用Python求矩阵的广义逆-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了用Python求矩阵的广义逆。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

对于两个方阵 $A, B$ ，若 $A B = E$ ，且 $E$ 为单位阵，则 $A, B$ 互逆，可记作 $A=B^{-1}, B=A^{-1}$ 。

inv

在numpy和scipy中，均提供了求逆函数，分别是numpy.linalg.inv和scipy.lingalg.inv，下面举个例子看一下

import numpy as np
import numpy.linalg as nl
import scipy.linalg as sl

A = np.random.rand(3,3)

二者求逆的结果如下，是完全相同的

>>> nl.inv(A)
array([[  0.56940181,   7.07580181,  -2.80811204],
       [ -0.4241864 ,  -0.45826635,   1.51146259],
       [  1.80687147, -13.30035928,   2.91842045]])
>>> sl.inv(A)
array([[  0.56940181,   7.07580181,  -2.80811204],
       [ -0.4241864 ,  -0.45826635,   1.51146259],
       [  1.80687147, -13.30035928,   2.91842045]])

下面测试以下二者的计算时间

from timeit import timeit
A = np.random.rand(500,500)
timeit(lambda : nl.inv(A), number=100)
# 2.689510200000001
timeit(lambda : sl.inv(A), number=100)
# 0.5326764000000139

可见scipy.linalg.inv要比numpy更快。

穆尔-彭罗斯广义逆

有了逆这个概念，那么对于求解 $A x = b$ 这样的方程组就变得简单了， $x$ 可写为 $x=A^{-1}b$ 。

但并不是所有矩阵都有逆的，为了让 $x=A^{-1}b$ 这种形式拥有更广的适用范围，就必须拓展矩阵的逆的概念，此即广义逆。

对于复矩阵 $A$ 而言，若存在复矩阵 $G$ ，满足

$A G A = A$
$G A G = G$
$AG)^H=AG$
$GA)^H=GA$

其中 $^H$ 表示共轭转置，则称 $G$ 为 $A$ 的穆尔-彭罗斯广义逆，也叫加号逆，记作 $G=A^+$ 。

scipy.linalg提供了两个求加号逆的矩阵，分别是pinv和pinvh，分别用于实矩阵和复矩阵。

pinv

在inv中，除了待求矩阵a之外，还有两个参数：overwrite_a默认为False，若为True，则在计算过程中覆盖a；check_finite默认False，若为True则进行有限性检查。

在pinv, pinvh中，除了a和check_finite之外，还有下列参数：

atol, rtol 用于控制精度
return_rank 若为True，则返回矩阵的有效秩

下面以pinv为例，简单介绍一下函数的使用方法。

A = np.random.rand(3,4)
# sl.inv(A)会报错
G = sl.pinv(A)

随机生成的A为矩阵

$\begin{bmatrix} 0.06135389&0.53545499&0.52057907&0.48222946\\ 0.65828574&0.42574002&0.09521576&0.62040737\\ 0.86266928&0.51081037&0.11678121&0.74462639 \end{bmatrix}$

接下来看一下 $A$ 和 $A G A$ 是否相等

>>> A@G@A

其结果仍为矩阵

$\begin{bmatrix} 0.06135389&0.53545499&0.52057907&0.48222946\\ 0.65828574&0.42574002&0.09521576&0.62040737\\ 0.86266928&0.51081037&0.11678121&0.74462639 \end{bmatrix}$