LA@特征值和特征向量的性质

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方阵特征值和特征向量的性质👺

特征值之和

  • ∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii} i=1nλi=i=1naii
    • 其中 ∑ i = 1 n a i i \sum_{i=1}^{n}a_{ii} i=1naii称为矩阵的迹,记为 T r ( A ) Tr(\bold A) Tr(A)

特征值之积

  • ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}=|A| i=1nλi=A
推论:特征值判定方阵的可逆性
  • 方阵 A \bold{A} A可逆的条件是其的特征值不全为0
  • 证明:
    • 由特征值之积的性质可知,当方阵 A \bold{A} A的特征值之积不为0,意味着 ∣ A ∣ ≠ 0 |\bold{A}|\neq{0} A=0从而 A \bold{A} A是可逆的

证明

  • 借助多项式的知识来同时证明上述两条性质(同次项系数相等原理)

  • 对于

    • f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 11 − a 12 ⋯ − a 1 n − a 21 λ − a 22 ⋯ − a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ − a n 1 − a n 2 ⋯ λ − a n n ∣ f(\lambda)=|\lambda{E}-A|= \begin{vmatrix} \lambda-a_{11}& -a_{12}& \cdots&-a_{1n} \\ -a_{21}& \lambda-a_{22}& \cdots&-a_{2n} \\ \vdots& \vdots& &\vdots \\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots&\lambda-a_{nn} \\ \end{vmatrix} f(λ)=λEA= λa11a21an1a12λa22an2a1na2nλann

    • f ( λ ) f(\lambda) f(λ)行列式展开后有 n ! n! n!项(未合并化简同类项前),把它们记为 θ k , k = 1 , 2 , ⋯   , n ! \theta_k,k=1,2,\cdots,n! θk,k=1,2,,n!, θ k = ( − 1 ) τ ( p k ) ∏ i = 1 n a i , j i \theta_k=(-1)^{\tau(p_k)}\prod_{i=1}^{n}a_{i,j_i} θk=(1)τ(pk)i=1nai,ji,其中 p k p_k pk是第 k k k n n n级排列 ( j 1 , ⋯   , j n ) (j_1,\cdots,j_n) (j1,,jn)

    • 将合并同类相(多项式的一般形式): f ( λ ) f(\lambda) f(λ)= ∑ i = 0 n a i λ i \sum_{i=0}^{n}a_i\lambda^{i} i=0naiλi <1>

      • <1>式中有1项是由主对角线元素相乘的积,是 n n n次项,同时也是最高次项),把它记为

        • θ d = ( λ − a 11 ) ( λ − a 22 ) ⋯ ( λ − a n n ) \theta_d=(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots(\lambda-a_{nn}) θd=(λa11)(λa22)(λann),这也是一个关于 λ \lambda λ,的 n n n次多项式
      • 其余项至多含有对角线元素的 n − 2 n-2 n2个元素(次高项的次数为 n − 2 n-2 n2)

        • 因为每个项的因子都取自不同行不同列
        • 事实上,行列式展开的的 n ! n! n!项求和式中,每一项都包含行列式中的某 n n n个元素的乘积作为因式,如果因式中不包含某个对角线元素(设取自第 i i i行的元素不来自第 i i i列,记为 e 1 e_1 e1),那么必定存在一个元素(设取自第 j j j行,记为 e 2 e_2 e2)是来自第 i i i列的,这就导致第 i , j i,j i,j行取出的元素 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2都不是对角线上的元素( i ≠ j i\neq{j} i=j)
      • 因此,容易确定<1> a n , a n − 1 a_n,a_{n-1} an,an1都是由 θ d \theta_{d} θd所确定的

      • 现在,我们只对 ξ \xi ξ这一项感兴趣,由多项式相关知识,容易做出以下推导

        • θ d \theta_d θd= λ n − ( a 11 + a 22 + ⋯ + a n n ) λ n − 1 + ⋯ \lambda^{n}-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\cdots λn(a11+a22++ann)λn1+
        • f ( λ ) f(\lambda) f(λ)= θ d + ∑ i , i ≠ d n ! θ i \theta_d+\sum\limits_{i,i\neq{d}}^{n!}\theta_i θd+i,i=dn!θi
          • 展开式中 n , n − 1 n,n-1 n,n1次项的系数是只由 θ d \theta_d θd提供,其余 θ i , i ≠ p \theta_i,i\neq{p} θi,i=p只能够提供不超过 n − 2 n-2 n2次项;
          • a n = 1 a_n=1 an=1; a n − 1 = − ∑ i = 1 n a i i a_{n-1}=-\sum_{i=1}^{n}a_{ii} an1=i=1naii;
          • 常数项 a 0 a_0 a0可以通过取 λ = 0 \lambda=0 λ=0得到,即 a 0 = f ( 0 ) = ∣ 0 E − A ∣ = ∣ − A ∣ = ( − 1 ) n ∣ A ∣ a_0=f(0)=|\bold{0E-A}|=|-\bold{A}|=(-1)^n|\bold{A}| a0=f(0)=0EA=A=(1)nA
        • f ( λ ) = λ n − ( ∑ i = 1 n a i i ) λ n − 1 + ⋯ ∣ − A ∣ λ 0 f(\lambda)=\lambda^{n}-(\sum_{i=1}^{n}a_{ii})\lambda^{n-1}+\cdots|-A|\lambda^{0} f(λ)=λn(i=1naii)λn1+Aλ0<2>
        • Notes:参考:math@多项式@求和式乘法
  • 另一方面,设 λ 1 , ⋯   , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_n λ1,,λn f ( λ ) f(\lambda) f(λ) n n n个特征值(根)

    • 对于 n n n次多项式 f ( λ ) f(\lambda) f(λ),他有 n n n个复根,由余式定理,可以因式分解写成如下形式

      • f ( λ ) = ( λ − λ 1 ) ( λ − λ 2 ) ⋯ ( λ − λ n ) f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n) f(λ)=(λλ1)(λλ2)(λλn)

      • f ( λ ) f(\lambda) f(λ)= ∏ i = 1 n ( λ − λ i ) \prod_{i=1}^{n}(\lambda-\lambda_i) i=1n(λλi)= λ n − ( ∑ i = 1 n λ i ) λ n − 1 + ⋯ + ∏ i = 1 n ( − λ i ) \lambda^n-(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i)\lambda^{n-1}+\cdots+\prod_{i=1}^{n}(-\lambda_i) λn(i=1nλi)λn1++i=1n(λi)<3>

小结
  • 对比式<2>,<3>中的
    • n − 1 n-1 n1次项的系数 ∑ i = 1 n a i i = ∑ i = 1 n λ i \sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} i=1naii=i=1nλi
    • 0 0 0次项系数 ∣ − A ∣ = ∏ i = 1 n ( − λ i ) |-A|=\prod_{i=1}^{n}(-\lambda_i) A=i=1n(λi),即 ( − 1 ) n ∣ A ∣ = ( − 1 ) n ∏ i n ( λ i ) (-1)^n|A|=(-1)^n\prod_{i}^{n}(\lambda_i) (1)nA=(1)nin(λi)所以: ∣ A ∣ = ∏ i n λ i |A|=\prod_{i}^{n}\lambda_i A=inλi

导出性质

  • α , A , λ \alpha,\bold{A},\lambda α,A,λ满足 A α = λ α \bold{A}\alpha=\lambda{\alpha} Aα=λα,则:

    • ( k A ) ( k α ) = ( k λ ) ( k α ) (k\bold{A})(k\alpha)=(k\lambda){(k\alpha)} (kA)(kα)=()(kα)
    • A m α = λ m α \bold{A}^m\alpha=\lambda^m\alpha Amα=λmα
  • 证明:

    • A α = λ α \bold{A}\alpha=\lambda{\alpha} Aα=λα同乘以 k k k,

      • ( k A ) α = ( k λ ) α (k\bold{A})\alpha=(k\lambda)\alpha (kA)α=()α,
      • A ( k α ) = λ ( k α ) \bold{A}(k\alpha)=\lambda({k\alpha}) A(kα)=λ(kα)
      • 再次乘以 k k k: ( k A ) ( k α ) = ( k λ ) ( k α ) (k\bold{A})(k\alpha)=(k\lambda){(k\alpha)} (kA)(kα)=()(kα)
    • A α = λ α \bold{A}\alpha=\lambda\alpha Aα=λα两边同时左乘 A \bold{A} A

      • A A α = A λ α = λ A α = λ λ α \bold{A}\bold{A}\alpha=\bold{A}\lambda\alpha=\lambda{\bold{A}\alpha}=\lambda{\lambda{\alpha}} AAα=Aλα=λAα=λλα,所以:
        • A 2 α = λ 2 α \bold{A}^2\alpha=\lambda^2\alpha A2α=λ2α;
        • 类似的 A 3 α = A λ 2 α , λ 2 A α = λ 3 α \bold{A}^3\alpha=\bold{A}\lambda^2\alpha,\lambda^2\bold{A}\alpha=\lambda^3\alpha A3α=Aλ2α,λ2Aα=λ3α
        • 重复 m − 1 m-1 m1次得到: A m α = λ m α \bold{A}^m\alpha=\lambda^m\alpha Amα=λmα

可逆矩阵的特征值性质

  • A \bold{A} A可逆时
    1. λ − 1 α = A − 1 α \lambda^{-1}\alpha=\bold{A}^{-1}\alpha λ1α=A1α
      • A α = λ α \bold{A}\alpha=\lambda{\alpha} Aα=λα同时左乘 A − 1 \bold{A}^{-1} A1
      • α = λ A − 1 α \alpha=\lambda \bold{A}^{-1}\alpha α=λA1α,两边同乘以 λ − 1 \lambda^{-1} λ1 λ − 1 α = A − 1 α \lambda^{-1}\alpha=\bold{A}^{-1}\alpha λ1α=A1α
    2. ( A ∗ ) α = ∣ A ∣ λ α (\bold{A}^*)\alpha=\frac{|\bold{A}|}{\lambda}\alpha (A)α=λAα
      • 方法1:
        • A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \bold{A}^{-1}=\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}^* A1=A1A,两边同时乘以 α \alpha α: A − 1 α = 1 ∣ A ∣ A ∗ α \bold{A}^{-1}\alpha=\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}^{*}\alpha A1α=A1Aα
        • λ − 1 α = ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) α \lambda^{-1}\alpha=(\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}^*)\alpha λ1α=(A1A)α
        • ∣ A ∣ λ α = ( A ∗ ) α \frac{|\bold{A}|}{\lambda}\alpha=(\bold{A}^*)\alpha λAα=(A)α
        • 所以 ( A ∗ ) α = ∣ A ∣ λ α (\bold{A}^*)\alpha=\frac{|\bold{A}|}{\lambda}\alpha (A)α=λAα
      • 方法2:
        • A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 \bold{A^{*}=|A|A^{-1}} A=∣A∣A1,两边同时乘以 α \alpha α, ( A ∗ ) α = ∣ A ∣ A − 1 α \bold{(A^{*})\alpha=|A|A^{-1}\alpha} (A)α=∣A∣A1α
        • ∣ A ∣ A − 1 α = ∣ A ∣ λ − 1 α \bold{|A|A^{-1}\alpha=|A|\lambda^{-1}\alpha} ∣A∣A1α=∣A∣λ1α
        • 所以 ( A ∗ ) α = ∣ A ∣ λ α (\bold{A}^*)\alpha=\frac{|\bold{A}|}{\lambda}\alpha (A)α=λAα

转置矩阵和特征值

  • 方阵 A \bold{A} A的转置 A T \bold{A}^T AT的特征值和 A \bold{A} A的特征值相同

    • A : f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ \bold{A}:f(\lambda)=|\lambda{E}-\bold{A}| A:f(λ)=λEA

    • A T : f ( λ ) = ∣ λ E − A T ∣ = ∣ ( λ E ) T − A T ∣ = ∣ ( λ E − A ) T ∣ = ∣ λ E − A ∣ \bold{A}^T:f(\lambda)=|\lambda{E}-\bold{A}^T|=|(\lambda{E})^T-\bold{A}^T|=|(\lambda{E}-\bold{A})^T|=|\lambda{E}-\bold{A}| AT:f(λ)=λEAT=(λE)TAT=(λEA)T=λEA

    • 可见, A , A T \bold{A},\bold{A}^T A,AT具有相同的特征方程,因此特征值一定相同

  • 但是它们的特征向量不一定相同

    • 因为前面我们讨论过,特征值不能够唯一确定特征向量

矩阵多项式的特征值

  • p ( x ) = ∑ i = 0 m a i x i = ∑ i = 0 m a m − i x m − i p(x)=\sum\limits_{i=0}^{m}a_{i}x^i=\sum\limits_{i=0}^{m}a_{m-i}x^{m-i} p(x)=i=0maixi=i=0mamixmi; λ , A , α \lambda,\bold{A},\alpha λ,A,α满足 A α = λ α \bold{A}\alpha=\lambda\alpha Aα=λα,则 p ( A ) α = p ( λ ) α p(\bold{A})\alpha=p(\lambda)\alpha p(A)α=p(λ)α

  • 证明:

    • p ( A ) α = ∑ i = 0 m a i A i α p(\bold{A})\alpha=\sum\limits_{i=0}^{m}a_{i}\bold{A}^i\alpha p(A)α=i=0maiAiα= ∑ i = 0 m a i λ i α \sum\limits_{i=0}^{m}a_{i}\lambda^i\alpha i=0maiλiα,而 p ( λ ) = ∑ i = 0 m a i λ i p(\lambda)=\sum\limits_{i=0}^{m}a_{i}\lambda^i p(λ)=i=0maiλi;从而 p ( λ ) α = ∑ i = 0 m a i λ i α p(\lambda)\alpha=\sum\limits_{i=0}^{m}a_{i}\lambda^i\alpha p(λ)α=i=0maiλiα

    • 因此 p ( A ) α = p ( λ ) α p(\bold{A})\alpha=p(\lambda)\alpha p(A)α=p(λ)α

不同特征值的特征向量线性无关定理

  • n n n阶方阵 A \bold{A} A n n n不同特征值为 λ i , i = 1 , 2 , ⋯   , m \lambda_i,i=1,2,\cdots,m λi,i=1,2,,m,( λ i ≠ λ j   \lambda_i\neq{\lambda_{j}}\, λi=λjif i ≠ j i\neq{j} i=j); A \bold{A} A关于 λ i \lambda_i λi对应的特征向量分别记为 α i , i = 1 , 2 , ⋯   , m \alpha_i,i=1,2,\cdots,m αi,i=1,2,,m;那么 A 0 : α 1 , ⋯   , α m A_0:\alpha_1,\cdots,\alpha_m A0:α1,,αm线性无关
  • 即:方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关
  • 证明:
    • 对特征值的个数 m m m作数学归纳法

    • m = 1 m=1 m=1时, α 1 ≠ 0 \bold{\alpha_1\neq{0}} α1=0, A 0 : α 1 A_0:\alpha_1 A0:α1仅含有一个非零向量的向量组线性无关

    • m = k − 1 m=k-1 m=k1时结论成立,即 A k − 1 : α 1 , ⋯   , α k − 1 A_{k-1}:\alpha_1,\cdots,\alpha_{k-1} Ak1:α1,,αk1线性无关

      • 这里的思路是假设 m = k − 1 m=k-1 m=k1时结论能推出 m = k m=k m=k时也成立

        • (当然也可以设 m = k m=k m=k时成立然后推 m = k + 1 m=k+1 m=k+1时仍然成立)
      • 设向量组 A k : α 1 , ⋯   , α k A_{k}:\alpha_1,\cdots,\alpha_k Ak:α1,,αk,其线性相关性判定式 ∑ i = 1 k x i α i = 0 \sum_{i=1}^{k}x_i\alpha_i=\bold{0} i=1kxiαi=0(1)

      • A \bold{A} A左乘(1)式两边,得 ∑ i = 1 k x i A α i = 0 \sum_{i=1}^{k}x_i\bold{A}\alpha_i=\bold{0} i=1kxiAαi=0(2)

      • A α i = λ α i \bold{A}\alpha_i=\lambda{\alpha_i} Aαi=λαi代入(2) ∑ i = 1 k x i λ i α i = 0 \sum_{i=1}^{k}x_i\lambda_i\alpha_i=\bold{0} i=1kxiλiαi=0(3)

      • ( 3 ) − λ k ( 2 ) (3)-\lambda_k(2) (3)λk(2)得: ∑ i = 1 k x i ( λ i − λ k ) α i = 0 \sum_{i=1}^{k}x_i(\lambda_i-\lambda_k)\alpha_i=\bold{0} i=1kxi(λiλk)αi=0,等式左侧展开式得最后一项为0,化简后即 ∑ i = 1 k − 1 x i ( λ i − λ k ) α i = 0 \sum_{i=1}^{k-1}x_i(\lambda_i-\lambda_k)\alpha_i=\bold{0} i=1k1xi(λiλk)αi=0(4)

      • 由归纳假设,(4)中的表出系数 γ i = x i ( λ i − λ k ) = 0 \gamma_i=x_i(\lambda_i-\lambda_k)=0 γi=xi(λiλk)=0, i = 1 , ⋯   , k − 1 i=1,\cdots,k-1 i=1,,k1

        • 由条件中的特征值互异性: λ i ≠ λ j \lambda_i\neq{\lambda_j} λi=λj, i = 1 , ⋯   , m i=1,\cdots,m i=1,,m可知 λ i − λ k ≠ 0 \lambda_i-\lambda_k\neq{0} λiλk=0, i = 1 , ⋯   , k − 1 i=1,\cdots,k-1 i=1,,k1
        • 从而 γ i = 0 \gamma_i=0 γi=0一定有 x i = 0 x_i=0 xi=0, i = 1 , ⋯   , k − 1 i=1,\cdots,k-1 i=1,,k1;代入(1)可知 x k α k = 0 x_k\alpha_k=\bold{0} xkαk=0,而 α k ≠ 0 \alpha_k\neq{\bold{0}} αk=0,所以 x k = 0 x_k=0 xk=0
        • 从而(1)中表出系数 x i = 0 , i = 1 , ⋯   , k x_i=0,i=1,\cdots,k xi=0,i=1,,k,即 A k : α 1 , ⋯   , α k A_k:\alpha_1,\cdots,\alpha_k Ak:α1,,αk线性无关
    • 由归纳法原理,命题成立

    • Note:这个归纳法证明中,最重要的一个步骤是等式(4)的构造过程,它将 m = k m=k m=k时的命题和 m = k − 1 m=k-1 m=k1时的命题(归纳假设条件)联系起来

推论
  • λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2是方阵 A \bold{A} A的两个不同特征值 ( λ 1 ≠ λ 2 ) (\lambda_1\neq{\lambda_2}) (λ1=λ2),且 S 1 : ξ 1 , ⋯   , ξ s S_1:\xi_1,\cdots,\xi_s S1:ξ1,,ξs S 2 : η 1 , ⋯   , η t S_2:\eta_1,\cdots,\eta_t S2:η1,,ηt分别是对应于 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2的线性无关特征向量组,则 S 1 , S 2 S_1,S_2 S1,S2合并的向量组 S 3 S_3 S3线性无关
推广
  • 记特征值 λ i \lambda_i λi, i = 1 , ⋯   , m i=1,\cdots,m i=1,,m线性无关特征向量组为 A i : α i 1 , α i 2 , ⋯   , α i s i A_i:\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{is_i} Ai:αi1,αi2,,αisi😭 A i A_i Ai相当于方程 ( λ i E − A ) x = 0 (\lambda_iE-\bold{A})x=0 (λiEA)x=0的一个基础解系),则这些向量组的合并向量组 B : A 1 , ⋯   , A n B:A_1,\cdots,A_n B:A1,,An依然线性无关

  • 也即是说,属于各个特征值的线性无关特征向量合在一起构成的向量组依然线性无关

  • 证明:

    • 对特征值个数 m m m作数学归纳法,过程和本节定理得证明过程类似

    • m = 1 m=1 m=1时,结论显然成立 S 3 = S 1 S_3=S_1 S3=S1是线性无关的

    • m = k m=k m=k时结论成立,

      • m = k + 1 m=k+1 m=k+1时,设 ∑ i = 1 k + 1 ∑ j = 1 s i x i j α i j = 0 \sum_{i=1}^{k+1}\sum_{j=1}^{s_i}x_{ij}\alpha_{ij}=\bold{0} i=1k+1j=1sixijαij=0<1>

        • <1>两边同时左乘 A \bold{A} A: ∑ i = 1 k + 1 ∑ j = 1 s i x i j A α i j = 0 \sum_{i=1}^{k+1}\sum_{j=1}^{s_i}x_{ij}\bold{A}\alpha_{ij}=\bold{0} i=1k+1j=1sixijAαij=0<2>

        • A λ i = λ i α i j \bold{A}\lambda_i=\lambda_i\alpha_{ij} Aλi=λiαij, i = 1 , ⋯   , s i i=1,\cdots,s_i i=1,,si,代入<2>得: ∑ i = 1 k + 1 ∑ j = 1 s i x i j λ i α i j = 0 \sum_{i=1}^{k+1}\sum_{j=1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{i}\alpha_{ij}=\bold{0} i=1k+1j=1sixijλiαij=0<3>

          • 展开<3.1>
            ∑ i = 1 k + 1 ∑ j = 1 s i x i j λ i α i j = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 s i x i j λ i α i j + ∑ j = 1 s k + 1 x k + 1 , j λ k + 1 α k + 1 , j = 0 \sum_{i=1}^{k+1}\sum_{j=1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{i}\alpha_{ij} =\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{i}\alpha_{ij} +\sum_{j=1}^{s_{k+1}}x_{k+1,j}\lambda_{k+1}\alpha_{k+1,j} =\bold{0} i=1k+1j=1sixijλiαij=i=1kj=1sixijλiαij+j=1sk+1xk+1,jλk+1αk+1,j=0
        • <1>两边同时乘以 λ k + 1 \lambda_{k+1} λk+1得: ∑ i = 1 k + 1 ∑ j = 1 s i x i j λ k + 1 α i j = 0 \sum_{i=1}^{k+1}\sum_{j=1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{k+1}\alpha_{ij}=\bold{0} i=1k+1j=1sixijλk+1αij=0<4>

          • 展开<4.1>

          • ∑ i = 1 k + 1 ∑ j = 1 s i x i j λ k + 1 α i j = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 s i x i j λ k + 1 α i j + ∑ j = 1 s k + 1 x k + 1 , j λ k + 1 α k + 1 , j = 0 \sum_{i=1}^{k+1}\sum_{j=1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{k+1}\alpha_{ij} =\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{s_i}x_{ij}\lambda_{k+1}\alpha_{ij} +\sum_{j=1}^{s_{k+1}}x_{k+1,j}\lambda_{k+1}\alpha_{k+1,j} =\bold{0} i=1k+1j=1sixijλk+1αij=i=1kj=1sixijλk+1αij+j=1sk+1xk+1,jλk+1αk+1,j=0

        • <3>-<4>,即<3.1>-<4.1>

          • ∑ i = 1 k + 1 ∑ j = 1 s i x i j ( λ i − λ k + 1 ) α i j = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 s i x i j ( λ i − λ k + 1 ) α i j = 0 \sum_{i=1}^{k+1}\sum_{j=1}^{s_i}x_{ij} (\lambda_i-\lambda_{k+1})\alpha_{ij} =\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{s_i}x_{ij} (\lambda_i-\lambda_{k+1})\alpha_{ij} =\bold{0} i=1k+1j=1sixij(λiλk+1)αij=i=1kj=1sixij(λiλk+1)αij=0
        • <3>左边展开式中 i = k + 1 i=k+1 i=k+1的被化简

      • 由归纳假设, ∑ i = 1 k ∑ j = 1 s i γ i j α i j = 0 \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{s_i} \gamma_{ij}\alpha_{ij} =\bold{0} i=1kj=1siγijαij=0其中 γ i j = 0 \gamma_{ij}=0 γij=0,所以, γ i j = x i j ( λ i − λ k + 1 ) = 0 \gamma_{ij}=x_{ij}(\lambda_i-\lambda_{k+1})=0 γij=xij(λiλk+1)=0, i = 1 , ⋯   , k i=1,\cdots,k i=1,,k, j = 1 , ⋯   , s i j=1,\cdots,s_{i} j=1,,si

      • λ i , i = 1 , ⋯   , m \lambda_i,i=1,\cdots,m λi,i=1,,m的互异性可知, λ i − λ k + 1 ≠ 0 \lambda_i-\lambda_{k+1}\neq{0} λiλk+1=0,所以 x i j = 0 x_{ij}=0 xij=0

      • 代入<1> ∑ j = 1 s k + 1 x k + 1 , j α k + 1 , j = 0 \sum_{j=1}^{s_{k+1}}x_{k+1,j}\alpha_{k+1,j}=\bold{0} j=1sk+1xk+1,jαk+1,j=0

        • A k + 1 : α k + 1 , 1 , ⋯   , α k + 1 , s k + 1 A_{k+1}:\alpha_{k+1,1},\cdots,\alpha_{k+1,s_{k+1}} Ak+1:αk+1,1,,αk+1,sk+1线性无关可知, x k + 1 , j = 0 x_{k+1,j}=0 xk+1,j=0, j = 1 , ⋯   , s k + 1 j=1,\cdots,s_{k+1} j=1,,sk+1
        • 所以 x 1 , 1 , ⋯   , x k + 1 , s k + 1 x_{1,1},\cdots,x_{k+1,s_{k+1}} x1,1,,xk+1,sk+1全为0,即 B : A 1 , ⋯   , A k + 1 B:A_1,\cdots,A_{k+1} B:A1,,Ak+1线性无关
    • 由归纳法原理,结论成立

特征向量线性组合

同一矩阵的同一特征值的特征向量线性组合仍然是矩阵的特征向量

  • α \alpha α是矩阵 A \bold A A属于特征值 λ 0 \lambda_0 λ0的特征向量(用符号语言可以简介的表示为:

    • α , A → λ \alpha,{A}\to{\lambda} α,Aλ
    • 或者更直接的 A α = λ 0 α A\alpha=\lambda_0\alpha Aα=λ0α
  • α 1 , α 2 , A , λ 0 \alpha_1,\alpha_2,\bold A,\lambda_0 α1,α2,A,λ0满足 A α 1 = λ 0 α 1 \bold{A\alpha_1=\lambda_{0}\alpha_1} Aα1=λ0α1; A α 2 = λ 0 α 2 \bold{A\alpha_2=\lambda_0\alpha_2} Aα2=λ0α2,则:

    • β = k α 1 \beta=k\alpha_1 β=kα1满足 A β = λ 0 β A\beta=\lambda_0\beta Aβ=λ0β
      • 因为 A ( k α 1 ) = k A α 1 \bold{A}(k\alpha_1)=k\bold{A}\alpha_1 A(kα1)=kAα1= k λ 0 α 1 = λ 0 ( k α 1 ) k\lambda_0{\alpha_1}=\lambda_{0}(k\alpha_1) kλ0α1=λ0(kα1)
    • γ = α 1 + α 2 \gamma=\alpha_1+\alpha_2 γ=α1+α2满足 A γ = λ 0 γ A\gamma=\lambda_0\gamma Aγ=λ0γ
      • A ( α 1 + α 2 ) \bold{A(\alpha_1+\alpha_2)} A(α1+α2)= A α 1 + A α 2 \bold{A\alpha_1+A\alpha_2} Aα1+Aα2= λ 0 α 1 + λ 0 α 2 = λ 0 ( α 1 + α 2 ) \lambda_0\alpha_1+\lambda_0\alpha_2=\lambda_0(\alpha_1+\alpha_2) λ0α1+λ0α2=λ0(α1+α2)
    • 综合上述结论,可以得出:若 α i \alpha_i αi, A , λ 0 \bold{A},\lambda_0 A,λ0满足 A α i = α i λ 0 A\alpha_i=\alpha_i\lambda_0 Aαi=αiλ0, ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,,n) α i \alpha_i αi的任意线性组合 θ = ∑ i k i α i \theta=\sum_i{k_i\alpha_i} θ=ikiαi满足 A θ = θ λ 0 A\theta=\theta\lambda_0 Aθ=θλ0

方阵 A \bold{A} A得不同特征值得特征向量之和不是 A \bold{A} A的特征向量

  • 使用反证法来证明

    • λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2 A \bold{A} A的两个不同特征值,即 A p i = λ i p i \bold{A}\bold{p}_i=\lambda_{i}\bold{p}_i Api=λipi, i = 1 , 2 i=1,2 i=1,2

    • 易知 A ( p 1 + p 2 ) = λ 1 p 1 + λ 2 p 2 \bold{A(p_1+p_2)}=\lambda_1{\bold{p}_1}+\lambda_2{\bold{p_2}} A(p1+p2)=λ1p1+λ2p2

    • p 3 = p 1 + p 2 \bold{p_3=p_1+p_2} p3=p1+p2 A \bold{A} A的特征向量,则应存在 λ \lambda λ使得 A p 3 = λ p 3 \bold{Ap_3=\lambda{p_3}} Ap3=λp3,即 λ 1 p 1 + λ 2 p 2 = λ p 3 \lambda_1{\bold{p}_1}+\lambda_2{\bold{p_2}}=\lambda{\bold{p_3}} λ1p1+λ2p2=λp3

    • ( λ 1 − λ ) p 1 + ( λ 2 − λ ) p 2 = 0 (\lambda_1-\lambda)\bold{p}_1+(\lambda_2-\lambda)\bold{p_2}=\bold{0} (λ1λ)p1+(λ2λ)p2=0

    • 由于 p 1 , p 2 \bold{p_1,p_2} p1,p2线性无关,所以 λ i − λ = 0 , i = 1 , 2 \lambda_i-\lambda=0,i=1,2 λiλ=0,i=1,2,所以 λ 1 = λ 2 = λ \lambda_1=\lambda_2=\lambda λ1=λ2=λ,这与 λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1\neq{\lambda_2} λ1=λ2矛盾,所以不存在这样的 λ \lambda λ

    • 所以 p 1 + p 2 \bold{p_1+p_2} p1+p2不是 A \bold{A} A的特征向量

特征值的重数性质

  • 设方阵 A \bold{A} A的特征值 λ 1 , ⋯   , λ m \lambda_{1},\cdots,\lambda_{m} λ1,,λm对,若 λ i \lambda_i λi是一个 k i k_i ki重特征值,那么对应于 λ i \lambda_i λi线性无关特征向量的个数 u i ⩽ k i u_i\leqslant{k_i} uiki

    • 其中 ∑ k i = n \sum{k_i}=n ki=n
  • 推论:记 u ( A ) = ∑ u i u(\bold{A})=\sum{u_i} u(A)=ui,一个 n n n阶方阵 A \bold{A} A的线性无关特征向量的个数 u ( A ) ⩽ n u(\bold{A})\leqslant{n} u(A)n文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-687086.html

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