概率论作业啊啊啊-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了概率论作业啊啊啊。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

1 数据位置 (Measures of location)
对于数据集: $7, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 16$

计算加权平均数，其中权重为: $2, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1$
计算截断均值, 去除最高和最低的两个值。
计算众数，中位数，方差，标准差

2 数据散布（Measures of spread/dispersion)
使用上述数据集，计算四分位差

3 随机变量的类型和概率分布
考虑一个实验，其中一个包包含 5 个红球和 3 个绿球。随机从中抽取 2 个球，不放回。定义一个随机变量 $X$ 为抽取的红球数量。列出 $X$ 的所有可能值，并为每个值计算概率。

4 理论概率分布之常见的离散型分布
一个生产线上，产品的不合格率为 0.05 。现在从生产线上随机选择10个产品。使用二项分布计算恰好有 2 个不合格产品的概率。

5 假设学生的智商（IQ）分数分布是标准正态分布，平均值为100，标准差为15。计算以下情况的概率：

一个随机选择的学生的IQ分数高于125的概率。
一个随机选择的学生的IQ分数在85到115之间的概率。
一个随机选择的学生的IQ分数低于70或高于130的概率。

答案

数据位置 (Measures of location)
答案:

加权平均数 $= 18$
为了计算截断均值，我们首先对数据进行排序，然后删除最高和最低的两个值，然后计算剩余数据的平均值。截断均值 $= 11.69$ （四舍五入到两位小数）。
方差 $= 5.69$
标准差 $= 2.39$

数据散布 (Measures of spread/dispersion)
答案:
数据集已经被排序为:
$7, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 16$
$Q 1$ 的位置:
$\text { 位置 }=\frac{n+1}{4}$
对于我们的数据集， $n = 15$ ，所以
$\text { 位置 }=\frac{15+1}{4}=4$
这意味着 $Q 1$ 正好是第 4 个数据点，即 10 。 $Q 3$ 的位置:
$\text { 位置 }=\frac{3(n+1)}{4}$
对于我们的数据集， $n = 15$ ，所以
$\text { 位置 }=\frac{3(15+1)}{4}=12$
这意味着 $Q 3$ 正好是第 12 个数据点，即 14 。

现在，我们可以计算四分位差:
$\mathrm{IQR}=Q 3-Q 1=14-10=4$
因此，四分位差 (IQR) 是2。

随机变量的类型和概率分布
考虑这样一个实验，从一个包含 5 个红球和 3 个绿球的袋子中随机抽取 2 个球，并不放回。我们定义一个随机变量 $X$ 来表示抽取的红球数量。我们可以为 $X$ 的每个可能值计算概率。

$P (X = 0)$ : 抽取两个球都是绿色的。
这个概率可以这样计算:
首先，第一个球是绿色的概率是 $\frac{3}{8}$ 。
接着，第二个球也是绿色的概率是 $\frac{2}{7}$ (因为已经有一个绿球被抽出，所以只剩下 2 个绿球和 7 个球总数)。
因此，两次事件的联合概率为: $P(X=0)=\frac{3}{8} \times \frac{2}{7}=\frac{6}{56}$ 。
$P (X = 1)$ : 抽取的其中一个球是红色，另一个是绿色。
这个概率可以分为两种情况:
第一种情况是首先抽到一个红球，然后抽到一个绿球。概率为 $\frac{5}{8} \times \frac{3}{7}$ 。
第二种情况是首先抽到一个绿球，然后抽到一个红球。概率为 $\frac{3}{8} \times \frac{5}{7}$ 。
把这两种情况的概率加起来，我们得到: $P(X=1)=\frac{5}{8} \times \frac{3}{7}+\frac{3}{8} \times \frac{5}{7}=\frac{30}{56}$ 。
$P (X = 2)$ : 抽取两个球都是红色的。
这个概率可以这样计算:
首先，第一个球是红色的概率是 $\frac{5}{8}$ 。
接着，第二个球也是红色的概率是 $\frac{4}{7}$ (因为已经有一个红球被抽出，所以只剩下 4 个红球和 7 个球总数)。
因此，两次事件的联合概率为: $P(X=2)=\frac{5}{8} \times \frac{4}{7}=\frac{20}{56}$ 。

二项分布
假设我们在生产线上随机选择了10个产品，而每个产品都是独立检查的。因此，每个产品不合格的概率都是 0.05 ，合格的概率则是 0.95 。
现在，我们想要知道恰好有 2 个产品不合格的概率。我们可以使用二项分布公式来计算这一概率:
$P(X=k)=\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}$
其中:

$\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ 是组合公式，表示从 $\mathrm{n}$ 个中选择 $\mathrm{k}$ 个的方法数。它的公式是:
$\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}$
$n$ 是试验次数，此处为 10 。
$k$ 是成功的次数，此处为 2 。
$p$ 是一次试验成功的概率，此处为 0.05 。
将上述值代入公式，我们可以计算得到恰好有 2 个不合格产品的概率：
$P(X=2)=\left(\begin{array}{c} 10 \\ 2 \end{array}\right) \times 0.05^2 \times(1-0.05)^{10-2}$
其中， $\left(\begin{array}{c}10 \\ 2\end{array}\right)$ 是 10 中选择 2 的组合数，计算为:
$\left(\begin{array}{c} 10 \\ 2 \end{array}\right)=\frac{10 !}{2 !(10-2) !}=\frac{10 \times 9}{2 \times 1}=45$
将上述值代入公式，我们得到:
$\times 0.05^2 \times 0.95^8 ≈0.0746$

正态分布
对于正态分布的随机变量 $X$ ，我们通常使用以下的公式来计算其概率:
$\leq X \leq b)=P(X \leq b)-P(X \leq a)$
其中， $\leq b)$ 和 $\leq a)$ 可以从正态分布的累积分布函数 (CDF) 中查找。
对于标准正态分布，均值 $\mu=0$ ，标准差 $\sigma=1$ 。但在这个例子中，我们的分布不是标准的，所以我们需要先将其转换为标准正态分布。这可以通过以下的公式实现:
$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$
其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。

计算一个随机选择的学生的IQ分数高于125的概率:
首先, 我们将 $I Q = 125$ 转换为标准正态变量:
$Z=\frac{125-100}{15}$
接着，我们查找标准正态分布表 (或使用计算工具) 来找到 $Z$ 对应的概率 $P (Z)$ 。最后，我们使用 $P (X > 125) = 1 - P (Z)$ 来得到所求的概率。

计算一个随机选择的学生的IQ分数在85到115之间的概率:
我们首先将 $\mid Q=85$ 和 $\mid \mathrm{Q}=115$ 都转换为标准正态变量:
$\begin{aligned} & Z_1=\frac{85-100}{15} \\ & Z_2=\frac{115-100}{15} \end{aligned}$
然后，我们查找标准正态分布表来找到 $Z_1$ 和 $Z_2$ 对应的概率 $P\left(Z_1\right)$ 和 $P\left(Z_2\right)$ 。最后，我们使用上面的公式来计算 $\leq X \leq 115)=P\left(Z_2\right)-P\left(Z_1\right)$ 。

计算一个随机选择的学生的IQ分数低于70或高于 130 的概率:
我们首先将 $\mathrm{Q}=70$ 和 $\mid \mathrm{Q}=130$ 都转换为标准正态变量:
$\begin{aligned} & Z_1=\frac{70-100}{15} \\ & Z_2=\frac{130-100}{15} \end{aligned}$
然后，我们查找标准正态分布表来找到 $Z_1$ 和 $Z_2$ 对应的概率 $P\left(Z_1\right)$ 和 $P\left(Z_2\right)$ 。最后，我们使用以下的公式来得到所求的概率:
$\text { or } X>130)=P\left(Z_1\right)+\left(1-P\left(Z_2\right)\right)$