩)👺

方程组解集的秩 $R (S)$ ,即基础解系的秩的性质是十分有用的性质
揭示了方程(2)系数矩阵的秩 $R(\bold{A})$ ,解集的秩 $R (S)$ 与未知数(元)个数 $n$ 的关系
若方程(2)存在基础解系 $A_0$ ,则包含的向量的个数为 $n - r$ ,即方程(2)的解集 $S$ 的秩为 $R_s=n-r$ ,或者作 $R (A) + R (S) = n$
另一种描述:设 $m\times{n}$ 的矩阵 $\bold{A}$ 的秩为 $R(\bold{A})=r$ ,则 $n$ 元齐次线性方程组 $\bold{Ax=0}$ 的解集 $S$ 的秩 $R_{s}=n-r$
同时 $n - r$ 是方程(2)的通解中包含的自由未知数的个数;非自由未知数的个数则是系数矩阵的秩 $r=R(\bold{A})$

应用和示例

推论1

设 $\bold{A}_{m\times{n}}\bold{B}_{n\times{l}}=O$ ,则 $R(\bold{A})+R(\bold{B})\leqslant{n}$
- 令 $\bold{A}=(\bold{a}_{1},\cdots,\bold{a}_{n})$ ; $\bold{B}=(\bold{b}_{1},\cdots,\bold{b}_{l})$ , $A, B$ 分别表示 $\bold{A,B}$ 列向量组
- 矩阵方程 $\bold{AB=O}$ 等价于向量方程组: $\bold{A}(\bold{b}_{1},\cdots,\bold{b}_{l})=\bold{0}$ ,即
  - $\bold{A}\bold{b}_i=\bold{0}$ , $i=1,\cdots,l$
- 可以看出 $\bold{b}_i$ 都是方程 $\bold{Ax=0}$ 的解
- 设 $\bold{Ax=0}$ 的解集为 $S$ ,则 $\bold{b}_i\in{S}$ ,说明 $B$ 是 $S$ 的部分组,所以 $R(B)\leqslant{R(S)}$
- 而 $R (S) = n - R (A)$ ,所以 $R(B)\leqslant{n-R(A)}$
- 所以 $R(\bold{A})+R(\bold{B})\leqslant{n}$

推论2

设 $n$ 元齐次线性方程组 $\bold{Ax=0}$ 与 $\bold{Bx=0}$ 通解,则 $R(\bold{A})$ = $R(\bold{B})$
- 分别设两个方程组的解集为 $S_1,S_2$ ,则 $S_1=S_2$
- 则 $R(\bold A)=n-R(S_1)$ ; $R(\bold B)=n-R(S_2)$
- 又 $R(S_1)=R(S_2)$ ,所以 $R(\bold{A})$ = $R(\bold{B})$
这表明,当 $\bold{A,B}$ 的列数相同,(方程 $\bold{Ax=0},\bold{Bx=0}$ 包含数量相同的未知数)时
欲证 $R(\bold{A})=R(\bold{B})$ ,可以转换为证若 $\bold{Ax=0},\bold{Bx=0}$ 两个方程组同解

推论3:转置矩阵对的乘积秩的性质

$R(\bold{A^{T}{A}})$ = $R(\bold A)$
证明:设 $\bold{A}$ 是 $m\times{n}$ 的令 $\bold{B=A^T{A}}$ ,显然 $\bold{B}$ 是 $n\times{n}$ 的
- 由此可见, $\bold{A,B}$ 有相同的列数
- 若 $\bold{x}$ 满足 $\bold{Ax=0}$ ,则 $\bold{A^T{(Ax)=0}}$ 也成立,由结合律: $\bold{Bx=0}$
- 若 $\bold{x}$ 满足 $\bold{Bx=0}$ ( $n\times{1}$ ),对其两边取转置运算, $\bold{x^{T}B^{T}}=\bold{0}$ ( $1\times{n}$ ),即 $\bold{x^{T}A^{T}A=0}$ ( $1\times{n}$ ),再对两边同时右乘以 $\bold{x}$ ( $n\times{1}$ ),得 $\bold{(x^{T}A^{T})(Ax)=0}$ ,即 $\bold{(Ax)^T(Ax)=0}$ ,由 $\bold{X^T{X}=O}\Rightarrow{\bold{X=O}}$ 可知, $\bold{Ax=0}$
- 可见 $\bold{Ax=0},\bold{Bx=0}$ 同解,由推论2, $R(\bold{A})=R(\bold{B})$ ,所以结论成立

非自由未知数的选取方法(最左方法)

若方程 $(2)$ 的秩 $R (A) = r < n$ ,将前 $r$ 个未知数 $x_1,\cdots,x_r$ 作为非自由变量;其余 $n - r$ 个 $x_{r+1},\cdots,x_{n}$ 作为自由变量
种方式选择非自由变量和自由变量的方法是最常用的,称为最左方法

基础解系和通解形式的不唯一性

当 $R (A) = r < n$ 时,方程 $(2)$ 的基础解系包含 $n - r$ 个向量,因此任意 $n - r$ 个线性无关解向量都是 $(2)$ 的基础解系
即方程 $(2)$ 的基础解系不唯一,其通解形式也不唯一

证明

分析

方程 $(2)$ 的系数矩阵 $\bold{A}$ 通过初等变换(通解初等变换)可以得到如下形式的强化行最简形矩阵
- $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{1,1} & \cdots & c_{1,n-r} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c_{2,1} & \cdots & c_{2,n-r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_{r,1} & \cdots & c_{r,n-r}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} E_r&C\\ O&O \end{pmatrix}$
- 按最左方法,其反映的是 $x_1,\cdots,x_r$ 是非自由未知数时, $x_{r+1},\cdots,x_{n}$ 是自由未知数(共 $s = n - r$ 个)
- 其中 $s$ 描述了方程组 $(2)$ 的自由度(基础解系包含的线性无关向量的多样性)
- 非自由未知数用自由未知数表示为式(1):
  - $x_i=-\sum\limits_{k=1}^{s} c_{i,k}\times x_{r+k}; (i=1,2,\cdots,r)$
  - $\xi=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{1,i}\times x_{r+i} \\ \vdots \\ -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{r,i}\times x_{r+i} \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix}$
- 设方程 $(2)$ 的全部解的集合为 $S$

证法1

齐次线性方程的基础解系构造

$(2)$ 的解是 $n$ 维向量,分两部分,前 $r$ 为非自由未知数,后 $s$ 维为自由未知数
- 设计特解时,先选定后 $s$ 维
  - 为了简单方便起见,通常取解向量的后s维为单位坐标向量(向量中只含有一个0,1两种元素,且只有一个元素是1)
  - $q_i=\begin{pmatrix} x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \\ q_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; q_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \cdots; q_s=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix}$
- 计算前 $r$ 维(将 $q_i,i=1,2,\cdots,s$ 代入式(1))
  - $p_i=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ \end{pmatrix}$
  - $p_1=\begin{pmatrix} -c_{1,1}\\ -c_{2,1}\\ \cdots\\ -c_{r,1} \end{pmatrix}; p_2=\begin{pmatrix} -c_{1,2}\\ -c_{2,2}\\ \cdots\\ -c_{r,2} \end{pmatrix}; \cdots; p_s=\begin{pmatrix} -c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \cdots\\ -c_{r,n-r} \end{pmatrix}$
- $\xi=\begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix}$
  
  $\xi_1=\begin{pmatrix} -c_{1,1}\\ -c_{2,1}\\ \cdots\\ -c_{r,1}\\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \xi_2=\begin{pmatrix} -c_{1,2}\\ -c_{2,2}\\ \cdots\\ -c_{r,2} \\ 0\\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \cdots; \xi_s=\begin{pmatrix} -c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \cdots\\ -c_{r,n-r}\\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix};$

证明所构造的向量组是基础解系

线性无关性:
- 方法1:矩阵 $\bold{D}=(\xi_1,\cdots,\xi_{s})$ 中包含 $\bold{E}_{s}$ ,且 $|\bold{E}_{n-r}|=s\neq{0}$ , $R(\bold{D})=s$ 所以 ${D}:\xi_1,\cdots,\xi_{s}$ 线性无关
- 方法2:由 $\xi_i$ 的结构可以看出, $\xi_i$ 的后s维是构成的向量之间是线性无关的,而线性无关组的延伸组依然线性无关
$S$ 的全部向量可以由 $D$ 线性表示:
- 设向量 $\xi=(k_1,\cdots,k_r,k_{r+1},\cdots,k_n)$ 是 $S$ 的任意一个向量,
  - 构造向量 $D$ 的线性组合: $\xi^*=\sum\limits_{i=1}^{s}k_{r+i}\xi_i$ 则 $\xi^*$ 也是方程 $(2)$ 的通解,并且表出系数来自需要被 $D$ 线性表示的向量 $\xi$ 的第 $r+1,\cdots,n$ 个元
  - 容易发现, $\xi^{*}$ 和 $\xi$ 在第 $r+1,\cdots,n$ 维是相同的
  - 又根据前面的分析以及式(1),方程 $(2)$ 的解向量包括非自由变量和自由变量,其中非自由变量取决于自由变量的取值,所以非自由变量完全确定了整个解向量(若两个解向量的非自由未知数一样,则两个解向量相等)
  - 所以 $\xi^*=\xi$ ,即任意解向量都能由 $\xi^*$ (即 $D$ 的线性组合)表示
  - 所以 $S$ 的全部向量可以由 $D$ 线性表示
所以 $D$ 是 $S$ 的极大无关组,所以 $D$ 方程 $(2)$ 的基础解系

证法2

令自由未知量 $x_{r+i}$ 分别取 $k_i$ , $i=1,2,\cdots,s$ ;代入式 $(1)$ ;则方程 $(2)$ 的通解表示为
$\xi=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ k_{1} \\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{1,i}\times k_{i} \\ \vdots \\ -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{r,i}\times k_{i} \\ k_{1} \\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} =k_1\begin{pmatrix} -c_{1,1} \\ \vdots \\ -c_{r,1} \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} +\cdots +k_s\begin{pmatrix} -c_{1,s} \\ \vdots \\ -c_{r,s} \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix}$
将上述通解记为: $\xi=\sum_{i=1}^{s}k_i\xi_i$ ,涉及的向量记为向量组: $\bold{D}=(\xi_1,\cdots,\xi_{s})$
通解 $\xi$ 可以表示 $S$ 中的任意向量
而 $D$ 中后 $s$ 行构成一个 $s$ 阶单位阵,其行列式为1(非0),所以 $R (D) = s$ 所以 $D$ 线性无关
所以 $D$ 是方程 $(2)$ 的一个基础解系解系

小结

上述两种方法一种是先求基础解系再求通解;另一种是先求通解再求基础解系

基础解系构造提要

可以从 $A x = 0$ 的系数矩阵A通过初等变换转化为(包含r阶单位子阵,r=R(A))的强化行最简矩阵U,
- $r = R (A), s = n - r$
- $U=\begin{pmatrix} E_{r\times{r}}&T_{r\times{s}}\\ 0_{t\times{r}}&0_{t\times{s}} \end{pmatrix} \\ r+s=n \\ \bold{D}=\begin{pmatrix} -T_{r\times{s}} \\ E_{s\times{s}} \end{pmatrix}$
  - $D:\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$ 是 $\bold{D}$ 的列向量组
  - $D$ 就是 $\bold{Ax=0}$ 的基础解系
- 我们把注意力集中在分块 $P_{r\times{s}}=-T_{r\times{s}}$ 上即可,在此基础上,追加一个s阶的单位阵;
  - 最终该矩阵的每个列向量就是基础解系的一个解向量成员
方法1:不一定要化作强化行最简形矩阵,也可以考虑化为准行最简形矩阵(W)(和强化行最简形矩阵相差若干列交换的调整)
- 从 $W$ 中读出 $r$ 个非自由未知数用 $n - r$ 个自由未知数的表达式
- 取定合适的 $n - r$ 个组值(每组值可以来自 $n - r$ 阶单位阵的不同列),得到 $n - r$ 个解向量作为基础解系
- 得到通解
方法2:将行简化矩阵进一步调整为 $U$ 的形式可能要做列交换,这会使得解向量中的元素不再和 $x_1,\cdots,x_n$ 一一对应,需要注意这一点,记录列交换的情况,然后调整顺序使之对应 $x_1,\cdots,x_n$

例

设 $\bold{Ax=0}$ :
- $\bold{A} =\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 2&-5&3&2\\ 7&-7&3&1 \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1&0&-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\ 0&1&-\frac{5}{7}&-\frac{4}{7}\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$
- $R (A) = 2 < 4$ 方程有无穷多解,其基础解系 $S_0$ 存在且 $R(S_0)=n-r=4-2=2$
- 令 $x_1,x_2$ 为非自由未知数, $x_3,x_4$ 为自由未知数
- $x_1=\frac{2}{7}x_3+\frac{3}{4}x_4\\ x_2=\frac{5}{7}x_3+\frac{4}{7}x_4$
基础解系
- 令取2组自由未知数的取值: $q_1$ = $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ , $q_2$ = $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ ,则对应的非自由未知数向量: $p_1$ = $\begin{pmatrix}\frac{2}{7}\\\frac{5}{7}\end{pmatrix}$ , $q_2$ = $\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\\frac{4}{7}\end{pmatrix}$
- 即得方程组得解集中的两个线性无关的特解 $\xi_1=\begin{pmatrix}\frac{2}{7}\\\frac{5}{7}\\1\\0\end{pmatrix}$ ; $\xi_2=\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\\frac{4}{7}\\0\\1\end{pmatrix}$
- (Note:如果用构造提要一节中,可以直接得出 $\xi_1,\xi_2$ )
通解
- $\xi=\sum_{i=1}^{2}k_i\xi_i$ ,其中 $k_i\in\mathbb{R}$

补充

结合上面的例子讨论

再给出一组上述基础解系之外的其他基础解系

例如
- $q_1$ = $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ , $q_2$ = $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ , $q_1,q_2$ 线性无关(不成比例)
- $\eta_1=\begin{pmatrix}\frac{5}{7}\\\frac{7}{9}\\1\\1\end{pmatrix}$ ; $\eta_2=\begin{pmatrix}-\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}\\1\\-1\end{pmatrix}$
- 则 $\eta_1,\eta_2$ 与 $\xi_1,\xi_2$ 同为 $S$ 的极大无关组,都是方程组的基础解系

非最左方法选取非自由变量

非自由变量的选取不按最左方法时,求解基础解系的过程相较于上节讨论的"标准过程"会有所不同
- 例如 $x_1$ 若按最左方法会被归为非自由未知数,但是这假设 $x_1$ 被作为自由未知数
  - 相应的,需要有其他未知数 $x_j,j\neq{1}$ 代替原 $x_1$ 作为非自由未知数
  - 在标准过程中,行最简形矩阵的第1列是 $\bold{e}_1=(1,0,\cdots,0)^T$
  - 在这里利用行变换,将 $\bold{A}$ 的第 $j$ 列(记为 $c_j$ ,是 $x_j$ 的系数, $j\neq{1}$ )变换成 $\bold{e}_1$
  - 类似的,共可以选出 $n - r$ 个自由未知数设为 $x_{j_k}$ , $(k=1,\cdots,n-r)$ ,需要通过初等行变换,将 $\bold{A}$ 中的其他 $r$ 个非自由未知数分别转换为 $\bold{e}_{i}$ ( $\bold{e}_{i}$ 表示 $n$ 维单位坐标向量中第 $i$ 维是1的列向量, $j_k$ 之间互不相等)
  - 此时的矩阵虽然不是行最简形矩阵,(这类矩阵不是唯一的),其具有和行最简形矩阵相同的作用,称其为准行最简形矩阵都能够利用 $r$ 个 $n$ 维单位坐标向量读出 $n - r$ 个自由未知数表示 $r$ 个非自由未知数的表出系数
- 本例中,我们打算将 $x_1,x_2$ 作为自由未知数来表示非自由未知数 $x_3,x_4$ ,
  - $\bold{A} =\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 2&-5&3&2\\ 7&-7&3&1 \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} -5&2&0&1\\ 4&-3&1&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$
  - 类似的,可以看出 $x_3=-4x_1+3x_2$ ; $x_4=5x_1-2x_2$ , $x_1,x_2\in\mathbb{R}$
  - 此时基础解系可以取
    - $\xi_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\-4\\5 \end{pmatrix}; \xi_2=\begin{pmatrix} 0\\1\\3\\-2 \end{pmatrix}$
    - 通解为 $\xi=\sum_{i=1}^{2}k_i\xi_i$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-670923.html