数学建模：主成分分析法-Toy模板网

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主成分分析法

算法流程

构建原始数据矩阵 $X$ ，其中矩阵的形状为 $x * n$ ，有 $m$ 个对象， $n$ 个评价指标。
然后进行矩阵的归一化处理。
首先计算矩阵的指标之间的相关系数矩阵 $R$ 。使用matlab 的 corr 即可得到。
计算相关系数矩阵 $R$ 的****特征值 $D$ 和特征向量 $V$ ** ，并且特征值从大到小排序，由特征向量组成 $n$ 个新的指标向量。
1. $y_1 , y_2 , y_3$ 为新的主成分。

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选择 $p$ 个主成分，计算综合评价值：
1. 计算特征值 $\lambda _i，i\in(1,2,...n)$ 的信息贡献率与累计贡献率：
  
  $\alpha_i=\frac{\sum_{k=1}^n\lambda_k}{\sum_{k=1}^m\lambda_k}$
  
  $b_j=\frac{\lambda_j}{\sum_{k=1}^m\lambda_k}(j=1,2,\cdots,m)$
2. 找到累计贡献达到85%的位置，选择前 $p$ 个指标变量 $y_1 y_2 ... y_p$ 作为新的主成分，代替原来的 $n$ 个指标，从而对 $p$ 个主成分进行综合分析。
  
  $Z=\sum_{j=1}^{p}b_{j}y_{j}$
代码实现
```
%% A_data 是一个 m*n列的矩阵，包含 n个指标

%% 
corr_A = corrcoef(A_data);
[a,b,c] = pcacov(corr_A);

%% 最后根据c的前 85% 来得到降维后的指标个数
```
自实现：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-684546.html
```
function [Score,Vec,p]=mfunc_PCA(data)
    % 进行主成分分析
    % paramts:
    %   data: 传递一个原始数据矩阵，需要首先进行数据的标准化mapminmax。Shape: (m*n)，m为对象个数，n为指标个数
    % returns:
    %   Score: 综合评价得分
    %   Vec: (n,3)的矩阵，第一列：特征值；第二列：贡献率，第三列：累计贡献率
		%   p：指标降维后的个数

    % 计算指标的相关系数矩阵
    R=corr(data);
    %计算特征向量和特征值
    [V,D] = eig(R);  %V特征向量，D特征值对角线矩阵
    lam=diag(D);%取出对角线元素
    %对特征值从大到小排列
    [lam_sort,index]=sort(lam,'descend');
    V_sort=V(:,index);
    Vec = zeros(length(lam_sort),3);
    Vec(:,1) = lam_sort;

    contribution=lam_sort./sum(lam_sort); %贡献率
    Vec(:,2) = contribution;
    cContribution=cumsum(contribution); %累计贡献率
    Vec(:,3) = cContribution;
    p=find(cContribution>=0.85); 
    p=p(1); %找到累计贡献达到85%的位置第一个位置
    %
    M=data*V_sort;
    M=M(:,1:p);  %这就是得到的新的累计贡献率超过85%主成分
    %以下为用新的主成分评分
    M(:,find(sum(M)<0))=-M(:,find(sum(M)<0));
    %M(find(sum()))=-M(:,2);
    a=contribution(1:p);
    F=M.*a';
    s=sum(F');
    Score=100*s/max(s);
end
```