微积分基本概念

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微分

函数的微分是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。。对于函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 的微分记作:
d y = f ′ ( x ) d x d_y = f^{'}(x)d_x dy=f(x)dx
微分和导数的区别在于:导数是曲线在那个点的切线斜率,而微分是那个切线的一元线性方程。
微分的几何意义:是用局部切线段近似代替曲线段,即非线性函数局部线性化。

积分

积分可以分为定积分不定积分两种。

定积分

对于函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [a,b] 上定积分记作:
∫ b a f ( x ) d x \int^{a}_{b}f(x)d_x baf(x)dx
其几何意义为函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间[a,b]上的覆盖面积,如下图:
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不定积分

不定积分是导数的逆运算,即反导数。当 f f f F F F的导数时,则 F F F f f f的不定积分。常用公式如下:

  • ∫ a d x = a x + C \int ad_x = ax + C adx=ax+C
  • ∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C \int x^{a}d_x = {1\over a+1}x^{a+1} + C xadx=a+11xa+1+C
  • ∫ 1 x = l n ∣ x ∣ + C \int {1 \over x} = ln|x| + C x1=lnx+C
  • ∫ a x d x = a x l n a + C \int {a^xdx} = {a^x\over lna} + C axdx=lnaax+C
  • ∫ s i n   x   d x = − c o s   x + C \int sin\ x\ dx = -cos\ x + C sin x dx=cos x+C
  • ∫ c o s   x   d x = s i n   x + C \int cos\ x\ dx = sin\ x + C cos x dx=sin x+C
  • ∫ t a n   x   d x = − l n ∣ c o s   x ∣ + C \int tan\ x\ dx = -ln|cos\ x| + C tan x dx=lncos x+C

泰勒公式

用多项式拟合原函数:
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + . . . f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + {f^{''}(x_0) \over 2!}(x - x_0)^2 + ... + {f^{n}(x_0) \over n!}(x - x_0)^n + ... f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+2!f′′(x0)(xx0)2+...+n!fn(x0)(xx0)n+...

几何分析

如下内容来自如何通俗地解释泰勒公式?,因为在 x 0 x_0 x0点的任意阶导数都为常数,暂且不管,对于幂函数有如下特点:
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多个幂函数相加:
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增加阶乘后效果如下:
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通过改变系数,多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线,对于 e ( x ) e(x) e(x)拟合:
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