❓剑指 Offer 51. 数组中的逆序对
难度:困难
在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数。
示例 1:
输入: [7,5,6,4]
输出: 5
限制:
0 <= 数组长度 <= 50000
💡思路:归并排序
预备知识
「归并排序」是用分治思想,分治模式在每一层递归上有三个步骤:
-
分解(Divide):将
n
个元素分成个含n/2
个元素的子序列。 - 解决(Conquer):用 合并排序法 对两个子序列递归的排序。
- 合并(Combine):合并两个已排序的子序列已得到排序结果。
具体的我们以一组无序数列{14,12,15,13,11,16}
为例分解说明,如下图所示:
在待排序序列长度为 1
的时候,递归开始「回升」,因为我们默认长度为 1
的序列是排好序的。
具体思路:
那么求逆序对和归并排序又有什么关系呢?关键就在于「归并」当中「并」的过程。
合并阶段 本质上是 合并两个排序数组 的过程:
- 每当遇到
左子数组当前元素
>
右子数组当前元素
时,意味着- 「
左子数组当前元素i 至 末尾元素m
」 与 「右子数组当前元素
」 构成了若干 「逆序对
」 ; - 逆序对数
cnts
+=(m - i + 1)
。
- 「
- 考虑在归并排序的合并阶段统计「逆序对」数量,完成归并排序时,也随之完成所有逆序对的统计。
🍁代码:(C++、Java)
C++
class Solution {
private:
int cnts = 0;
void mergeSort(vector<int>& nums, vector<int>& tmp, int l, int h){
if(h - l < 1) return;
//分解
int m = l + (h - l) / 2;
mergeSort(nums, tmp, l, m);
mergeSort(nums, tmp, m + 1, h);
//解决 + 合并
int k = l, i = l, j = m + 1;
while(i <= m || j <= h){
if(i > m) tmp[k++] = nums[j++];
else if(j > h || nums[i] <= nums[j]) tmp[k++] = nums[i++];
else{//此时i~m对应数组中的数都比nums[j]大
tmp[k++] = nums[j++];
cnts += (m - i + 1);
}
}
for(k = l; k <= h; k++){
nums[k] = tmp[k];
}
}
public:
int reversePairs(vector<int>& nums) {
vector<int> tmp(nums.size());//辅助数组,临时记录中间合并的子数组
mergeSort(nums, tmp, 0, nums.size() - 1);
return cnts;
}
};
Java
class Solution {
private int cnts = 0;
private void mergeSort(int[] nums, int[] tmp, int l, int h){
if(h - l < 1) return;
//分解
int m = l + (h - l) / 2;
mergeSort(nums, tmp, l, m);
mergeSort(nums, tmp, m + 1, h);
//解决 + 合并
int k = l, i = l, j = m + 1;
while(i <= m || j <= h){
if(i > m) tmp[k++] = nums[j++];
else if(j > h || nums[i] <= nums[j]) tmp[k++] = nums[i++];
else{//此时i~m对应数组中的数都比nums[j]大
tmp[k++] = nums[j++];
cnts += (m - i + 1);
}
}
for(k = l; k <= h; k++){
nums[k] = tmp[k];
}
}
public int reversePairs(int[] nums) {
int[] tmp = new int[nums.length];//辅助数组,临时记录中间合并的子数组
mergeSort(nums, tmp, 0, nums.length - 1);
return cnts;
}
}
🚀 运行结果:
🕔 复杂度分析:
-
时间复杂度:
O
(
n
l
o
g
n
)
O(nlogn)
O(nlogn),其中
n
为数组的长度,同归并排序 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。 - 空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n),归并排序需要用到一个临时数组。
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