LA@向量组间的表示关系-Toy模板网

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2个向量组间的表示关系

向量组的相互表出

设有两个同维向量组 $A:\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ , ${B}:\beta_1,\cdots,\beta_{t}$
若 $\beta_1,\cdots,\beta_t$ 都可以被 $A$ 线性表示,则称向量组 ${B}$ 可以由 $A$ 线性表示

向量组用另一个向量组表示👺

若 $B$ 可以由 $A$ 线性表示,则对 $B$ 的每个向量 $\beta_j(j=1,2,\cdots,t)$ 存在 $s$ 维向量 $K_j=(k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{sj})^T$ 使得:
- $\beta_j$ = $\sum\limits_{i=1}^{s}k_{ij}\alpha_i$ = $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)(k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{sj})^T$ ; $(j=1,2,\cdots,t)$
- 这种表出关系中涉及两个向量组 $A, B$ ,分别是表示向量组和被表示向量组

线性表示的系数矩阵

根据分块矩阵乘法 $(AB_1,AB_2,\cdots,AB_s)$ = $A(B_1,B_2,\cdots,B_s)$ 有:
- $(\beta_1,\cdots,\beta_t) =(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) \begin{pmatrix} k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1t}\\ k_{21}&k_{22}&\cdots&k_{st}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ k_{s1}&k_{s2}&\cdots&k_{st} \end{pmatrix}$
- 其中矩阵 $K_{s\times{t}}=(k_{ij})$ 称为 $A$ 线性表示 ${B}$ 的系数矩阵

矩阵乘法与线性表出

若 $C_{m\times{n}}$ = $A_{m\times{l}}B_{l\times{n}}$ ,则

列向量组线性表示

$C$ 的列向量组能够由矩阵 $A$ 的列向量组线性表示,且 $B$ 为这一表示的系数矩阵:
- $(\bold{c}_1,\bold{c}_2,\cdots,\bold{c}_n) =(\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_l) \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_{l1}&b_{l2}&\cdots&b_{ln} \end{pmatrix}$

行向量组线性表示

同时 $C$ 的行向量组能由 $B$ 的行向量组线性表示,且 $A$ 为这一表示的系数矩阵
- $\begin{pmatrix} \gamma_1^T\\ \gamma_2^T\\ \vdots\\ \gamma_m^T \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1l}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2l}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{ml}&a_{m2}&\cdots&a_{ml} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1^T\\ \beta_2^T\\ \vdots\\ \beta_l^T \end{pmatrix}$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-678032.html
  - $\gamma_{i}^T$ = $\sum_{k=1}^{l}a_{ik}\beta_{k}^T$ , $i=1,2\cdots,m$

向量组等价👺

若两个向量组 $A$ 和 $B$ 可以相互线性表示,则称 $A, B$ 两个向量组等价记为 $A\cong{B}$
- 若两个向量组 $B$ 可通过 $A$ 中的向量调整顺序得到,则显然地 $A, B$ 可以相互线性表出(表出系数为全1向量),同时有 $B\cong{A}$
- 若 $B$ 是 $A$ 的一个部分组,则 $B$ 显然可以被 $A$ 线性表示,表出系数为仅包含 $0, 1$ 的向量

向量组等价的性质

反身性:每个向量组和自身等价 $A\cong A$
对称性: $A\cong{B}\Rightarrow{{B}\cong{A}}$
传递性: $A\cong{B},{B}\cong{C}\Rightarrow{A\cong{C}}$

推论

若 $A = B$ ,则

等价矩阵与向量组等价的关系

行等价矩阵的行向量组等价

设矩阵 $A\overset{r}{\sim}{B}$ ,即矩阵 $A$ 经过初等行变换可以变成矩阵 $B$ ,即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P A$ ;
由矩阵乘法和线性表示的关系, $B$ 的行向量组可以被 $A$ 的行向量组线性,且表示系数矩阵 $P$
反之 $P^{-1}B=A$ ,所以 $A$ 的行向量组可以被 $B$ 的行向量组线性表示,且表示系数矩阵为 $P^{-1}$
可见 $A, B$ 可以相互表示,从而 $A, B$ ;两个向量组等价 $(A\cong{B})$

列等价矩阵的列向量组

类似的,若 $A\overset{c}{\sim}B$ ,则 $A\cong{B}$

小结

若 $\bold{A}\sim{\bold{B}}$ ,则 $A\cong{B}$
但是逆命题不成立,因为对于 $C = B A$ , $A, B$ 不一定是可逆矩阵

向量组等价和矩阵等价的比较🎈

向量组等价在于相互表示
矩阵等价在于可以通过初等变换相互转换

概念迁移:线性方程组之间的等价

向量组的**"线性组合**,线性表示以及等价"等概念可以迁移到线性方程组上

方程组的线性组合

线性方程组中的线性方程对应于一个行向量
对方程组 $A$ 的各个方程作线性运算得到的新方程称为"方程组 $A$ 的一个线性组合"

方程组被另一个方程组线性表示

若方程组 $B$ 的每个方程都是方程组 $A$ 的线性组合,则称方程组 $B$ 能由方程组 $A$ 线性表示

方程组等价

若方程组 $A, B$ 能相互线性表示,则 $A, B$ 可以互推,可互推的线性方程组相也称它们等价

线性方程组同解问题

方程组 $A$ 的解一定是方程组 $B$ 的解,反之则不一定成立(方程组 $B$ 的部分解和方程组 $A$ 的解重合)
- $A$ 是 $B$ 的充分条件, $B$ 是 $A$ 的必要条件,这也说明, $A$ 的解一定满足 $B$ ,但是 $B$ 的解可能仅满足 $A$ 的部分条件
可互推的线性线性方程组一定是同解的

向量组可被另一个向量组线性表示判定定理👺

分析

以列向量组为例讨论;行向量组类似有相同的结论
向量组 $B:\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l$ 能由向量组 $A:\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m$ 线性表示,其含义是存在矩阵 $K_{m\times{l}}$ ,使得 $(\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l)$ = $(\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m)K$ 成立
也是矩阵方程 $(\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m)\bold{X}$ = $(\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l)$ 有解, $X$ 就是 $B$ 线性表示 $A$ 的表示系数矩阵
- 记 $\bold{A}$ = $(\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m)$ ; $\bold{B}=(\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l)$ ,矩阵方程作 $\bold{AX=B}$
- 则 $R(\bold{A})=R(\bold{A},\bold{B})$ 是方程有解的充要条件

定理👺

向量组 $B:\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l$ 能由向量组 $A:\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m$ 线性表示的充要条件是矩阵 $R(\bold{A})=R(\bold{A},\bold{B})$
- 对于行向量组,相当于判定 $B = X A$ 是否有解,这个问题可以转换为列向量组,即利用转置运算转换为 $B^T=A^TX^T$ ,而判定条件 $R(\bold{A^T})=R(\bold{A^T,B^T})$ ,等价于 $R(\bold{A})=R(\bold{A},\bold{B})$

推论:两向量组等价的充要条件

由上述定理:
- 向量组 $A$ 能由 $B$ 线性表示,则 $R(\bold{A})=R(\bold{A,B})$
- 向量组 $B$ 能由 $A$ 线性表示,则 $R(\bold{B})=R(\bold{B,A})$
此外由初等列变换中的列交换有 $(\bold{A,B})\overset{c}{\sim}\bold{(B,A)}$ ,所以 $R(\bold{A,B})$ = $R(\bold{B,A})$
两向量组 $A, B$ 等价的充要条件是 $R(\bold{A})=R(\bold{B})=R(\bold{A,B})$

向量组的矩阵秩间关系👺

设向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示,则 $R(\bold{B})\leqslant{R(\bold{A})}$
证明:
- 由于 $B$ 能被 $A$ 线性表示,则 $R(\bold{A})=R(\bold{A,B})$
- 又由分块矩阵秩的性质: $R(\bold{B})\leqslant{R(\bold{A,B})}$
- 所以 $R(\bold{B})\leqslant{R(\bold{A})}$
结论表明,被表示向量组的矩阵的秩小等于表示向量组的矩阵的秩
形象的理解该结论 $: B$ 能够被 $A$ 表示(代替掉),说明 $B$ 的内涵(秩)不超过 $A$

矩阵方法

用矩阵来表述问题,并通过矩阵的运算结局问题的方法通常叫做矩阵方法,是线性代数的基本方法
例如,将向量组的问题表述称矩阵形式,通过矩阵的运算来得出结果,在把矩阵形式的结果翻译成几何语言问题的结论
以下三种表述是对应等价的
- 向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示(几何语言)
- 存在矩阵 $\bold{K}$ ,使得 $\bold{B=AK}$ (矩阵语言)
- 方程 $\bold{AX=B}$ 有解(矩阵语言)

n维单位坐标向量

$n$ 阶单位矩阵 $\bold{E}_n$ = $(\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_n)$ 的列向量称为** $n$ 维单位坐标向量**
设 $n$ 维向量组 $A:\bold{a_1},\cdots,\bold{a_m}$ 构成 $n\times{m}$ 矩阵 $\bold{A}$ ;易知 $R(\bold{A})\leqslant{n}$
结论: $n$ 维单位坐标向量 $E_n:\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_n$ 都能由向量组 $A$ 线性表示的充要条件是 $R(\bold{A})=n$ (几何语言描述,描述中不直接涉及矩阵运算)
证明: $E_n$ 能被 $A$ 线性表示,则 $\bold{E=AX}$ 有解
- 等价于: $R(\bold{A})=R(\bold{A,E})$ ;
- 而 $R(\bold{A,E})\geqslant{R(\bold E)=n}$ , $(\bold{A,E})$ 仅有 $n$ 行,即 $R(\bold{A,E})\leqslant{n}$ ;综上 $R(\bold{A,E})=n$ ,
- 所以: $R(\bold{A})$ = $n$
结论用矩阵语言描述(描述中包含矩阵运算):对矩阵 $\bold{A}_{n\times{m}}$ ,存在矩阵 $\bold{K}_{m\times{n}}$ ,使得 $\bold{AK}=\bold{E}_n$ 的充要条件是 $R(\bold{A})=n$
- 或 $\bold{AX}=\bold{E}_n$ 有解的充要条件是 $R(\bold{A})=n$