数论专题:高精度计算
MT2191 整数大小比较
难度:黄金 时间限制:1秒 占用内存:128M
题目描述
给出两个正整数,判断它们的大小。
格式
输入格式:两个正整数。
输出格式:若前者大,输出>
;若后者大,输出<
;若一样大,输出=
。样例 1
输入:1412894619244619891 23762842222
输出:>
备注
保证所有数在 2 100 2^{100} 2100 以内。
相关知识点:
高精度计算
题解
虽然这道题是比较数字的大小,但实际上我们不用关心其数字的取值范围(可以从字符串对象的角度出发进行比较)。对于任意两个正整数,它们之间的大小关系可根据以下两步进行比较:
- 数字长度。对于正整数而言,显然长度越长的数更大。
- 若长度相等,则从数的最高位到最低位依次比较大小,在某位上具有更大数字的数更大。
若 1、2 之后未能找到更大的数,则说明这两个数的取值相同。
基于此,可直接写出求解该题的完整代码(已 AC):
/*
MT2191 整数大小比较
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 比较两个大数的大小
int compare(string stra, string strb)
{
// 根据长度判断大小关系
int lenA = stra.length();
int lenB = strb.length();
if(lenA > lenB) return 1;
if(lenA < lenB) return -1;
// 长度相等需要进一步判断
for(int i=0; i<lenA; i++){
if(stra[i] - strb[i] > 0) return 1;
if(stra[i] - strb[i] < 0) return -1;
}
// 或者直接比较字符串大小
// if(stra > strb) return 1;
// else if(stra < strb) return -1;
// else return
return 0;
}
// 打印结果
void printResult(int result)
{
if(result > 0) cout<<">"<<endl;
else if(result < 0) cout<<"<"<<endl;
else cout<<"="<<endl;
}
int main( )
{
// 获取输入
string stra, strb;
cin>>stra>>strb;
// 比较两个大数的大小
int result = compare(stra, strb);
// 输出比较结果
printResult(result);
return 0;
}
MT2192 A+B problem
难度:黄金 时间限制:1秒 占用内存:128M
题目描述
计算 A + B ( 1 ≤ A , B ≤ 10 10000 ) A+B(1\le A,B\le{10}^{10000}) A+B(1≤A,B≤1010000)。
格式
输入格式:两行每行一个整数 A , B A,B A,B。
输出格式:一个整数 A + B A+B A+B。样例 1
输入:
1
1输出:
2
相关知识点:
高精度计算
题解
这道题考察的是大数运算(加法)。关于如何实现大数加法运算的分析请见博客 【算法与数据结构】——大数运算 。下面给出多位数加法的执行流程:
多位数加法的过程涉及到对各个位的加法运算,因此在处理大数的加法运算时,通常会用一个 int 型数组来存储大数在各个位上的值。例如,数:122333444455555666666,可通过一个足够长的数组 a r y [ ] ary[\ ] ary[ ] ,使 a r y [ 0 ] = 1 , a r y [ 1 ] = 2 , a r y [ 3 ] = 2 , … , a r y [ 20 ] = 6 ary\left[0\right]=1,ary\left[1\right]=2,ary\left[3\right]=2,\ldots,ary\left[20\right]=6 ary[0]=1,ary[1]=2,ary[3]=2,…,ary[20]=6 进行存储。采取数位与索引大小相对应的存储方式(即数的低位对应较小的索引,高位对应较大的索引),是为了便于大数在执行加法运算时的进位可直接在数组中向后拓展。接下来,就能按照以上思路扫描数组并对各个位进行加法运算。最后,单独用一层循环处理进位即可。
下面直接给出求解本题的完整代码(已 AC):
/*
MT2192 A+B problem
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4+5;
int numa[N], numb[N];
// 计算两个大数之和(输入为字符串)
void getSum(string stra, string strb)
{
// 赋初值
memset(numa, 0, sizeof(numa));
memset(numb, 0, sizeof(numb));
int tmp = 0;
// 将两个字符串保存至 int 型数组中(注意逆序)
for(int i=stra.length()-1; i>=0; i--)
numa[tmp++] = stra[i] - '0';
tmp = 0;
for(int i=strb.length()-1; i>=0; i--)
numb[tmp++] = strb[i] - '0';
// 将数组中的每个数按位进行加法运算
for(int i=0;i<N;i++)
numa[i] += numb[i];
// 对存放加法结果的数组执行进位处理
for(int i=0; i<N; i++){
numa[i+1] += numa[i] / 10;
numa[i] %= 10;
}
}
// 输出大数加法后的结果
void printBigData()
{
// 从最高位向后扫描,直到第 1 个非 0 数字出现
int p = N-1;
while(numa[p] == 0) p--;
while(p >= 0) cout<<numa[p--];
cout<<"\n";
}
int main( )
{
// 获取输入
string stra, strb;
cin>>stra>>strb;
// 对两个大数进行加法运算
getSum(stra, strb);
// 输出和
printBigData();
return 0;
}
MT2193 A-B problem
难度:黄金 时间限制:1秒 占用内存:128M
题目描述
计算 A − B ( 1 ≤ B ≤ A ≤ 10 10000 ) A-B(1\le B\le A\le{10}^{10000}) A−B(1≤B≤A≤1010000)。
格式
输入格式:两行每行一个整数 A , B A,B A,B。
输出格式:一个整数 A − B A-B A−B。样例 1
输入:
2
1输出:
1
相关知识点:
高精度计算
题解
这道题考察的是大数运算(减法)。关于如何实现大数减法运算的分析请见博客 【算法与数据结构】——大数运算 。下面给出多位数减法的执行流程:
多位数减法需要用到 int 型数组来存储大数在各个位上的值,其存储规则和大数加法一致(即低位对应较小的索引,高位对应较大的索引)。接下来,只需要扫描数组,在每个位上按照以上思路进行减法运算即可得到大数减法的结果。
下面直接给出求解本题的完整代码(已 AC):
/*
MT2193 A-B problem
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4+5;
int numa[N], numb[N];
// 计算两个大数之差(输入为字符串)
void getSub(string stra, string strb)
{
// 赋初值
memset(numa, 0, sizeof(numa));
memset(numb, 0, sizeof(numb));
int tmp = 0;
// 将两个字符串保存至 int 型数组中(注意逆序)
for(int i=stra.length()-1; i>=0; i--)
numa[tmp++] = stra[i] - '0';
tmp = 0;
for(int i=strb.length()-1; i>=0; i--)
numb[tmp++] = strb[i] - '0';
// 将数组中的每个数按位进行减法运算
for(int i=0;i<N;i++){
numa[i] -= numb[i];
if(numa[i] < 0){
// 借位
numa[i+1]--;
numa[i] += 10;
}
}
}
// 输出大数减法后的结果
void printBigData()
{
// 从最高位向后扫描,直到第 1 个非 0 数字出现
int p = N-1;
while(numa[p] == 0) p--;
while(p > -1) cout<<numa[p--];
cout<<"\n";
}
int main( )
{
// 获取输入
string stra, strb;
cin>>stra>>strb;
// 对两个大数进行减法运算
getSub(stra, strb);
// 输出和
printBigData();
return 0;
}
MT2194 大斐列
难度:黄金 时间限制:1秒 占用内存:128M
题目描述
计算斐波那契数列第 n n n 项。
斐波那契数列定义为: F [ 1 ] = 1 , F [ 2 ] = 1 F[1] = 1,F[2] = 1 F[1]=1,F[2]=1,递推关系为: F [ N ] = F [ N − 1 ] + F [ N − 2 ] F[N] = F[N-1] + F[N-2] F[N]=F[N−1]+F[N−2]。即: 1 、 1 、 2 、 3 、 5 、 8 、 13 、 21 、 34 、 … … 1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 1、1、2、3、5、8、13、21、34、……格式
输入格式:一个整数 n n n。
输出格式:一个整数 F [ n ] F[n] F[n]。样例 1
输入:6
输出:8
备注
对于 30% 的数据: 3 ≤ n ≤ 20 3≤n≤20 3≤n≤20。
对于 100% 的数据: 3 ≤ n ≤ 5000 3≤n≤5000 3≤n≤5000。相关知识点:
高精度计算
题解
这道题实际上就是求斐波那契数列:即通过迭代公式 F [ N ] = F [ N − 1 ] + F [ N − 2 ] F[N] = F[N-1] + F[N-2] F[N]=F[N−1]+F[N−2],不断获取下一个值。但是斐波那契数列的增长速度非常快,通过编写 Python 代码可知(代码如下),斐波那契数列的第 5000 个数的长度达到了 1045。因此这道题是一道妥妥的大数加法问题。
# 求斐波那契的第 5000 项
ary = [1,1]
for i in range(2,5000):
ary.append(ary[i-1]+ary[i-2])
print(ary[4999])
print(len(str(ary[4999])))
所以这里依然需要用到大数加法。具体的实现方式和前面类似,在此就不赘述。
下面给出基于以上思路写出的完整代码(已 AC):
/*
MT2194 大斐列
通过 python 算出最后数字(即第 5000 项)的长度为 1045
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1100;
int numa[N], numb[N], numc[N];
// 计算斐波那契数列
void getFibonacci(int n)
{
// 赋初值
memset(numa, 0, sizeof(numa));
memset(numb, 0, sizeof(numb));
memset(numc, 0, sizeof(numc));
numa[0] = numb[0] = 1;
n -= 2;
// 递推求解斐波那契数列并统计前缀和
while(n--){
// 将数组中的每个数按位进行加法运算
for(int i=0;i<N;i++)
numc[i] = numa[i] + numb[i];
// 对存放加法结果的数组执行进位处理
for(int i=0; i<N; i++){
numc[i+1] += numc[i] / 10;
numc[i] %= 10;
}
// 将数组进行前向赋值(从而实现递推)
memcpy(numa, numb, sizeof(numb));
memcpy(numb, numc, sizeof(numc));
}
}
// 输出大数加法后的结果
void printBigData()
{
// 从最高位向后扫描,直到第 1 个非 0 数字出现
int p = N-1;
while(numc[p] == 0) p--;
while(p > -1) cout<<numc[p--];
cout<<"\n";
}
int main( )
{
// 获取输入
int n;
cin>>n;
// 求出斐波那契数列
getFibonacci(n);
// 输出指定项
printBigData();
return 0;
}
MT2195 升级版斐波那契数列
难度:黄金 时间限制:1秒 占用内存:128M
题目描述
我们都知道斐波那契数列一项是前两项的和,现在我们规定一个升级版斐波那契数列,其一项为前三项的和,要求算其前 n n n 项的和。即,定义: F [ 1 ] = 1 , F [ 2 ] = 1 , F [ 3 ] = 1 F[1] = 1,F[2] = 1,F[3] = 1 F[1]=1,F[2]=1,F[3]=1,递推关系为: F [ N ] = F [ N − 1 ] + F [ N − 2 ] + F [ N − 3 ] F[N] = F[N-1] + F[N-2] + F[N-3] F[N]=F[N−1]+F[N−2]+F[N−3]。
格式
输入格式:一个整数 n n n;
输出格式:前 n n n 项的和。样例 1
输入:4
输出:6
备注
其中: 4 ≤ n ≤ 1000 4\le n \le 1000 4≤n≤1000。
相关知识点:
高精度计算
题解
这道题依然考察了大数加法,和前面一题类似,下面直接给出求解本题的完整代码(已 AC):
/*
MT2195 升级版斐波那契数列
通过 python 算出最后数字(即第 1000 项)的长度为 265,整个数列的数字之和长度为 265
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 300;
int numa[N], numb[N], numc[N], numd[N], preSum[N];
// 计算斐波那契数列
void getFibonacci(int n)
{
// 赋初值
memset(numa, 0, sizeof(numa));
memset(numb, 0, sizeof(numb));
memset(numc, 0, sizeof(numc));
memset(numd, 0, sizeof(numd));
memset(preSum, 0, sizeof(preSum));
numa[0] = numb[0] = numc[0] = 1;
preSum[0] = 3;
n -= 3;
// 递推求解斐波那契数列并统计前缀和
while(n--){
// 将数组中的每个数按位进行加法运算
for(int i=0;i<N;i++)
numd[i] = numa[i] + numb[i] + numc[i];
// 对存放加法结果的数组执行进位处理
for(int i=0; i<N; i++){
numd[i+1] += numd[i] / 10;
numd[i] %= 10;
}
// 将当前项累加至前缀和数组中
for(int i=0;i<N;i++)
preSum[i] += numd[i];
for(int i=0; i<N; i++){
preSum[i+1] += preSum[i] / 10;
preSum[i] %= 10;
}
// 将数组进行前向赋值
memcpy(numa, numb, sizeof(numb));
memcpy(numb, numc, sizeof(numc));
memcpy(numc, numd, sizeof(numd));
}
}
// 输出大数加法后的结果
void printBigData()
{
// 从最高位向后扫描,直到第 1 个非 0 数字出现
int p = N-1;
while(preSum[p] == 0) p--;
while(p > -1) cout<<preSum[p--];
cout<<"\n";
}
int main( )
{
// 获取输入
int n;
cin>>n;
// 求出斐波那契数列
getFibonacci(n);
// 输出前缀和
printBigData();
return 0;
}
MT2196 2的N次幂
难度:黄金 时间限制:1秒 占用内存:128M
题目描述
任意给定一个正整数 N ( N ≤ 100 ) N(N\le100) N(N≤100) ,计算 2 的 N N N 次方的值。
格式
输入格式:一个正整数 N N N;
输出格式:输出 2 N 2^N 2N 的值。样例 1
输入:5
输出:32
相关知识点:
高精度计算
题解
2 n 2^n 2n 在 n n n 取 100 时,是一个长度为 31 的大数,因此也是一道高精度题。与前面不同的是,这道题要求的是乘幂运算。但实际上,数的乘幂运算就等于进行 “幂” 次乘法运算(叠乘),乘数为底数。所以求解该题的关键实际是基于乘法运算的高精度计算问题,关于如何实现大数乘法运算的分析请见博客 【算法与数据结构】——大数运算 。
这里选用的数据结构依然是 int 型数组,其存储规则和大数加法一致(即低位对应较小的索引,高位对应较大的索引)。不过在算法一开始,需要将该数组的最低位置为底数(即 2)。接下来,定义一重循环(循环次数为 n − 1 n-1 n−1),每遍都执行以下两步:文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-688124.html
- 将存放大数的数组中的每一位都乘以底数;
- 遍历整个数组执行进位。
算法结束时,即得到了大数乘幂运算的结果。下面给出基于以上思路得到的完整代码:文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-688124.html
/*
MT2196 2的N次幂
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 题目给的数据范围保证了结果不超过 32 位
const int N = 32;
int num[N];
// 高精度乘幂运算
void getHighPrecision(int base, int power)
{
// 初始化存放运算结果的数组
memset(num, 0, sizeof(num));
// 给数组赋初值
num[0] = base;
// 执行乘幂运算
while(--power){
// 将数组中的每个数进行乘法运算
for(int i=0; i<N; i++)
num[i] *= base;
// 对数组执行进位处理
for(int i=0; i<N; i++){
num[i+1] += num[i] / 10;
num[i] %= 10;
}
}
}
// 输出高精度运算后的大数
void printBigData()
{
// 从最高位向后扫描,直到第 1 个非 0 数字出现
int p = N-1;
while(num[p] == 0) p--;
while(p > -1) cout<<num[p--];
cout<<"\n";
}
int main( )
{
// 获取输入
int n;
cin>>n;
// 执行乘幂的高精度运算
getHighPrecision(2, n);
// 输出
printBigData();
return 0;
}
END
到了这里,关于【马蹄集】第二十四周——高精度计算专题的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!