高等数学：矩阵的酉不变范数，樊畿控制定理，次可乘性质，p次对称度规函数-Toy模板网

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酉不变范数与对称度规函数

设 $\lVert\cdot\rVert : \mathbb{C}^{m\times n} \to \mathbb{R}_+$ 是范数，且 $\lVert \bigstar \rVert = \lVert U^{*} \bigstar V \rVert$ 对所有酉矩阵 $U, V$ 成立（此时称 $\lVert\cdot\rVert$ 酉不变）；考虑奇异值分解 $\Sigma(A) V^{*}$ ，其中 $\Sigma(A) \in \mathbb{C}^{m\times n}$ 的主对角元为 $\sigma_{1}(A) \geq \dots \geq \sigma_{q}(A) \geq 0 ,\ q = \min(m, n)$ ，则 $\lVert A \rVert = \lVert \Sigma(A) \rVert$ 只依赖于 $\operatorname{sv}(A) = (\sigma_{i}(A))_{1\leq i\leq q} \in \mathbb{R}_{+}^{q}$ 。
设 g : $\mathbb{F}^n \to\mathbb{R}_+$ 是范数：
若 $g(\cdot) = g( \tau(\cdot) ), \ \forall \tau\in S_n$ ，则称 g对称或置换不变；
若 $g(\cdot) = g( \operatorname{abs}(\cdot) )$ ，则称 g绝对或度规不变；
若 g 对称且绝对，则称 g 为对称度规函数。
固定正整数 m,n 和 $\min(m, n)$ ，von Neumann发现

若 $\lVert\cdot\rVert : \mathbb{C}^{m\times n} \to \mathbb{R}_+$ 是酉不变范数，则 $g_{\lVert\cdot\rVert} : (x_{i})\in\mathbb{F}^{q} \mapsto \lVert X\rVert$ 是对称度规函数，其中 $\in \mathbb{F}^{m\times n}$ 由 $\operatorname{diag}(x_{1}, \dots, x_{q})$ 添补零得到；
若 $\mathbb{F}^{q} \to\mathbb{R}_+$ 是对称度规函数，则 $\lVert\cdot\rVert_{g} : A\in\mathbb{C}^{m\times n} \mapsto g(\operatorname{sv}(A))$ 是酉不变范数。
证明：对于范数 $\lVert\cdot\rVert$ ，易见 $g_{\lVert\cdot\rVert}$ 仍是范数；而置换矩阵和 $\operatorname{diag}\left( \exp(\sqrt{-1}\theta_{1}), \dots, \exp(\sqrt{-1}\theta_{q}) \right)$ 都是酉矩阵，所以酉不变范数确实诱导了对称度规函数。反之，由 $\operatorname{sv}(U^{*}AV) = \operatorname{sv}(A)$ 可知 $\lVert\cdot\rVert_{g}$ 酉不变，而正定性和齐次性容易验证，只需说明三角不等式成立。任取 $\in \mathbb{C}^{m\times n}$ ，奇异值的樊畿不等式断言 $(\sigma_{i}(A+B))_{1 \leq i \leq q} \prec_\mathrm{w} ( \sigma_{i}(A) + \sigma_{i}(B) )_{1 \leq i \leq q}$ ，弱受控表明存在双随机矩阵 D 适合 $\operatorname{sv}(A)+ \operatorname{sv}(B) ) \geq \operatorname{sv}(A+B)$ ，而双随机矩阵是置换矩阵的凸组合，应用下述引理通过简单推导即证。 $\blacksquare$

[引理] 设 $\mathbb{F}^n \to\mathbb{R}_+ 是范数，若 g(v)\geq g(w),\ \forall v,w\in\mathbb{F}^n,\, \operatorname{abs}(v)\geq \operatorname{abs}(w)$ ，则称 g单调；范数 g 单调当且仅当 g 绝对。
证明：若 g 单调，则 $g(\cdot) \geq g\left( \operatorname{abs}(\cdot) \right) \geq g(\cdot)$ 。若 g 绝对，设 $|\alpha| \leq 1$ ，则
$\begin{align} &\ \ g(z_1, \dots, z_{k-1}, \alpha z_k , z_{k+1}, \dots, z_n) = g(z_1, \dots, |\alpha| z_k , \dots, z_n) \\ &\leq \frac{1+|\alpha|}{2}g(z_1, \dots, z_k , \dots, z_n) + \frac{1-|\alpha|}{2}g(z_1, \dots, -z_k , \dots, z_n) \\ &= g(z_1, \dots, z_n), \quad 1\leq k\leq n. \end{align}$
归纳即知 g 单调。 $\blacksquare$

樊畿控制定理

前述证明其实突出了樊畿范数的重要性（弱受控），整理可得如下命题。

设 $\mathbb{F}^n \to\mathbb{R}_+$ 是对称度规函数，若 $\lVert v\rVert_{[k]} \leq \lVert w\rVert_{[k]}, \ 1\leq k\leq n$ ，则 $\leq g(w)$ 。
设 $\lVert\cdot\rVert : \mathbb{C}^{m\times n} \to \mathbb{R}_+$ 是酉不变范数，若 $\lVert A\rVert_{[k]} \leq \lVert B\rVert_{[k]}, \ 1\leq k\leq \min(m,n)$ ，则 $\lVert A\rVert \leq \lVert B\rVert$ 。
至此，矩阵的酉不变范数有了较清晰的图景。特别地，如果对称度规函数取为向量的 l_p 范数，则相应的矩阵酉不变范数即为Schatten范数，满足次可加性。

酉不变范数的次可乘性质

设 $\lVert\cdot\rVert : \mathbb{C}^{n\times n} \to \mathbb{R}_+$ 是酉不变范数，则对 $\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 有 $\lVert PAQ \rVert \leq \sigma_{\max}(P) \lVert A \rVert \sigma_{\max}(Q)$ 。
证明：在 $\lVert\bigstar\rVert = g_{\lVert\cdot\rVert}(\operatorname{sv}(\bigstar))$ 中利用 $g_{\lVert\cdot\rVert}$ 的单调性，只需说明 $\sigma_{\max}(P)\sigma_{\max}(Q)\operatorname{sv}(A) \geq \operatorname{sv}(PAQ)$ ，这通过下述引理易得。 $\blacksquare$

[引理] 将奇异值(计入 0 )排列为 $\sigma_{1}(\cdot) \geq \dots \geq \sigma_{n}(\cdot)$ ，则对 $\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 和 $1\leq i\leq n 有 \sigma_{i}(AB) \leq \sigma_{\max}(A)\sigma_{i}(B) 和 \sigma_{i}(AB) \leq \sigma_{\max}(B)\sigma_{i}(A)$ 。
证明：在奇异值的变分刻画 $\sigma_{i}(\bigstar) = \sup_{\dim(W)=i} \inf_{v \in W : \lVert v \rVert_{2} = 1} \lVert \bigstar v \rVert_{2}$ 中，利用 $\lVert AB v \rVert_{2} \leq \lVert\lvert A \rvert\rVert_{2} \lVert Bv \rVert_{2} = \sigma_{\max}(A) \lVert Bv \rVert_{2}$ 即得 $\sigma_{i}(AB) \leq \sigma_{\max}(A)\sigma_{i}(B)$ 。另一方面，我们有 $\operatorname{sv}(\bigstar) = \operatorname{sv}(\bigstar^{*}) 。 \blacksquare$

p次对称度规函数

设 $\mathbb{F}^n \to\mathbb{R}_+$ 是对称度规函数，任取 $p\in[1,\infty)$ ，则 $g^{(p)} : (u_1,\dots,u_n) \in \mathbb{F}^{n} \mapsto \left[ g(|u_1|^p, \dots, |u_n|^p) \right]^{1/p}$ 也是对称度规函数——只需验证三角不等式。

[Hölder不等式] $g(u\circ v) \leq g^{(p)}(u) g^{(p')}(v) ,\ \tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{p'}=1$ ；
[Minkowski不等式] $g^{(p)}(u+v) \leq g^{(p)}(u) + g^{(p)}(v)$ 。
证明：由Young不等式可知 $\alpha\beta = \min_{t>0} \left\{ \frac{(\alpha/t)^p}{p} + \frac{(t\beta)^{p'}}{p'} \right\} ,\ \forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}_{+}$ ，进而利用 g 的单调性、次可加性和齐次性易证Holder不等式。不妨设 $\in \mathbb{R}_{+}^{n} 和 p>1$ ，由 $(u+v)^{p} = u\circ(u+v)^{p-1} + v\circ(u+v)^{p-1} 和 p'(p-1) = p$ 可得
$\begin{align} g((u+v)^{p}) &\leq g(u\circ(u+v)^{p-1}) + g(v\circ(u+v)^{p-1}) \\ &\leq g^{(p)}(u) [g((u+v)^{p})]^{1/p'} + g^{(p)}(v) [g((u+v)^{p})]^{1/p'} \\ &= [g^{(p)}(u) + g^{(p)}(v)] \cdot [g((u+v)^{p})]^{1/p'} \end{align}$
，两端除以 $g((u+v)^{p})]^{1/p'}$ 即证。 $\blacksquare$

设 $\lVert\cdot\rVert : \mathbb{C}^{n\times n} \to \mathbb{R}_+$ 是酉不变范数，则对 $\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 有Hölder不等式 $\lVert AB \rVert \leq \lVert (\sqrt{AA^{*}})^{p} \rVert^{1/p} \lVert (\sqrt{BB^{*}})^{p'} \rVert^{1/p'} ,\ \tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{p'}=1$ 。

证明：将奇异值(计入 0 )排列为 $\sigma_{1}(\cdot) \geq \dots \geq \sigma_{n}(\cdot)$ ，由奇异值的乘积型受控 $(\sigma_{i}(AB))_{1\leq i\leq n} \prec_{\mathrm{w}} (\sigma_{i}(A)\sigma_{i}(B))_{1\leq i\leq n} 可得 g_{\lVert\cdot\rVert}(\operatorname{sv}(AB)) \leq g_{\lVert\cdot\rVert}(\operatorname{sv}(A)\circ\operatorname{sv}(B)) \leq g_{\lVert\cdot\rVert}^{(p)}(\operatorname{sv}(A)) g_{\lVert\cdot\rVert}^{(p')}(\operatorname{sv}(B))$ ，所以注意到 $\sigma_{i}(A)^{p} = \sigma_{i}((\sqrt{AA^{*}})^{p}) , \ 1\leq i\leq n$ 即可。 $\blacksquare$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-674391.html