1049. 最后一块石头的重量 II
一、题目
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
- 如果
x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； - 如果
x != y，那么重量为x的石头将会完全粉碎，而重量为y的石头新重量为y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5
提示：
1 <= stones.length <= 301 <= stones[i] <= 100
二、题解
方法一：01背包二维数组
算法思路
01背包问题回顾
在01背包问题中，我们有一组物品，每个物品有两个属性：重量和价值。背包有一个固定的容量，我们的目标是在不超过背包容量的情况下，选择物品放入背包，使得放入的物品总价值最大。
我们可以将这个问题的状态定义为 dp[i][j]，表示在前 i 个物品中，背包容量为 j 的情况下，可以获得的最大价值。状态转移方程可以表示为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])
将题目映射到01背包
现在我们回到题目中，虽然题目描述中没有直接提到背包，但我们可以通过观察发现类似的特性：我们要将石头分成两堆，使得两堆的重量差尽量小。
在01背包问题中，我们选择物品放入背包的状态是离散的：要么放入，要么不放入。在本题中，我们可以类比，将石头看作是我们要选择放入背包的“物品”，每块石头的重量看作是物品的“重量”。我们要将石头分成两堆，使得两堆的重量差尽量小，相当于在一个背包的容量为总重量的一半时，选择一些石头放入背包，使得背包中的石头总重量尽量接近总重量的一半。
（这里的背包容量就对应着总重量的一半，而每块石头的重量和价值相同）。这就是为什么我们能够将这个问题映射到01背包问题。
具体实现
-
状态定义： 定义一个二维数组
dp[i][j]，表示在前i块石头中，能否找到一种分法，使得其中一组的总重量恰好为j。这里i的范围是从0到石头的总数，j的范围是从0到总重量的一半（因为我们要将石头分成两组，两组的重量和不能超过总重量的一半，否则不符合题意）。 -
状态转移： 对于每一块石头，我们可以选择将其放入其中一组，或者不放入。如果我们不放入第
i块石头，那么问题就转化为在前i-1块石头中寻找一种分法，使得其中一组的总重量恰好为j。如果我们放入第i块石头，那么问题就转化为在前i-1块石头中寻找一种分法，使得其中一组的总重量恰好为j - stones[i]。综合考虑这两种情况，我们可以得到状态转移方程：
dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-stones[i]] -
边界条件： 初始化时，当只有一块石头可选时，如果这块石头的重量不超过
j，那么我们可以将其放入其中一组，否则不放入。 -
最终结果： 最终的答案应该是在所有可能的总重量
j中，找到最大的j，使得dp[n-1][j]为true（n为石头的总数）。然后最小可能的剩余重量就是sum - 2 * j。
根据上述思路，可以实现出解题代码：
class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {
sum += stones[i];
}
int n = stones.size();
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(sum / 2 + 1, 0));
// 初始化
for (int i = 0; i <= sum / 2; i++) {
if (stones[0] <= i) {
dp[0][i] = stones[0];
}
}
// 填写dp数组
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j <= sum / 2; j++) {
if (stones[i] > j) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
}
return sum - 2 * dp[n - 1][sum / 2];
}
};
方法二：01背包一维数组
class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {
sum += stones[i];
}
vector<int> dp(sum/2+1, 0);
// 填写dp数组
for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {
for (int j = sum/2; j >= stones[i]; j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j-stones[i]] + stones[i]);
}
}
return sum - 2 * dp[sum/2];
}
};
Q：为什么 for (int j = sum/2; j >= stones[i]; j–)要倒序遍历？
A：我们从前往后遍历石头，同时从总重量的一半开始递减遍历，这是因为我们想在填写 dp[j] 时，基于之前的状态 dp[j-stones[i]] 进行更新。如果我们从小到大遍历 j，那么在填写 dp[j] 时，我们可能会使用当前石头的重量（stones[i]），而这就会导致重复使用同一块石头，与题意不符。
所以，倒序遍历 j 可以确保在填写 dp[j] 时，我们只会考虑之前的状态，而不会用到当前石头。这是为了避免在填写 dp[j] 时，使用当前石头导致重复计算的情况。
Q：为什么一定要先遍历石头重量这一行然后遍历重量那一列？
A：这是为了确保状态转移方程的正确性。让我们通过一个例子来理解。
假设我们有以下石头的重量：stones = [2, 7, 4]。
我们想要使用动态规划找到一种分法，使得其中一组的总重量尽量接近总重量的一半。在此例中，总重量是 2 + 7 + 4 = 13，所以我们希望找到一种分法，使得其中一组的重量接近 13 / 2 = 6。
现在，假设先遍历重量（j），再遍历石头（i)。在这种情况下，第一次遍历（j = sum/2，i从0到stones.size()）后我们的动态规划状态数组如下所示：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-686926.html
stones = [2, 7, 4]
dp[i][j]:
0 1 2 3 4 5 6
2: 0 0 0 0 0 0 4
7: 0 0 0 0 0 0 4
4: 0 0 0 0 0 0 4
在这种遍历顺序下，最后一列一直到最后都不会再更新了，显然是一个错误的遍历顺序。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-686926.html
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