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🛸C++专栏：C++内功修炼基地
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一、AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
因此，有两位科学家发明了一种方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log_2n)，搜索时间复杂度O(log_2n)
二、AVL树节点的定义
#include <cassert>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;//该节点的左孩子
AVLTreeNode<K, V>* _right;//该节点的右孩子
AVLTreeNode<K, V>* _parent;//该节点是父亲节点
int _bf;//平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
三、AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
注：
新增节点如果在左边的话，平衡因子需要_bf–；
新增节点如果在右边，平衡因子需要_bf++;
更新后parent平衡因子==0，说明parent所在的子树高度不变，不会再影响祖先，不用再沿着到root的路径上进行更新
更新后parent的平衡因子==1 or -1，说明parent所在的左右子树的高度变化，会影响祖先，需要继续沿着root的路径上往上更新
更新后parent的phenomena因子==2 or -2，说明parent所在的子树的高度变化且不平衡对parent所在子树进行旋转，让它平衡
更新根节点
而树的旋转需要分为四种情况：左单旋转、右单旋转、左右双旋、右左双旋
1.AVL树的右单旋转
- 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
-
30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
-
60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curRight = cur->_right;
parent->_left = curRight;
cur->_right = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
if (curRight)//右孩子可能存在，也可能不存在，所以需要判断，需要在parent改变前判断
{
curRight->_parent = parent;
}
parent->_parent = cur;
if (parent == _root)//parent可能是根节点，也可能不是根节点
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = cur;
}
else
{
ppNode->_right = cur;
}
cur->_parent = ppNode;
}
cur->_bf = parent->_bf = 0;//将平衡因子调整
}
2.AVL树的左单旋转
- 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
这里进行参考右单旋转就可理解
注：如果是左单旋转parent的平衡因子应该是2，cur的平衡因子应该是1
如果是右单旋转parent的平衡因子应该是-2，cur的平衡因子应该是-1。
3.AVL树的先左单旋再右单旋
- 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
注：平衡因子的更新分为三种情况
1.当h是为0的时候，进行左右双旋，那么它的平衡因子都是为0的。
2.当h>0的时候，进行左右双旋，那么它的平衡因子修改分为两种情况
(1)当插入节点在b的位置，如图所示，30节点的平衡因子修改为0，60节点的平衡因子修改为090节点的平衡因子修改为1
(2)当擦汗如节点在c的位置，将上图的紫色方框放到c的位置，那么60和90节点的平衡因子为0，30节点的平衡因子为-1.这个平衡因子的修改是根据目录AVL树的定义的方式修改的。
具体代码：
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curRight = cur->_right;
int bf = curRight->_bf;
//复用左单旋转和右单旋转
RotateL(cur);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
curRight->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)//curRight的左树插入新节点
{
parent->_bf = 1;
cur->_bf = 0;
curRight->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//curRight的右树插入新节点
{
cur->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
curRight->_bf = 0;
}
else//不可能出现此情况，如果出现就是出错
{
assert(false);
}
}
4.AVL树的先右单旋再左单旋
- 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
参考左右双旋。具体代码如下：
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
int bf = curleft->_bf;
//复用右单旋转和左单旋转
RotateR(cur);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//curLeft的右树插入新节点
{
parent->_bf = -1;
cur->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
}
else if(bf == -1)//curLeft的左树插入新节点
{
cur->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
四、AVL树代码的验证
int TreeHight(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHight = TreeHight(root->_left);
int rightHight = TreeHight(root->_right);
return leftHight > rightHight ? leftHight + 1 : rightHight + 1;
}
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
}
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
五、AVL树的删除（略）
按照二叉搜索树的方式对平衡二叉树节点进行删除。更新平衡因子时，平衡因子为1或-1便可以停止向上更新。
当平衡因子绝对值大于1时，同样需要进行旋转解决。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-698800.html
六、AVL树的整体代码
#include <iostream>
#include <cassert>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;//该节点的左孩子
AVLTreeNode<K, V>* _right;//该节点的右孩子
AVLTreeNode<K, V>* _parent;//该节点是父亲节点
int _bf;//平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
// ... 控制平衡
// 更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else // if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
// 更新结束
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
// 继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 子树不平衡了，需要旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左单旋
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curRight = cur->_right;
int bf = curRight->_bf;
//复用左单旋转和右单旋转
RotateL(cur);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
curRight->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
cur->_bf = 0;
curRight->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
cur->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
curRight->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
int bf = curleft->_bf;
//复用右单旋转和左单旋转
RotateR(cur);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
cur->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
}
else if(bf == -1)
{
cur->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curRight = cur->_right;
parent->_left = curRight;
cur->_right = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
if (curRight)
{
curRight->_parent = parent;
}
parent->_parent = cur;
if (parent == _root)
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = cur;
}
else
{
ppNode->_right = cur;
}
cur->_parent = ppNode;
}
cur->_bf = parent->_bf = 0;
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
parent->_right = curleft;
if (curleft)//判断是否为空，空的话就不用接上父亲节点
{
curleft->_parent = parent;
}
cur->_left = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = cur;
if (parent == _root)
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = cur;
}
else
{
ppnode->_right = cur;
}
cur->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = cur->_bf = 0;
}
int TreeHight(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHight = TreeHight(root->_left);
int rightHight = TreeHight(root->_right);
return leftHight > rightHight ? leftHight + 1 : rightHight + 1;
}
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
}
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
private:
void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_Inorder(root->_right);
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHight = TreeHight(root->_left);
int rightHight = TreeHight(root->_right);
//检查平衡因子对不对
if (rightHight - leftHight != root->_bf)
{
cout << "平衡因子出现异常" << endl;
return false;
}
//需要递归检查是否平衡
return (leftHight - rightHight <= 1 && leftHight - rightHight >= -1)
&& _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
测试代码：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-698800.html
#include "9.7AVLtree.h"
int main()
{
//int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
//AVLTree<int, int> t;
//for (auto e : a)
//{
// t.Insert(make_pair(e, e));
//}
//
// t.Inorder();
//
// cout << t.IsBalance() << endl;
srand((unsigned int)time(0));
const size_t N = 10000;
AVLTree<int, int> t;
for (size_t i = 0; i < N; ++i)
{
size_t x = rand();
t.Insert(make_pair(x, x));
//cout << t.IsBalance() << endl;
}
t.Inorder();
cout << t.IsBalance() << endl;
return 0;
}
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