信息学奥赛一本通：1316：【例4.6】数的计数(Noip2001)-Toy模板网

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【题目描述】

我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数nn）。先输入一个自然数n(n≤1000)n(n≤1000)，然后对此自然数按照如下方法进行处理：

不作任何处理；

在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半；

加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加自然数为止。

【输入】

自然数n(n≤1000)n(n≤1000)。

【输出】

满足条件的数。

【输入样例】

【输出样例】

【提示】

【样例解释】

满足条件的数为如下所示：

【题目分析】

	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	2 12	3 13	4 14 24 124	5 15 25 125	6 16 26 126 36 136	7 17 27 127 37 137	8 18 28 128 38 138 48 148 248 1248
a(n)	1	2	2	4	4	6	6	10
		1+a(1)	1+a(1)	1+a(1)+a(2)	1+a(1)+a(2)	1+a(1)+a(2)+a(3)	1+a(1)+a(2)+a(3)	1+a(1)+a(2)+a(3)+a(4)

方法1：递推

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long  a[1001];
int main(){
   a[1]=1;
   int n;
   cin>>n;
   for(int i=2;i<=n;i++){
    a[i]=1;//不做任何处理，本身是1种
    for(int j=1;j<=i/2;j++)
        a[i]+=a[j];//1到i/2的和
   }
    cout<<a[n]<<endl;
   return 0;
}

方法2：递归（测试最后一个超时）
（1）、定义f(n)为数n的方法数
（2）、边界条件：n=1时，只有一种方法
（3）、当n大于1时，f(n)=1+f(1)+f(2)…+f(n/2)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n){
    if (n==1) return 1;
    int s=1;
    for(int i=1;i<=n/2;i++){
        s+=f(i);
    }
    return s;

}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<<f(n)<<endl;
	return 0;
}

方法3：优化递归，缓存中间结果。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-682755.html

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1001];
int f(int n){
    if (n==1) return 1;
    if(a[n]) return a[n];
    a[n]=1;
    for(int i=1;i<=n/2;i++){
        a[n]+=f(i);
    }
    return a[n];

}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    a[1]=1;
    cout<<f(n)<<endl;
	return 0;
}