统计动力学笔记(三)整波滤波器(自留用)

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了统计动力学笔记(三)整波滤波器(自留用)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

整波滤波器是一类能够整合具有任意频谱密度的静定随机信号的滤波器。其输入信号往往是白噪声

1. 整波滤波器推导

由统计动力学笔记(二)频谱密度与线性随机系统的动态准确性(自留用)一文可以知道系统输出 x x x和输入 u u u之间的互频谱密度:
S x ( ω ) = W ( j ω ) W ( − j ω ) S u ( ω ) (1) S_x (\omega) = W(j \omega) W(-j \omega) S_u (\omega) \tag{1} Sx(ω)=W()W()Su(ω)(1)当输入为白噪声时, S u ( ω ) = S n ( ω ) = 1 S_u (\omega) = S_n (\omega) = 1 Su(ω)=Sn(ω)=1,则
S x ( ω ) = W ( j ω ) W ( − j ω ) (2) S_x (\omega) = W(j \omega) W(-j \omega) \tag{2} Sx(ω)=W()W()(2)这样一来,只要将输出端 x x x的频谱密度分解为2个共轭的部分,就可以得到系统的传递函数。这一步也称为频谱密度的分解

例:输出端的频谱密度为
S x ( ω ) = 4 4 ω 2 + 1 = 2 2 j ω + 1 ⋅ 2 2 ( − j ω ) + 1 S_x (\omega) = \frac{4}{4\omega^2 + 1} = \frac{2}{2 j \omega +1} \cdot \frac{2}{2 (- j\omega) + 1 } Sx(ω)=4ω2+14=2+122()+12则系统的传函为
W ( j ω ) = 2 2 j ω + 1 W(j \omega) = \frac{2}{2 j \omega +1} W()=2+12
W ( s ) = 2 2 s + 1 W({\rm s}) = \frac{2}{2 {\rm s} +1} W(s)=2s+12

2. 线性动态系统输出端的随机信号的方差

方差的定义式在统计动力学笔记(二)频谱密度与线性随机系统的动态准确性(自留用)一文的式(5)已给出:
D x = R x ( 0 ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S x ( ω ) d ω D_x = R_x (0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S_x (\omega) {\rm d} \omega Dx=Rx(0)=2π1Sx(ω)dω代入式(1)
D x = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ W ( j ω ) W ( − j ω ) S u ( ω ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S u ( ω ) d ω (3) D_x = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty W(j \omega) W(-j \omega) S_u (\omega) {\rm d} \omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty \big\lvert W(j \omega) \big\rvert^2 S_u (\omega) {\rm d} \omega \tag{3} Dx=2π1W()W()Su(ω)dω=2π1 W() 2Su(ω)dω(3)式(3)的计算方式,有如下一套固定的方法,称为“ I n I_n In – 积分法”:
I n = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ G ( j ω ) ∣ 2 ∣ H n ( j ω ) ∣ 2 d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ G n ( j ω ) H n ( j ω ) H n ( − j ω ) d ω (4) I_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty \frac{ \big\lvert G(j \omega) \big\rvert^2 }{ \big\lvert H_n(j \omega) \big\rvert^2 } {\rm d} \omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty \frac{ G_n (j \omega) }{ H_n(j \omega) H_n(-j \omega) } {\rm d} \omega \tag{4} In=2π1 Hn() 2 G() 2dω=2π1Hn()Hn()Gn()dω(4)其中
G n ( j ω ) = b 0 ( j ω ) 2 n − 2 + b 1 ( j ω ) 2 n − 4 + ⋯ + b n − 1 , H n ( j ω ) = a 0 ( j ω ) n + a 1 ( j ω ) n − 1 + ⋯ + a n (5) G_n (j \omega) = b_0 (j \omega)^{2n-2} + b_1 (j \omega)^{2n-4} + \cdots + b_{n-1}, \\ H_n (j \omega) = a_0 (j \omega)^{n} + a_1 (j \omega)^{n-1} + \cdots + a_n \tag{5} Gn()=b0()2n2+b1()2n4++bn1,Hn()=a0()n+a1()n1++an(5)关于式(4)(5)有如下几点:
(1)若积分式的分母阶数为 n n n,则实际系统中,分子的阶数不会超过 2 n − 2 2n-2 2n2
(2)积分式分母 H n ( j ω ) H n ( − j ω ) H_n(j \omega) H_n(-j \omega) Hn()Hn() ω \omega ω的偶函数。
(3)积分式分子 G n ( j ω ) G_n(j \omega) Gn()只含有 j ω j\omega 偶次幂。若出现了奇次幂,则可以直接忽视掉,因为积分后奇次幂将等于零。
(4)积分式分母中的 H n ( j ω ) H_n(j \omega) Hn()应当是稳定的。

则对于 I n I_n In – 积分,其计算方法如下:
I n = ( − 1 ) n + 1 N n 2 a 0 D n (6) I_n = (-1) ^{n+1} \frac{N_n}{2a_0 D_n} \tag{6} In=(1)n+12a0DnNn(6)其中
D n = ∣ a 1 a 0 0 ⋯ 0 a 3 a 2 a 1 ⋯ 0 a 5 a 4 a 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ a n ∣ , (7) D_n = \begin{vmatrix} a_1 & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & \cdots & 0 \\ a_5 & a_4 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix} \tag{7}, Dn= a1a3a50a0a2a400a1a30000an ,(7) N n = ∣ b 0 a 0 0 ⋯ 0 b 1 a 2 a 1 ⋯ 0 b 2 a 4 a 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n − 1 0 0 ⋯ a n ∣ (8) N_n = \begin{vmatrix} b_0 & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\ b_1 & a_2 & a_1 & \cdots & 0 \\ b_2 & a_4 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n-1} & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix} \tag{8} Nn= b0b1b2bn1a0a2a400a1a30000an (8) N n N_n Nn只是把 D n D_n Dn中的第一列替换成了 b i b_i bi

例:设系统的传递函数为
W ( s ) = K T s + 1 W({\rm s}) = \frac{K}{T {\rm s} +1} W(s)=Ts+1K输入信号的频谱密度为
S u ( ω ) = D u α 2 + ω 2 S_u (\omega) = \frac{D_u}{\alpha^2 + \omega^2} Su(ω)=α2+ω2Du计算该系统的均方差。
首先得到系统误差的传函:
Φ e ( s ) = 1 1 + W ( s ) = T s + 1 T s + 1 + K \Phi_e ({\rm s}) = \frac{1}{1 + W( {\rm s})} = \frac{T{\rm s} +1}{T{\rm s} + 1 + K} Φe(s)=1+W(s)1=Ts+1+KTs+1代入式(1)计算误差的频谱密度
S e ( ω ) = ∣ Φ e ( j ω ) ∣ 2 S u ( ω ) = ∣ T ( j ω ) + 1 T ( j ω ) + 1 + K ∣ 2 D u α 2 + ω 2 = D u ( T 2 ω 2 + 1 ) ∣ ( T ( j ω ) + 1 + K ) ( j ω + α ) ∣ 2 = D u ( T 2 ω 2 + 1 ) ∣ T ( j ω ) 2 + ( α T + 1 + K ) j ω + ( 1 + K ) α ∣ 2 \begin{aligned} S_e (\omega) &= \left| \Phi_e (j \omega) \right|^2 S_u (\omega) = \left| \frac{T(j \omega) +1}{T(j \omega) + 1 + K} \right|^2 \frac{D_u}{\alpha^2 + \omega^2} \\ &= \frac{D_u \left( T^2 \omega^2 + 1\right) }{ \left| \left( T( j\omega) + 1 + K \right) \left( j\omega + \alpha \right) \right|^2 } \\ &= \frac{D_u \left( T^2 \omega^2 + 1 \right) }{ \left| T(j\omega)^2 + \left( \alpha T + 1 +K \right) j\omega + (1 + K) \alpha \right|^2 } \end{aligned} Se(ω)=Φe()2Su(ω)= T()+1+KT()+1 2α2+ω2Du=(T()+1+K)(+α)2Du(T2ω2+1)=T()2+(αT+1+K)+(1+K)α2Du(T2ω2+1)均方差为(类比统计动力学笔记(二)频谱密度与线性随机系统的动态准确性(自留用)一文式(5)):
e 2 ‾ = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S e ( ω ) d ω = D u I 2 \overline{e^2} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S_e (\omega) {\rm d} \omega = D_u I_2 e2=2π1Se(ω)dω=DuI2其中
I 2 = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( T 2 ω 2 + 1 ) d ω ∣ T ( j ω ) 2 + ( α T + 1 + K ) j ω + ( 1 + K ) α ∣ 2 I_2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty \frac{ \left( T^2 \omega^2 + 1 \right) {\rm d} \omega }{ \left| T(j\omega)^2 + \left( \alpha T + 1 +K \right) j\omega + (1 + K) \alpha \right|^2 } I2=2π1T()2+(αT+1+K)+(1+K)α2(T2ω2+1)dω可见
G 2 ( j ω ) = T 2 ⏟ b 0 ω 2 + 1 ⏟ b 1 , G_2 (j\omega) = \underbrace{T^2}_{b_0} \omega^2 + \underbrace{1}_{b_1}, G2()=b0 T2ω2+b1 1, H 2 ( j ω ) = T ⏟ a 0 ( j ω ) 2 + ( α T + 1 + K ) ⏟ a 1 j ω + ( 1 + K ) α ⏟ a 2 H_2 (j\omega) = \underbrace{T}_{a_0} (j\omega)^2 + \underbrace{\left( \alpha T + 1 +K \right)}_{a_1} j\omega + \underbrace{(1 + K) \alpha}_{a_2} H2()=a0 T()2+a1 (αT+1+K)+a2 (1+K)α计算两个行列式
D 2 = ∣ a 1 a 0 a 3 a 2 ∣ = ∣ α T + 1 + K T 0 ( 1 + K ) α ∣ = α ( α T + 1 + K ) ( 1 + K ) , D_2 = \begin{vmatrix} a_1 & a_0 \\ a_3 & a_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha T + 1 +K & T \\ 0 & (1 + K) \alpha \end{vmatrix} = \alpha \left( \alpha T + 1 +K \right) (1 + K), D2= a1a3a0a2 = αT+1+K0T(1+K)α =α(αT+1+K)(1+K), N 2 = ∣ b 0 a 0 b 1 a 2 ∣ = ∣ T 2 T 1 ( 1 + K ) α ∣ = α T 2 ( 1 + K ) − T N_2 = \begin{vmatrix} b_0 & a_0 \\ b_1 & a_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} T^2 & T \\ 1 & (1 + K) \alpha \end{vmatrix} = \alpha T^2 (1 + K) - T N2= b0b1a0a2 = T21T(1+K)α =αT2(1+K)T
I 2 = ( − 1 ) 2 + 1 N 2 2 a 0 D 2 = − α T 2 ( 1 + K ) − T 2 T α ( α T + 1 + K ) ( 1 + K ) I_2 = (-1) ^{2+1} \frac{N_2}{2a_0 D_2} = - \frac{ \alpha T^2 (1 + K) - T }{2 T \alpha \left( \alpha T + 1 +K \right) (1 + K) } I2=(1)2+12a0D2N2=2Tα(αT+1+K)(1+K)αT2(1+K)T
e 2 ‾ = D u I 2 = D u [ T − α T 2 ( 1 + K ) ] 2 T α ( α T + 1 + K ) ( 1 + K ) = D u [ 1 − α T ( 1 + K ) ] 2 α ( α T + 1 + K ) ( 1 + K ) \overline{e^2} = D_u I_2 = \frac{ D_u \left[ T - \alpha T^2 (1 + K) \right] }{2 T \alpha \left( \alpha T + 1 +K \right) (1 + K) } = \frac{ D_u \left[ 1 - \alpha T (1 + K) \right] }{2 \alpha \left( \alpha T + 1 +K \right) (1 + K) } e2=DuI2=2Tα(αT+1+K)(1+K)Du[TαT2(1+K)]=2α(αT+1+K)(1+K)Du[1αT(1+K)]故均方差为
e 2 ‾ = D u [ 1 − α T ( 1 + K ) ] 2 α ( α T + 1 + K ) ( 1 + K ) \sqrt{\overline{e^2}} = \sqrt{ \frac{ D_u \left[ 1 - \alpha T (1 + K) \right] }{2 \alpha \left( \alpha T + 1 +K \right) (1 + K) } } e2 =2α(αT+1+K)(1+K)Du[1αT(1+K)] 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-675134.html

到了这里,关于统计动力学笔记(三)整波滤波器(自留用)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 机器人动力学与控制学习笔记(十七)——基于名义模型的机器人滑模控制

            滑模运动包括趋近运动和滑模运动两个过程。系统从任意初始状态趋向切换面,直到到达切换面的运动称为趋近运动,即趋近运动为的过程。根据滑模变结构原理,滑模可达性条件仅保证由状态空间任意位置运动点在有限时间内到达切换面的要求,而对于趋近运动的

    2024年02月12日
    浏览(48)
  • 机器人学基础(3)-动力学分析和力-拉格朗日力学、机器人动力学方程建立、多自由度机器人的动力学方程建立

    本章节主要包括拉格朗日力学、拉格朗日函数及建立求解、多自由度机器人的动力学方程、机器人的静力分析、坐标系间力和力矩的变换,主要结合例题进行掌握理解 动力学分析是为了研究机器人应该以多大力进行驱动,虽然根据运动学方程+微分运动可以得到机器人的位置

    2024年02月05日
    浏览(64)
  • 自动驾驶——车辆动力学模型

    A矩阵离散化 B矩阵离散化 反馈计算 前馈计算: 超前滞后反馈:steer_angle_feedback_augment 参考【运动控制】Apollo6.0的leadlag_controller解析 控制误差计算 横向距离误差计算 横向误差变化率计算 航向角误差计算 航向角误差变化率计算 参考:Apollo代码学习(三)—车辆动力学模型

    2024年02月12日
    浏览(57)
  • 盐构造发育的动力学机制

    盐构造可以由以下6 种机制触发引起(图 2)[18] :①浮力作用;②差异负载作用;③重力扩张作 用;④热对流作用;⑤挤压作用;⑥伸展作用。盐体 的塑性流动和非常规变形是盐构造的主要特点,岩 盐有时在几百m 深处就可以流动,这主要与盐的纯度、地温梯度和盐的干湿度等因

    2024年02月20日
    浏览(51)
  • 自动驾驶控制算法——车辆动力学模型

    考虑车辆 y 方向和绕 z 轴的旋转,可以得到车辆2自由度模型,如下图: m a y = F y f + F y r (2.1) ma_y = F_{yf} + F_{yr} tag{2.1} m a y ​ = F y f ​ + F yr ​ ( 2.1 ) I z ψ ¨ = l f F y f − l r F y r (2.2) I_zddotpsi = l_fF_{yf} - l_rF_{yr} tag{2.2} I z ​ ψ ¨ ​ = l f ​ F y f ​ − l r ​ F yr ​ ( 2.2 ) 经验公

    2024年01月18日
    浏览(58)
  • 旋翼无人机建模动力学公式整理

    C_T为升力系数,C_M为扭力系数,w为螺旋桨的转速 如果是‘十’字型的飞机 x,y,z轴的力矩为: d是机体中心到每个螺旋桨的距离,b是一个系数; f=Ct*W^2,Ct——升力系数,W——螺旋桨的转速 惯量矩阵为: 四个电机产生的力f1,f2,f3,f4,如果我们假设z轴向上为正,可以得到:

    2024年04月29日
    浏览(58)
  • 车辆运动学和动力学模型概述

    对车辆建立数字化模型,分为车辆运动学和动力学模型。 车辆运动学模型(Kinematic Model )把车辆完全视为刚体,主要考虑车辆的位姿(位置坐标、航向角)、速度、前轮转角等的关系,不考虑任何力的影响。 1.前提假设: 不考虑Z轴方向运动,默认车在二维平面上的运动 假设

    2024年02月13日
    浏览(51)
  • 观点动力学模型:主要理论与模型综述

    意见动态建模 1 n 1_n 1 n ​ :表示n维全为1的列向量 0 n 0_n 0 n ​ :表示n维全为0的列向量 I n I_n I n ​ :表示 n × n ntimes n n × n 的单位阵 e i e_i e i ​ :表示基单位向量,向量中除了第i个位置上为1外其余都为0 矩阵A为非负矩阵,意味着着其中所有的元素 a i j ≥ 0 a_{ij}≥0 a i

    2024年02月09日
    浏览(59)
  • 血流动力学与血压(一)--平均动脉压

      上图表示了心脏泵血循环和一个简单的电路的相似程度,图(a)表示了一个简单的电路,V1-V2是在电阻两点的电势差,I是流经电阻的电流,R是电阻的阻值。类比于图(a),图(b)中的 SVR(systemic vascular resistance) 表示的的是全身血管阻抗,P1-P2表示的是体循环两个端点之间的血压

    2024年02月10日
    浏览(46)
  • IK(反向动力学)简单原理与实现

    反向运动学 (IK) 是一种设置动画的方法,它翻转链操纵的方向。它是从叶子而不是根开始进行工作的。 要了解 IK 是如何进行工作的,首先必须了解 层次链接 和正向运动学的原则。 简单演示 现在举个手臂的例子。要设置使用正向运动学的手臂的动画,可以旋转大臂使它移离

    2023年04月09日
    浏览(48)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包