5 空间的同构
下面再谈谈同构。线性空间千千万，应如何研究呢？同构就是这样一个强大的概念，任何维数相同的线性空间之间是同构的，空间的维数是简单而深刻的，简单的自然数居然能够刻画空间最本质的性质。借助于同构，要研究任意一个n维线性空间，只要研究Rⁿ就行了。
n维线性空间作为一个整体，我们自然想到能不能先研究它的局部性质？所以自然而然的导出了子空间的概念以及整个空间的直和分解。直和分解要求把整个空间分解为两两不交的子空间之和，通过研究各个简单的子空间的性质，从而得出整个空间的性质。
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6 求最简矩阵
然而一个线性映射的矩阵在标准正交基下可能特别复杂，所以需要选择一组特殊的基，让它的矩阵在这个基下有最简单的矩阵表示。如果存在这样的基，使得线性映射的矩阵为对角矩阵，则称这个线性映射可对角化。
然而是不是所有线性映射都可以对角化呢，遗憾的是，并不是。那么就要问，如果一个线性映射不能对角化，那么它的最简矩阵是什么？这个问题的答案是若尔当标准型。可以证明，在复数域上，任何线性映射都存在唯一的若尔当标准型。
1 线性代数的内在逻辑脉络
1.1 逻辑脉络1 （主线？）
向量的维度
向量组的秩，和维度相关。
向量组的秩是向量组的最大线性无关组
1.2 逻辑脉络2（主线？）
比如，如果有一种矩阵，线性变换后，仍然共线，那么这种矩阵就可以求特征值和特征向量
那怎么求呢，就是用定义求
然后这些矩阵可以求矩阵的N次方 A^n ，但是n比较大了计算就比较复杂
然后就想到，如果把A转成对角矩阵就会比较简单λ
λ其实就是[λ,0;0,λ] , 那么A=λ*P，这样就把A转化为对角矩阵了
这样由矩阵A的特征值构成的矩阵，这样求A^n就快了
但是还有一个问题
AP=PA
A=PλP-
但是P-不好求
但是如果P是一个正交矩阵，就Pt=P-就很好求了
A=PλPt
因此我们要学会怎么让矩阵正交化，施密特正交化方法等等
2 线性代数的知识和其他知识的对应（换一个角度看世界）
向量，矩阵的线性代数知识和其他知识的对应
向量和矩阵的几何表示
行列式，面积的变化比
向量的长度模
向量的正交，就是垂直，但这里定义为内积=0，其实是另外一种垂直的定义方法
向量的加减乘除
加法，减法，就是向量线段的三角形法则
乘法的点乘、、
乘法的叉乘
向量的点乘
向量的叉乘，
向量的叉乘直接就是面积公式
角度公式
好像也可以用向量的方法来求
3 数学/线性代数里，其实很多东西的求得都有多种解决办法
很多概念，界定狠清晰，但是不好求
多种方法，拓宽思维
方法1：按定义直接去求解
方法2：按
2 比如求逆矩阵
概念方法，线性变化
增广矩阵
其他方法
分块矩阵
伴随矩阵
|A|=0
3 求矩阵的秩
4 求方程组的解的好方法
直接可以用行列式的方法求解啊
1.2 有没有其他方法呢？有：比如2阶行列式方法
因为二阶行列式的公式求值如下
所以二元方程组的求解也可以用行列式写成
1.3 3阶行列式
- 如果 |A|≠0 ,则，矩阵A满秩，矩阵A可逆
3.3 行列式的意义和作用呢？
- 作用1：快速解出，多元方程组的解
- 作用2：通过矩阵的余子式的转置等计算，矩阵的逆矩阵
3.4 行列式的结果（是1个标量）的作用
行列数的值代表 有向面积的变化率/变化倍数
行列式的值（结构）的作用
|A| =|AT| 矩阵和对应转置矩阵的行列式相等
如果 |A|≠0 ,则，矩阵A满秩，矩阵A可逆
如果 |A|=0 ，那么就是说至少有两个向量在变换之后，共线了。参考[1,1;1,1] 矩阵的效果
如果 |A|>0 ，正值表示方向相同
如果 |A|<0 ，负值代表着翻面了，方向相反，相对位置发生了调换
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定理
有解的判断
- 对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵A和秩 = 增广矩阵B（B=A|b）的秩，也就是rank(A) =rank(B)那么就有解
- Ax=y
- 矩阵Am*n， 而Xn*1=[x1,x2....xn] ，bm*1=[b1,b2....bm]
- rank(x) =n 单个一维向量，不存在线性相关问题，所以 n 代表定义域X的秩
- rank(b)=m 单个一维向量，不存在线性相关问题
- 因此，A的零空间 rank(A)<=min(m,n) ,rank(A) 代表值域的秩，因为值域 rank(b)=m其实被rank(A) 所决定。但是值域的秩，为啥不直接用 rank(b) 呢？
- 而 rank(null(A)) 实际就是 rank(Ax=0），所以 rank(null(A))<=min(m,n)
解的个数的判断
- 对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵A和秩 = 增广矩阵B（B=A|b）的秩，并且
- 如果A是m*n的矩阵，其中n是X的秩。
- m，n 的相对大小不定，m (> or < or =) n
- rank(A) =rank(A|b)=n (n=rank(X)=A满秩时列向量个数) ，就有唯一解
- rank(A) =rank(A|b)<n (n=rank(X)=A满秩时列向量个数)，就有无数解
满秩矩阵有唯一解
定理
有解的判断
对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵A和秩 = 增广矩阵B（B=A|b）的秩，也就是rank(A) =rank(B)那么就有解
解的个数的判断
对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵A和秩 = 增广矩阵B（B=A|b）的秩，并且
如果A是m*n的矩阵，其中n是A的列向量的个数。
rank(A) =rank(B)=n (A的列向量的个数) ，就有唯一解
rank(A) =rank(B)<n (A的列向量的个数) ，就有无数解
满秩矩阵有唯一解
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7 秩零定理
- Ax=y
- 矩阵Am*n， 而Xn*1=[x1,x2....xn] ，bm*1=[b1,b2....bm]
- rank(x) =n 单个一维向量，不存在线性相关问题，所以 n 代表定义域X的秩
- rank(b)=m 单个一维向量，不存在线性相关问题
- 因此，A的零空间 rank(A)<=min(m,n) ,rank(A) 代表值域的秩，因为值域 rank(b)=m其实被rank(A) 所决定。但是值域的秩，为啥不直接用 rank(b) 呢？
- 而 rank(null(A)) 实际就是 rank(Ax=0），所以 rank(null(A))<=min(m,n)
形式1
- rank(值域)+rank(null(A)) = rank(定义域)
- rank(A)+rank(null(A))=n
形式2
7 秩零定理
对于矩阵Am*n，其中n 是A的列向量个数
形式1
rank(值域)+rank(null(A)) = rank(定义域)
rank(A)+rank(null(A))=n
形式2
rank(定义域)>=rank(值域)
rank(定义域)--rank(null(A))=rank(值域)
n-rank(null(A))=rank(A)
8 其他知识点
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