【动态规划】两个数组问题-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了【动态规划】两个数组问题。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

动态规划（两个数组问题）

1. 最长公共子序列

题目链接

状态表示

dp[i][j] 表示 s1 0 到 i 区间内，以及时s2 0 到 j 区间内所有的子序列中，最长的公共子序列
状态转移方程

根据最后一个位置的请款分类讨论。
初始化

关于字符串的dp问题，空串是有研究意义的。引入空串的概念之后会方便我们的初始化

这里还可以使用之前的方法，使用辅助节点的方式
填表顺序

从下往上，从左到右
返回值

AC代码：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-681323.html

class Solution 
{
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) 
    {
        int n = text1.size();
        int m = text2.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1));
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= m; j++)
            {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
};

2. 不相交的线

题目链接

题目分析：根据这个题目可以看到不就是找最长公共子序列嘛

状态表示

dp[i][j] 表示 0 到 i 的所有子序列以及 0 到 j 的所有子序列当中，最长的公共子序列
状态转移方程
初始化
填表
返回值

AC代码:

class Solution 
{
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) 
    {
        int n = nums1.size();
        int m = nums2.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1));
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= m; j++)
            {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
};

3. 不同的子序列

题目链接

状态表示

dp[i][j] 表示 0 到 j 之间的所有子序列中有多少个出现目标中0 到 i 之间的字母
状态转移方程
初始化
填表
返回值

AC代码：

class Solution 
{
public:
    int numDistinct(string s, string t) 
    {
        int n = s.size();
        int m = t.size();
        vector<vector<double>> dp(m + 1, vector<double>(n + 1));
        for (int i = 0; i <= n; i++) dp[0][i] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dp[i][j] += dp[i][j - 1];
                if (s[j - 1] == t[i - 1]) dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

4. 交错字符串

题目链接

状态表示

dp[i][j] 表示 s1中[1, i]之间的字符串，以及s2当中[1,j]之间的字符串能否拼接成s3当中[1, i + j]之间的字符串
状态转移方程
初始化

当两个字符串都是空的时候，返回的一定是true，当s1 不为空， s2 为空，只要s1有一个不等于s3则直接返回false否则为true

s2的初始化也一样
填表

从上到下，从左到右
返回值

AC代码：

class Solution 
{
public:
    bool isInterleave(string s1, string s2, string s3) 
    {
        int m = s1.size();
        int n = s2.size();
        if (m + n != s3.size()) return false;
        s1 = " " + s1;
        s2 = " " + s2;
        s3 = " " + s3;
        vector<vector<bool>> dp(m + 1, vector<bool>(n + 1));
        dp[0][0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++) 
        {
            if (s2[i] == s3[i]) dp[0][i] = true;
            else break;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++) 
        {
            if (s1[i] == s3[i]) dp[i][0] = true;
            else break;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if ((s1[i] == s3[i + j] && dp[i - 1][j]) || (s2[j] == s3[i + j] && dp[i][j - 1]))
                    dp[i][j] = true;
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

5. 两个字符串的最小ASCII和

题目链接

状态表示

分析，这个题目要找两个字符串最小的，可以找到公共最大的然后反向求

dp[i][j] 表示 [0, i] 以及[0, j]的所有子序列当中，ASCII最大的公共子序列的和
状态转移方程
初始化

无需初始化
填表

从左到右，从上到下
返回值

两个字符串的和前去最大的乘以2

AC代码：

class Solution 
{
public:
    int minimumDeleteSum(string s1, string s2) 
    {
        int m = s1.size();
        int n = s2.size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
                {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + s1[i - 1]);
                }
            }
        }
        int sum = 0;
        for (auto e : s1) sum += e;
        for (auto e : s2) sum += e;
        return sum - dp[m][n] - dp[m][n];
    }
};

6. 最长重复子数组

题目链接

状态表示

dp[i][j]以 i 位置为结尾的所有子数组，以及以j 位置为结尾的所有子数组当中，最长公共子数组的长度
状态转移方程
初始化

无需初初始化
填表
返回值

AC代码：

class Solution 
{
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) 
    {
        int m = nums1.size();
        int n = nums2.size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        int ret = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) 
                {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                ret = max(ret, dp[i][j]);
            }
        }
        return ret;
    }
};

7. 通配符匹配

题目链接

状态表示

dp[i][j] 表示 p[0, j]区间内子串能否匹配s[0, i]区间内的子串
状态转移方程

这种有很多表示方法的状态转移方程，需要优化不可能把每个状态都表示出来

第一种就是采用数学方法来优化：

还可以根据状态表示以及实际情况优化状态转移方程
初始化

当p[0][j] == ”*“ 时就一直是true
填表
返回值

AC代码：

class Solution 
{
public:
    bool isMatch(string s, string p) 
    {
        int m = s.size();
        int n = p.size();
        s = " " + s, p = " " + p;
        vector<vector<bool>> dp(m + 1, vector<bool>(n + 1));
        dp[0][0] = true;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (p[j] == '*') dp[0][j] = true;
            else break;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if (p[j] == '*') 
                    dp[i][j] = dp[i- 1][j] || dp[i][j - 1];
                else if (p[j] == '?') dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                else 
                {
                    if (s[i] == p[j]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};