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4 - 5 - 405-除法的运算过程(09-'43--)_哔哩哔哩_bilibili
在加减乘除这样的基本算数运算中,除法是最为复杂的,因此我们想要实现硬件的除法器,还是从最简单的情况开始说起。
1. 除法的运算过程
回想一下手算除法的过程。这里是两个由0和1组成的被除数和除数。首先将除数和被除数从高位开始对齐,将对齐的部分进行减法,当我们发现减完的结果是一个正数,也就是够减的时候,我们就在商的对应位标一个1,然后把减完的差放在下面。再从被除数后面的位中拿一位下来(10),继续判断是否够减。我们发现在这个例子中它不够减,于是我们在商的对应位标一个0。再多拿一位也还不够(101),所以再标1个0。然后再拿一位下来(1010),够减了,于是标1,然后把减完的差放在下面,减完的结果已经没有多余的被除数位可以拿下来了,所以这个数就是余数。
我们仔细观察上面的运算过程,其实中间忽略了一些步骤,完整的运算相当于是把除数每次右移1位,与被除数的对应位数进行比较,如果被除数大,则商为1,如果除数大,则商为0,被除数减掉除数以后剩下的就是当前轮次的余数。而商是从最高位开始计算,直到最低位,这也可以看成是一个左移的操作。
好,我们整理一个除法器的工作流程。以32位除法器为例:
2. 除法器的硬件实现
为了简便起见,我们以4位的除法器来进行说明。一个4位的除法器,需要1个8位的余数寄存器,需要1个8位的除数寄存器,且带右移功能,还需要一个4位的商寄存器,且带左移的功能。最后需要1个8位的ALU,支持加法和减法的运算。这里需要支持加法运算,主要是因为2b中有一个回退的操作。最后还需要1个控制逻辑控制这几个寄存器和ALU的工作。
现在我们就有了一个完整的除法器,我们就来看一下这个除法器是如何工作的。
0. 初始化
初始化各个寄存器,将8位的被除数放入余数寄存器;将4位的除数放入除数寄存器的高4位,并将低4位补上0;将4位的商寄存器置为0。
1. 减法运算
初始化后正式进入计算的过程。第一步是进行减法运算,将当前余数寄存器的内容减去除数寄存器的内容,得到结果是11100111。这时控制逻辑还会向余数寄存器发出写入的信号,在下一个时钟上升沿到来的时候,11100111就会写入余数寄存器。
2. 检查余数
现在余数寄存器已经更新了,第二步就是检查这个余数寄存器,如果大于等于0,就执行2a分支,否则执行2b分支。对于当前这个例子,我们发现余数寄存器的最高位是1,表示小于0,所以执行的是2b分支。
2b. 当余数<0
因为余数<0,意味着我们不应该进行刚才那次减法,所以我们这里就要回退刚才第1步的操作,即执行加法运算。控制逻辑会给ALU一个加法信号,让它进行计算,同时也会给余数寄存器一个写入的信号,在下一个时钟上升沿到来的时候,00000111就又会写入余数寄存器,这样就完成了回退的工作。
另外,我们还需要做的是将商寄存器左移1位,并将新的最右位设为0。这样这一步的内容就完成了。
2a. 当余数>=0
当余数>=0时,我们不需要进行回退的操作。举例,在第5轮的时候,第2步的运算结果得到的余数寄存器中的值时00000001,由于最高位是0,说明余数是1个正数。
那么此时要做的事情就是将商寄存器左移1位,新的最右位置为1。
3. 对除数进行右移
为了下一步运算做准备,我们现在要把除数寄存器右移1位。
4. 判断是否进行下一轮
因为这是1个4位的除法器,所以我们需要检查的是当前是不是第5轮循环。那经过检查,如果现在还不是第5轮,所以我们还需要进行下一轮计算,即重复上述1~4步的过程。
如果已经是最后1轮,则结束。结果如下图所示。所以对于这个例子来说00000111 / 0010 = 7 / 2 = 3,余1,与下面寄存器中的结果相符。
3. 除法器的优化1
这是我们已经有了的一个除法器的实现,我们称它为第1版。
我们首先来考虑面积方面的优化,目前有的问题是,除数寄存器实际只使用了其中的一半,商寄存器初始时是空的,从右到左逐位填满,余数寄存器初始时是满的,有实际意义的位从左到右逐渐减少。
从这些问题出发,我们可以进行如下的优化:
4. 除法器的优化2
除了面积优化以后,从乘法器那边得到启发,是不是还能做一些性能方面的优化呢?
但是乘法的特点是每个部分积是独立的,可以并行计算各个部分的积。而对于除法来说,需要检查上一轮做完以后的余数,并且如果余数<0,还需要进行回退,这样的话它每一轮的运算就不是相互独立的了,因此无法进行并行。所以在这个除法器的大框架下,很难进行进一步的性能优化。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-699712.html
当然,正是由于除法的优化非常困难,也引来了很多人对除法运算进行深入的研究,如果对此有兴趣,可以进一步深入地探索。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-699712.html
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