数学建模2019B “同心协力”策略研究-Toy模板网

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第一问

1.球的运动

两个假设条件：一、忽略阻力。二、视鼓面为平面。

设 $z_b(t)$ 为球在 $t$ 时刻的位置、 $v_{b1}$ 为球的初始速度、 $m_b$ 、 $m_d$ 分别为球与鼓的质量。

根据牛顿第二定理和球的初始条件，可联立方程组：

$\left\{ \begin{aligned} m_b\frac{d^2z_b}{dt^2} = -m_bg\\ z_b(0) = 0\\ z_b'(0) = v_{b1} \end{aligned} \right.\tag{1}$

解得：

$\left\{ \begin{aligned} z_b(t) = v_{b1} - \frac{1}{2}gt^2\\ z_b'(t) = v_{b1} - gt \end{aligned} \right.\tag{2}$

到达最高点所需的时间为： $t_b = \frac{v_{b1}}{g}$

到达的最大高度为： $h_b=\frac{v_{b1}^2}{2g}$

从给定高度 $h_b$ 处下落到鼓上并反弹后的速度为： $v_{b1} = \sqrt{2gh_b}$

到达鼓面时的速度为： $v_{b0} = -v_{b1} = -\sqrt{2gh_b}$

2.鼓与球的碰撞

设 $m_b$ 、 $v_{b0}$ 、 $v_{b1}$ 、 $m_d$ 、 $v_{d0}$ 、 $v_{d1}$ 分别为球的质量、球与鼓碰撞前的球的速度、球与鼓碰撞后球的速度、鼓的质量、球与鼓碰撞前的鼓的速度、球与鼓碰撞后鼓的速度。

根据动量守恒与动能守恒定理可列出以下方程：

$\left\{ \begin{aligned} m_bv_{b0} + m_dv_{d0} = m_bv_{b1} + m_dv_{d1}\\ \frac{1}{2}m_bv_{b0}^2+\frac{1}{2}m_dv_{d0}^2 = \frac{1}{2}m_bv_{b1}^2+\frac{1}{2}m_dv_{d1}^2 \end{aligned} \right.\tag{3}$

解得：
$\left\{ \begin{aligned} v_{b1} = \frac{(m_b - m_d)v_{b0} + 2m_dv_{d0}}{m_b + m_d}\\ v_{d1} = \frac{(m_d - m_b)v_{d0} + 2m_bv_{b0}}{m_b + m_d} \end{aligned} \right.\tag{4}$

已知当球从 $h_b$ 处落下时，球碰撞前速度为： $v_{b0} = \sqrt{2gh_b}$

要让球碰撞后反弹至原来的高度，鼓碰撞前的速度应为： $v_{d0} = \frac{m_b}{m_d}\cdot \sqrt{2gh}$

3.鼓的运动

记共有 $n$ 个队员，第 $j$ 个队员顺着绳子的拉力为 $F_j$ ，其垂直分量为 $F_{vj}$ 、水平分量为 $F_{hj}$ 。

我们假设每个队员拉力大小方向都一样。

则：

$\sum_{i=1}^nF_{hj} = 0$

记 $F_v = F_{vj}$

则所有队员的拉力和为 $n F v$

记 $z_d(t)$ 为 $t$ 时刻鼓的位置、 $h_d$ 为鼓初始位置。

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由上图可知： $F_v = F\sin{\theta}=-F\frac{z}{l}$

再根据牛顿第二定理和鼓运动的初始条件即可联立以下方程组：

$\left\{ \begin{aligned} m_d\frac{d^2z_d}{dt^2} = nF_v - m_dg\\ z_d(0) = -h_d\\ z_d'(0) = 0 \end{aligned} \right.\tag{5}$

解得：
$\left\{ \begin{aligned} z_d(t) = (\frac{lgm_d}{nF} - h_d)\cos(\sqrt{\frac{nF}{m_dl}}t) - \frac{lgm_d}{nF}\\ z_d'(t) = \sqrt{\frac{nF}{m_dl}}(h_d - \frac{lgm_d}{nF})sin(\sqrt{\frac{nF}{m_dl}}t) \end{aligned} \right.\tag{5}$