玩转线性代数(38)二次型概念、合同矩阵与合同变换的笔记，相关证明以及例子见原文
二次型相关概念
二次型
含有n个变量
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
x_1,x_2,...x_n
x1,x2,...xn的二次齐次函数:
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
=
a
11
x
1
2
+
a
22
x
2
2
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
2
+
2
a
12
x
1
x
2
+
2
a
13
x
1
x
3
+
.
.
.
+
2
a
n
−
1
,
n
x
n
−
1
x
n
f(x_1,x_2,...x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n
f(x1,x2,...xn)=a11x12+a22x22+...+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+...+2an−1,nxn−1xn
称为二次型。
二次型的标准形和规范形
f
=
k
1
y
1
2
+
k
2
y
2
2
+
.
.
.
+
k
n
y
n
2
f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+...+k_ny_n^2
f=k1y12+k2y22+...+knyn2
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形。
如果二次型的标准形形如：
f
=
y
1
2
+
.
.
.
+
y
p
2
−
y
p
+
1
2
−
.
.
.
−
y
r
2
f = y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2
f=y12+...+yp2−yp+12−...−yr2
即系数只有-1,1,0三个取值，称为二次型的规范形。
表示形式
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
=
a
11
x
1
2
+
a
22
x
2
2
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
2
+
2
a
12
x
1
x
2
+
2
a
13
x
1
x
3
+
.
.
.
+
2
a
n
−
1
,
n
x
n
−
1
x
n
f(x_1,x_2,...x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n
f(x1,x2,...xn)=a11x12+a22x22+...+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+...+2an−1,nxn−1xn
取
a
i
j
=
a
j
i
a_{ij}=a_{ji}
aij=aji（对称矩阵），则
2
a
i
j
x
i
x
j
=
a
i
j
x
i
x
j
+
a
j
i
x
j
x
i
2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i
2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是
f
=
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋯
⋯
⋯
⋯
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
)
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
=
x
T
A
x
f=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j = (x_1,x_2,...,x_n)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x^TAx
f=i,j=1∑naijxixj=(x1,x2,...,xn)
a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann
x1x2⋮xn
=xTAx
把对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，f叫做对称矩阵A的二次型，对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩
合同矩阵与合同变换
设有可逆线性变换x=Cy，将x=Cy代入
f
=
x
T
A
x
f=x^TAx
f=xTAx，有
f
=
=
x
T
A
x
=
(
C
y
)
T
A
(
C
y
)
=
y
T
(
C
T
A
C
)
y
=
y
T
B
y
f==x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y=y^TBy
f==xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy
理解：线性变换后，将向量的坐标由x变换为了y，令原坐标系为
E
=
(
e
1
,
e
2
,
.
.
.
,
e
n
)
E=(e_1,e_2,...,e_n)
E=(e1,e2,...,en)，变换之后，
E
C
=
C
EC=C
EC=C，过渡矩阵为C，则新基为
C
=
(
c
1
,
c
2
,
.
.
.
,
c
n
)
C=(c_1,c_2,...,c_n)
C=(c1,c2,...,cn)，向量在新基下的坐标为y,
y
=
C
−
1
x
y=C^{-1}x
y=C−1x是坐标变换公式
定义 合同
设A与B为n阶方阵，若有可逆矩阵C，使
B
=
C
T
A
C
B=C^TAC
B=CTAC，则称矩阵A与B合同
本质：是同一个二次型在不同基下的矩阵，对比相似矩阵，相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的表示矩阵，合同矩阵首先都是对称的，又因
B
=
C
T
A
C
B=C^TAC
B=CTAC，C可逆，故合同矩阵又是等价的。
合同矩阵的性质
（1）自反性 任意方阵A与其自身合同：
E
T
A
E
=
A
E^TAE=A
ETAE=A
（2）对称性 若A与B合同，则B与A合同：若A与B合同，则存在可逆阵C使得
C
T
A
C
=
B
C^TAC=B
CTAC=B，则
A
=
(
C
T
)
−
1
B
(
C
−
1
)
=
(
C
−
1
)
T
B
(
C
−
1
)
A=(C^T)^{-1}B(C^{-1})=(C^{-1})^TB(C^{-1})
A=(CT)−1B(C−1)=(C−1)TB(C−1)，即B与A合同
（3）传递性 若A与B合同，B与C合同，则A与C合同：由
B
=
C
1
T
A
C
1
,
C
=
C
2
T
B
C
2
B=C_1^TAC_1,C=C_2^TBC_2
B=C1TAC1,C=C2TBC2，得
C
=
C
2
T
(
C
1
T
A
C
1
)
C
2
=
(
C
1
C
2
)
T
A
(
C
1
C
2
)
C=C_2^T(C_1^TAC_1)C_2=(C_1C_2)^TA(C_1C_2)
C=C2T(C1TAC1)C2=(C1C2)TA(C1C2)，故A与C合同。
等价、相似、合同三种关系的对比
等价
A经过若干次初等行变换或初等列变换得到B，则A与B等价 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 存在可逆阵P,A，使 P A Q = B PAQ=B PAQ=B成立
相似
A与B相似 ⇔ \Leftrightarrow ⇔存在可逆阵P，使 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B。(同一个线性变换在不同基下的表示矩阵)
合同
A与B合同 ⇔ \Leftrightarrow ⇔存在可逆阵P，使 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B。(同一个二次型在不同可逆线性变换下的矩阵)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-680447.html
通过以上三个定义可以看出，相似矩阵一定是等价矩阵，合同矩阵一定是等价矩阵．但等价矩阵不一定是相似矩阵，也不一定是合同矩阵．文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-680447.html
到了这里，关于第七章，相似矩阵及其应用，3-二次型、合同矩阵与合同变换的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
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