二分法是搜索算法中极其典型的方法，其要求输入序列有序并可随机访问。算法思想为
输入：有序数组nums，目的数值target
要求输出：如果target存在在数组中，则输出其index，否则输出-1
- 将原数组通过[left,right]两个索引划分范围，初值left=0,right=数组的最后一个元素
- 当left <= right时
- middle = (left + right)/2
- 判断nums[middle]是不是要查找的target，如果是则返回结果
- 判断nums[middle]> target，证明要查找的target在左边，因此right = middle - 1
- 判断nums[middle]< target，证明要查找的target在右边，因此left = middle + 1
- 没有查找到return -1。
形如下图：
传统的二分法代码如下：
func binarySearch(nums []int, target int) int {
left, right := 0, len(nums)-1
for left <= right {
middle := (left + right) / 2
if nums[middle] == target {
return middle
} else if nums[middle] > target {
right = middle - 1
} else {
left = middle + 1
}
}
return -1
}
这里要注意两个问题：
- 上述算法中的第2步中
=的判断，即for left <= right还是for left < right。 - 上述算法2.2-2.4中的判断条件以及下一次查找区间的设置
- 返回值代表什么意思
for left<= right 中 = 的判断
首先对于第一个问题，=是否应该存在，取决于对于二分查找的初始化定义，例如：
- 如果二分查找遍历的区间采用
[left,right]（数学中的双闭区间）的形式，考虑left==right即=成立的情况，则表示区间内只有单个操作数，这种情况还是需要处理，否则无法通过其余方式表示这种情况，所以此时=是必须的。 - 如果二分查找遍历的区间采用
[left,right)的形式，考虑left==right即=成立的情况，事实证明，这种情况并不应该存在，我们无法用[i,i)表示任何一个区间，所以，这种情况下，=就不是必须的。
判断条件以及下一次查找区间的设置
然后考察对于第二个问题，判断条件以及下一次查找区间应该如何设置？
注意：二分查找是一个经典的查找算法，其目的是查找到指定的位置或者值，并不仅限于查找到等于target的index这一种情况。
但无论怎样，二分查找本身有一个固定模式，即二分，就是从middle处将区间[left,right]分成两份，然后根据middle的情况查找（或者更新新的区间），因此，我们只需要考虑清楚如下三种条件时要怎么处理即可：
- 当遍历到nums[middle] == target时应该怎样处理（新的查找区间是什么），即当前值等于目标值
- 当遍历到nums[middle] > target时应该怎样处理（新的查找区间是什么），即当前值大于目标值
- 当遍历到nums[middle] < target时应该怎样处理（新的查找区间是什么），即当前值小于目标值
讨论完上述两个问题，其实二分法就有了一个固定的框架：
func binarySearch(nums []int, target int) int {
left, right := 0, len(nums)-1
for left <= right {
middle := (left + right) / 2
if nums[middle] == target {
// 当前值等于目标值时，如何处理（新的查找区间是什么）
} else if nums[middle] > target {
// 当前值大于目标值时，如何处理（新的查找区间是什么）
} else {
// 当前值小于目标值时，如何处理（新的查找区间是什么）
}
}
// 考虑返回值的意义
return
}
返回值的含义
最后我们讨论返回值的含义这一话题。在传统的二分查找中，只有在两种情况下会返回：
- 查找到目标target，返回查找到的index
- 未查找到目标target，返回-1。（即文章最起始处 步骤3的含义）
这里返回值的含义表示target在nums中的index，该值只会出现在nums[middle]==target这一条件下。然而，刚才提到了二分查找不总是处理等式条件，因此我们总要思考两种返回值的含义：
- nums[middle]==target，这时return代表的是什么？
- 数组中不存在target，此时return的是什么，此时left、right代表什么？
这里我们举一个稍稍复杂一点的例子对二分查找进行分析。
- 搜索插入位置
- 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
搜索插入位置
题目要求如下：
这个问题要求返回两种返回值：
- 在数组中找到目标值，并返回其索引
- 如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置
其中对于情况1，传统的二分查找算法就可以解决，而情况2，则需要借助于本部分要讲解的返回值的含义。
对于传统的二分法：
func binarySearch(nums []int, target int) int {
left, right := 0, len(nums)-1
for left <= right {
middle := (left + right) / 2
if nums[middle] == target {
return middle
} else if nums[middle] > target {
right = middle - 1
} else {
left = middle + 1
}
}
return -1
}
如果target能在nums数组中查找到，必定最终查找到一个[i,i]类型的区间，即区间中只有一个数字，否则区间就要再次进行二分。例如：如果要在下列数组中查找4所在的位置，查找过程如下，第三步时，查找区间为[2,3]，有两个值，无法确定答案，则需要再次进行一次查找：
target == 4
nums 1 2 3 4
index 0 1 2 3
1 l r
2 l r
3 l r
4 lr
那么最终我们处理的情况必定是对于区间[left,right]中，其中left == right，因此middle == left == right，此时nums[middle]和target的关系。
- nums[middle] > target，则需要从middle左侧继续寻找，right = middle - 1，注意此时left = middle，left > right
- nums[middle] < target，则需要从middle右侧继续寻找，left = middle + 1，注意此时right = middle，left > right
所以此时，left指向的永远是大的那个值，right是小的那个值（因为left <= right时，循环不会终止，循环终止条件为left > right，根据数组的有序性，nums[left] > nums[right]）。
最后，我们考察该题，对于数组nums，如果目标值不在其中，那么其最终查找到的值只有两种情况：
- nums[middle] < target，此时nums[middle]应该是第一个小于target的值，如果要查找target所在位置，应该返回
大于middle的index，即left - nums[middle] > target，此时nums[middle]应该是第一个大于target的值，如果要查找target所在位置，应该返回
等于middle的index，用target替换middle位置的值，即left
因此，该题的结果，只需要修改传统二分查找的最后一行：
func binarySearch(nums []int, target int) int {
left, right := 0, len(nums)-1
for left <= right {
middle := (left + right) / 2
if nums[middle] == target {
return middle
} else if nums[middle] > target {
right = middle - 1
} else {
left = middle + 1
}
}
return left
}
在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
题目要求如下：
注意这里查找的是元素第一次和最后一次出现的位置，这里我们以查找第一次出现的位置举例，后者同理。
考察我们在判断条件以及下一次查找区间的设置中强调的，考察二分查找的三种情况：
| 情况 | 分析 | 操作 |
|---|---|---|
| nums[middle] == target时，即当前值等于目标值 | 第一次出现的位置可能在当前值前面 | right = middle - 1 |
| nums[middle] > target时，即当前值大于目标值 | 第一次出现的位置在当前值前面 | right = middle - 1 |
| nums[middle] < target时，即当前值小于目标值 | 第一次出现的位置在当前值后面 | left = middle + 1 |
与之前不同的是当nums[middle] == target时，不再有返回值了，那么考虑最后返回值的含义，最终left > right时情况有如下3种：
| 情况 | 分析 | 操作 |
|---|---|---|
| nums[middle] == target | 此时，middle前的值必定<middle，而不是等于（只要等于，考虑上表的情况1，会使right = middle - 1） | return left |
| nums[middle] > target | 此情况不存在，因为如果有这种情况会继续使right=middle-1 | 不进行操作 |
| nums[middle] < target | 此时middle必定是target前的第一个元素 | return left |
经过上面的分析后，可以清晰的写出代码：
l, r := 0, len(nums)-1
for l <= r {
m := (l + r) / 2
if nums[m] >= target {
r = m - 1
} else {
l = m + 1
}
}
result := l
而查找元素出现的最后一个位置，只需要反过来，最后return right即可。代码如下：
l, r: = 0, len(nums)-1
for l <= r {
m := (l + r) / 2
if nums[m] <= target {
l = m + 1
} else {
r = m - 1
}
}
result := r
总结
本文详细分析了二分查找的所有细节，对于二分查找处理的问题，我们常常需要更加关注本文讨论的后两个问题：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-689907.html
- 判断条件以及下一次查找区间的设置
- 返回值的含义
最后填充模版即可。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-689907.html
func binarySearch(nums []int, target int) int {
left, right := 0, len(nums)-1
for left <= right {
middle := (left + right) / 2
if nums[middle] == target {
// 当前值等于目标值时，如何处理（新的查找区间是什么）
} else if nums[middle] > target {
// 当前值大于目标值时，如何处理（新的查找区间是什么）
} else {
// 当前值小于目标值时，如何处理（新的查找区间是什么）
}
}
// 考虑返回值的意义
return
}
到了这里，关于Leetcode刷题笔记——二分法的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
